Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11) Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

Enunciado Sea la función definida por: <math>f(x)=2*x^3+12*x^2+a*x+b</math> Determina a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión es la recta <math>y=2*x+3</math>

Solución

En Maxima, definimos la función f(x):

(%i1) f(x):=2*x^3+12*x^2+a*x+b;
(%o1) f(x):=2*x^3+12*x^2+a*x+b

A continuación, definimos la derivada primera de f(x):

(%i2) define(g(x),diff(f(x),x));
(%o2) g(x):=6*x^2+24*x+a

Seguidamente, definimos la derivada segunda y calculamos sus raíces:

(%i3) define(h(x),diff(g(x),x));
(%o3) h(x):=12*x+24

(%i4) solve(h(x),x);
(%o4) [x=-2]

Definimos la derivada tercera:

(%i5) define(j(x),diff(h(x),x));
(%o5) j(x):=12

Como siempre es distinta de cero, sabemos que en <math>x=-2</math> la función tiene un punto de inflexión.

Definimos la recta tangente:

(%i6) y(x):=2*x+3;
(%o6) y(x):=2*x+3

de donde observamos que tiene pendiente 2. Por lo tanto, debemos imponer que la derivada primera de f en <math>x=-2</math> sea igual a 2.

(%i11) g(-2);
(%o11) a-24

de donde obtenemos una primera ecuación, <math>a-24=2</math>.

Por otra parte, sabemos que el punto de inflexión tiene que pertenecer a la curva y a la recta tangente. Para ello, calculamos el valor en <math>x=-2</math> de ambas funciones:

(%i7) f(-2);
(%o7) b-2*a+32

(%i8) y(-2);
(%o8) -1

de donde obtenemos la otra ecuación:<math>b-2*a+32=-1</math>

Luego, con ambas ecuaciones obtenemos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, cuya solución son los valores de a y b buscados:

(%i9) S1:[a-24=2,b-2*a+32=-1];
(%o9) [a-24=2,b-2*a+32=-1]

(%i10) solve(S1,[a,b]);
(%o10) a=26,b=19

Por tanto, a=26 y b=19