Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11) Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

Ejercicio de optimización de funciones. Una franquicia de tiendas de moda ha estimado que sus beneficios semanales (en miles de euros) dependen del número de tiendas que tiene en funcionamiento (n) de acuerdo con la expresión: B(n) = -8n^3 + 60n^2 - 96n a. Determina el número de tiendas que debe tener para maximizar sus beneficios semanales. b. Determina el valor de dichos beneficios máximos. Solución:

a. Primero calculamos la primera derivada de la función para buscar sus extremos relativos:

(%i1) B(n):= -8*n^3 + 60*n^2 - 96*n;

                                    3       2

(%o1) B(n) := (- 8) n + 60 n + (- 96) n

(%i2) a:diff(B(n), n);

                                  2

(%o2) - 24 n + 120 n - 96

(%i3) solve (a=0,n);

(%o3) [n = 1, n = 4]

Ahora comprobamos si los valores obtenidos son máximos o mínimos relativos. Para ello, comprobamos el signo de la segunda derivada:

(%i4) b:diff(B(n),n,2);

(%o4) 120 - 48 n

(%i6) b2(n):=120-48*n;

(%o6) b2(n) := 120 - 48 n

(%i7) b2(1);

(%o7) 72

(%i8) b2(4);

(%o8) - 72

Por lo tanto, tenemos que para n=1 tenemos un mínimo ya que el signo de la segunda derivada es positivo y para n=4 tenemos un máximo puesto que el singo de la segunda derivada es negativo.

Conclusión: para n=4 tiendas se maximizan los beneficios semanales.

b. En este apartado, sólo tenenmos que sustituir el número de tiendas que maximizan los beneficios, n=4, en la función que proporciona el beneficio semanal:

(%i9) B(4);

(%o9) 64

Por lo tanto, los beneficios semanales para 4 tiendas son 64 mil euros.