Diferencia entre revisiones de «Ejercicios libres»

Revisión actual del 19:27 9 may 2011

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

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 En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.
-Autor: Jose David Cruz Margarin
+== Ejercicios ==
+* [[El factorial de 100]].
-'''Problema:
+* [[El factorial de cualquier número]].
-Sea f(x)=(x^2-9)/x'''
+* [[El Fibonacci de cualquier número]].
+* [[Desarrollando potencias con Maxima]].
-.- Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas.
+* [[Resolver la ecuación 3x^2-17x+10=0]].
+* [[Resolver ecuaciones de segundo grado]].
-.- Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas que es el límite de f(x) en +1? Confírmalo con wxMaxima.
+* [[Definir y dibujar una función]].
+* [[Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001]].
-.- Estudia las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f(x).
+* [[Definir una matriz, calcular su determinante, calcular para que valores de a la matriz es invertible y calcular su matriz inversa]].
+* [[Calcular la distancia entre el punto P y la recta r]].
-.- Representa de forma conjunta la gráfica de f(x) y de la recta y = x.
+* [[Calcular la distancia entre las rectas r y s]].
+* [[Calcular el ángulo entre los vectores v y w]].
-.- Halla la función derivada de f(x) y la recta tangente a f(x) en el punto a = 3.
+* [[Problema 12 del proyecto Euler]].
+* [[Problema 20 del proyecto Euler]].
-.- Representar de forma conjunta a la gráfica de f(x) y la de esta recta tangente.
+* [[Estudio de una función]].
-Calcula una primitiva de f(x).
+* [[Estudio de una función definida a trozos]].
+* [[Número de puntos dentro del círculo de radio n]].
-'''
+* [[Optimización de funciones]].
-Solucion:'''
+* [[Ejercicio de Selectividad SM2165]].
+* [[Ejercicio de Selectividad Junio 2003 Matemáticas Aplicadas a las CCSS]].
-.- Comenzamos definiendo f(x):
+* [[Ejercicio sobre matrices]].
-( %i1) f(x):=(x^2-9)/x;
+* [[Ejercicio sobre integrales]].
-( %o1)
+* [[Ejercicio sobre derivadas]].
-f (x) :=
+* [[Ejercicio sobre aplicaciones de las derivadas]].
-<math>x2-9/x</math>
+* [[Ejercicio de Selectividad Junio 2001 Matemáticas Aplicadas a las CCSS]].
+* [[Ejercicio de probabilidad elemental]].
-Problema resuelto 1: estudio y representación de una función
+* [[Resolver el sistema lineal de ecuaciones]]
-Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:
+* [[Calcular el área y volumen de una superficie de revolución: Toro]]
-( %i2) solve(f(x)=0,x);
+* [[Ejercicio de Selectividad Castilla-La Mancha Junio 2007]]
-( %o2)
+* [[Ejercicio Matrices]]
-[x = 􀀀3; x = 3]
+* [[Ejercicios de planos]]
-así que tenemos (􀀀3; 0) y (3; 0). Los puntos de corte con OY verifican x = 0, pero
+* [[Calcular el area y el baricentro de un triangulo]].
-( %i3) f(0);
+* [[Calcular la ecuación de una circunferencia, a partir de 3 puntos dados]].
-Division by 0
+* [[Programa que encuentra todas las ternas pitagóricas que sumen un número escogido, en particular resuelve el Problema 9 del Proyecto de Euler]]
-#0: f(x=0)
+* [[Programa que, para una función dada, calcula los puntos críticos, máximos-mínimos relativos, puntos de inflexión y representa la grafica automaticamente]]
-- an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);
+*[[Demostración del teorema de Pappus a través pseudo-divisiones]]
-Evidentemente, el punto x = 0 no está en el dominio, pues el denominador se hace cero
+* [[Calcular los extremos relativos de f(x)=(x+1)^2*(x-2)]]
-(y Maxima nos da el error anterior).
+* [[Calcular a y b para que la función f(x)= x^3+a*x^2+b*x tenga un mínimo en el punto (2,3)]]
-Valores de f(n)
+* [[Ejercicio Selectividad Andalucía Junio 2007]]
-Podríamos calcular uno a uno los valores de f(n) pero es más rápido, como
+* [[Ejercicio sobre continuidad de funciones]].
-vimos en el tema anterior, utilizar la función “map”, que es especialmente apropiada
+* [[Ejercicio sobre continuidad de funciones definidas a trozos.]].
-para crear tablas de valores:
+* [[Ejercicio Selectividad Baleares Junio 2006]]
-( %i4) lista:makelist(100*n,n,1,15);
+* [[Ejercicio Selectividad Cataluña Junio 2006]]
-( %o4)
+* [[Ejercicio Selectividad - Matrices]]
-[100; 200; 300; 400; 500; 600; 700; 800; 900; 1000; 1100; 1200; 1300; 1400; 1500]
-( %i5) tabla:map(f,lista);
-( %o5)
-�9991
-;
-;
-;
-;
-;
-;
-;
-;
-;
-;
-1209991
-;
-;
-16899130( %i6) %,numer;
-( %o6)
-[99;909999999999997; 199;95500000000001; 299;97000000000003; 399;97750000000002; 499;982000000000Parece que
-l��m
-x!+1
-f(x) = +1;
-pero es mejor confirmarlo con Maxima. Efectivamente:
-( %i7) limit(f(x),x,inf);
-( %o7)
-Asíntotas
-Como vemos a continuación, f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0, de hecho
-l��m
-x!0+
-f(x) = 􀀀1 l��m
-x!0􀀀
-f(x) = +1
-( %i8) limit(f(x),x,0);
-( %o8)
-und
-( %i9) limit(f(x),x,0,plus);
-( %o9)
-􀀀1
-( %i10) limit(f(x),x,0,minus);
-( %o10)
-Por otra parte, f(x) no tiene asíntotas horizontales en +1(como vimos, el límite
-es +1) y tampoco en 􀀀1, como vemos ahora:
-( %i11) limit(f(x),x,minf);
-( %o11)
-􀀀1
-Y, por otro lado, puesto que
-( %i12) limit(f(x)/x,x,inf);
-( %o12)
-f(x) tiene una asíntota oblicua, de la forma y = 1 � x + a, donde a viene dado por el
-siguiente límite:
-Problema resuelto 1: estudio y representación de una función
-( %i13) limit(f(x)-1*x,x,inf);
-( %o13)
-Por tanto, la asíntota oblicua es y = x.
-Gráfica
-Representaremos f(x) junto con su asíntota, y = x. A base de prueba y error, se
-encontrarán los intervalos de x e y adecuados, en este caso se tomará x 2 [􀀀20; 20],
-y 2 [􀀀20; 100]:
-( %i14) plot2d([f(x),x],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,"set
-zeroaxis;"]);
-( %o14)
-Figura A.1: Gráfica de la función x2􀀀9
-junto a su asíntota oblicua y = x
-Derivada y recta tangente
-A continuación, calculamos la derivada de f(x), definimos el punto a = 3 y
-hallamos f0(a).
-( %i15) diff(f(x),x);
-( %o15)
-􀀀
-x2 􀀀 9
-x2
-( %i16) ratsimp(%);
-( %o16)
-x2 + 9
-x2
-( %i17) a:3;
-( %o17)
-( %i18) ”(diff(f(x),x)),x=a;
-( %o18)
-Obsérvese que (como se comentó en los apuntes de este tema) antes de sustituir el valor
-x = a en la derivada, es necesario utilizar un doble operador comilla (”), que se obtiene
-pulsando dos veces en la tecla ?. Este operador se puede interpretar como «el resultado
-de evaluar la siguiente expresión» (en este caso, la derivada de f(x)). En general, la
-última entrada se puede interpretar como «sustituir x = a en el resultado de calcular la
-derivada de f(x)».
-También podríamos haber utilizado este operador para definir una función, a la que
-podríamos llamar Df(x), que representaría a la primera derivada de f(x). Esto lo haremos
-más abajo, como ejemplo. Y como se puede ver aprovecharemos para simplificar la
-derivada (con la función “ratsimp” antes de definir Df(x)). Así, la definición se puede
-leer como «Df(x) se define como el resultado (doble comilla) de simplificar (ratsimp)
-la derivada (diff ) de f(x)»
-Una vez que conocemos la pendiente, m = f0(a) = 2, podemos escribir la recta
-tangente como
-y 􀀀 f(a) = m � (x 􀀀 a)
-( %i19) Df(x):=”(ratsimp(diff(f(x),x)));
-( %o19)
-Df (x) :=
-x2 + 9
-x2
-( %i20) m:Df(a);
-( %o20)
-( %i21) y-f(a)=m*(x-a);
-( %o21)
-y = 2 (x 􀀀 3)
-Problema resuelto 1: estudio y representación de una función
-( %i22) expand(%);
-( %o22)
-y = 2 x 􀀀 6
-Y (utilizando el menú de wxMaxima, si así lo deseamos), podemos representar la
-gráfica:
-( %i23) plot2d([f(x),2*x-6],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,"set
-zeroaxis;"]);
-( %o23)
-El resultado se puede apreciar en la figura A.2
-Figura A.2: Gráfica de la función x2􀀀9
-junto su recta tengente en x = 3
-Primitiva y área
-Calcular una primitiva es fácil. Recurramos o no al sistema de menús de wxMaxima,
-tendremos:
-( %i24) integrate(f(x),x);
-( %o24)
-x2
-􀀀 9 log x
-Para el cálculo de áreas, observamos que f(x) > 0 en [3;+1), pues hemos visto que
-f(3) = 0 y si x > 3 el numerador y el denominador de f(x) son estrictamente positivos
-Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:
-( %i2) solve(f(x)=0,x);
-( %o2)
-       [x = -3; x = 3]

De Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

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