Ejercicio de Selectividad SM2165

(por Ernesto Ronchel Ortigado)

Enunciado:

Sea <math>F(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D</math> un polinomio que cumple F(1)=0, F'(2)=0 y tiene dos extremos relativos en <math>x=1</math> y <math>x=2</math>.

a) Determinar A, B, C y D

b) ¿Son máximos o mínimos los extremos relativos?

Solución:

a)

Definimos en Maxima la función F(x) escribiendo esta expresión:

F(x):=A*x^3+B*x^2+C*x+D $

Definimos su primera derivada, a la que llamamos g(x), y la calculamos mediante:

define(g(x),diff(F(x),x));

obtenemos:

g(x):=C+2*x*B+3*x^2*A

Ahora, imponiendo las condiciones del problema, planteamos un sistema con 4 ecuaciones y 4 incógnitas:

- condiciones: F(1)=0, g(0)=2, g(1)=0, g(2)=0

- incógnitas: A, B, C Y D

Pedimos a Maxima que o resuelva mediante:

solve([F(1)=0,g(0)=2,g(1)=0,g(2)=0],[A,B,C,D]);

Y nos da la solución:

b)

Definimos la segunda derivada de F y la llamamos h(x), y la calculamos:

define(h(x),diff(g(x),x)); h(x):=2*B+6*x*A

Evaluamos h(x) en x=1 y x=2:

para x=1

2*(-3/2)+6*(1/3); -1

Esto implica que en x=1 hay un máximo

para x=2

2*(-3/2)+6*2*(1/3); 1

Esto implica que en x=2 hay un mínimo