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En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

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 En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.
-Autor: Jose David Cruz Margarin
+== Ejercicios ==
-'''
+* [[El factorial de 100]].
-Problema:'''
+* [[El factorial de cualquier número]].
+* [[El Fibonacci de cualquier número]].
-Dada la función f(x):
+* [[Desarrollando potencias con Maxima]].
+* [[Resolver la ecuación 3x^2-17x+10=0]].
-/1+x2 si x <= 1
+* [[Resolver ecuaciones de segundo grado]].
-+ ln x si x > 1
+* [[Definir y dibujar una función]].
+* [[Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001]].
-. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.
+* [[Definir una matriz, calcular su determinante, calcular para que valores de a la matriz es invertible y calcular su matriz inversa]].
+* [[Calcular la distancia entre el punto P y la recta r]].
-. Analizar su continuidad y derivabilidad.
+* [[Calcular la distancia entre las rectas r y s]].
+* [[Calcular el ángulo entre los vectores v y w]].
+* [[Problema 12 del proyecto Euler]].
-'''Solucion:'''
+* [[Problema 20 del proyecto Euler]].
+* [[Estudio de una función]].
-'''1.-''' Definimos:
+* [[Estudio de una función definida a trozos]].
+* [[Número de puntos dentro del círculo de radio n]].
-( %i1) g(x):=1/(1+x^2);
+* [[Optimización de funciones]].
-( %o1)
+* [[Ejercicio de Selectividad SM2165]].
-       g (x) :=1/1 + x2
+* [[Ejercicio de Selectividad Junio 2003 Matemáticas Aplicadas a las CCSS]].
+* [[Ejercicio sobre matrices]].
-( %i2) h(x):=1+log(x);
+* [[Ejercicio sobre integrales]].
-( %o2)
+* [[Ejercicio sobre derivadas]].
-       h (x) := 1 + log x
+* [[Ejercicio sobre aplicaciones de las derivadas]].
+* [[Ejercicio de Selectividad Junio 2001 Matemáticas Aplicadas a las CCSS]].
-El dominio de g es todo R pues, evidentemente, 1 + x2 6= 0 8x 2 R. Pero, por
+* [[Ejercicio de probabilidad elemental]].
-si hubiera alguna duda, el alumno podría utilizar Maxima para comprobar que no
+* [[Resolver el sistema lineal de ecuaciones]]
-existe ninguna solución real (todas sus soluciones son imaginarios puros):
+* [[Calcular el área y volumen de una superficie de revolución: Toro]]
+* [[Ejercicio de Selectividad Castilla-La Mancha Junio 2007]]
-( %i3) solve(1+x^2=0);
+* [[Ejercicio Matrices]]
-( %o3)
+* [[Ejercicios de planos]]
-       [x = -i; x = i]
+* [[Calcular el area y el baricentro de un triangulo]].
+* [[Calcular la ecuación de una circunferencia, a partir de 3 puntos dados]].
-( %i4) solve(1+x^2=0);
+* [[Programa que encuentra todas las ternas pitagóricas que sumen un número escogido, en particular resuelve el Problema 9 del Proyecto de Euler]]
-( %o4)
+* [[Programa que, para una función dada, calcula los puntos críticos, máximos-mínimos relativos, puntos de inflexión y representa la grafica automaticamente]]
-       [x = -i; x = i]
+*[[Demostración del teorema de Pappus a través pseudo-divisiones]]
+* [[Calcular los extremos relativos de f(x)=(x+1)^2*(x-2)]]
-Maxima es incluso capaz de asegurarnos que 1+x2 es estrictamente positivo (independientemente
+* [[Calcular a y b para que la función f(x)= x^3+a*x^2+b*x tenga un mínimo en el punto (2,3)]]
-del valor de x) si utilizamos la función is:
+* [[Ejercicio Selectividad Andalucía Junio 2007]]
+* [[Ejercicio sobre continuidad de funciones]].
-( %i5) is(1+x^2>0);
+* [[Ejercicio sobre continuidad de funciones definidas a trozos.]].
-( %o5)
+* [[Ejercicio Selectividad Baleares Junio 2006]]
-       true
+* [[Ejercicio Selectividad Cataluña Junio 2006]]
+* [[Ejercicio Selectividad - Matrices]]
-Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas, planteamos
-( %i7) solve(g(x)=0,x);
-( %o7)
-       []
-( %i8) solve(h(x)=0,x);
-( %o8)
-       x = e-1
-El único punto de corte es x = 1/e . En cuanto a posibles puntos de corte con el eje
-vertical, cuando x = 0 nuestra función toma el valor f(0) = g(0) = 1:
-( %i9) g(0);
-( %o9)
-En definitiva:
-Los puntos de corte de f(x) son (0; 1) y ( 1/e ; 0).
-En nuestro caso, la función g(x) no tiene ninguna asíntota vertical, porque su denominador
-es siempre distinto de cero. La función h(x) tendría una asíntota vertical
-en x = 0, debido al logaritmo:
-( %i10) limit(h(x),x,0,plus);
-( %o10)
-       -infinito
-Pero esto no afecta a f(x) ya que, en los alrededores de x = 0, esta función no toma los
-valores de h(x), sino de g(x). Por lo tanto, f no tiene ninguna asíntota vertical.
-Con respecto a asíntotas horizontales, tendremos que estudiar límites de f(x)
-cuando x -> -infinito (en cuyo caso f = g) y cuando x -> +infinito (en cuyo caso f = h)
-( %i11) limit(g(x),x,minf);
-( %o11)
-( %i12) limit(h(x),x,inf);
-( %o12)
-         infinito
-Por lo tanto, podemos concluir que:
-f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la
-recta y = 0) cuando x -> -infinito.
-'''2.-''' Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por
-lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones
-donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este
-punto son distintos, pues:
-( %i13) limit(g(x),x,1,minus);
-( %o13)
-/2
-( %i14) limit(h(x),x,1,plus);
-( %o14)
-en consecuencia, f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto).
-Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de
-R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos
-dominios). Puesto que:
-( %i15) diff(g(x),x);
-( %o15)
-      - 2x/(x2 + 1)2
-( %i16) diff(h(x),x);
-( %o16)
-/x
-'''Representacion grafica:'''
-Para representar la gráfica de f, podemos definir:
-( %i33) f(x):= if(x<1) then g(x) else h(x);
-( %o33)
-       f (x) := if x < 1 then g (x) else h (x)
-El problema es que Maxima no está preparado para representar directamente este tipo
-de funciones, siendo necesario encapsular f(x) en una expresión de la forma “’(f(x))”.
-( %i34) plot2d(f(x),[x,-5,5]);
-Maxima was unable to evaluate the predicate:
-** error while printing error message **
-Maxima was unable to evaluate the predicate:~%~M
-#0: f(x=x)
-- an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);
-( %i35) plot2d(’(f(x)),[x,-5,5], [gnuplot_preamble, "set zeroaxis"],
-[gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, "grafica.eps"]);
-( %o35)
-      [[Archivo:Ejemplo.jpg]]

De Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

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