Sucesión de sumas de dos números abundantes

Un número n es abundante si la suma de los divisores propios de n es mayor que n. El primer número abundante es el 12 (cuyos divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6 cuya suma es 16). Por tanto, el menor número que es la suma de dos números abundantes es el 24.

Definir la sucesión

cuyos elementos son los números que se pueden escribir como suma de dos números abundantes. Por ejemplo,

Soluciones

El código se encuentra en GitHub.

Conjunto de divisores

Definir la función

tal que (divisores x) es el conjunto de divisores de x. Por ejemplo,

Soluciones

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Números con todos sus dígitos primos

Definir la lista

cuyos elementos son los números con todos sus dígitos primos. Por ejemplo,

Soluciones

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La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Eliminación de las ocurrencias aisladas.

Definir la función

tal que (eliminaAisladas x ys) es la lista obtenida eliminando en ys las ocurrencias aisladas de x (es decir, aquellas ocurrencias de x tales que su elemento anterior y posterior son distintos de x). Por ejemplo,

Soluciones

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Nuevas soluciones

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Número de inversiones

Se dice que en una sucesión de números x(1), x(2), …, x(n) hay una inversión cuando existe un par de números x(i) > x(j), siendo i < j. Por ejemplo, en la permutación 2, 1, 4, 3 hay dos inversiones (2 antes que 1 y 4 antes que 3) y en la permutación 4, 3, 1, 2 hay cinco inversiones (4 antes 3, 4 antes 1, 4 antes 2, 3 antes 1, 3 antes 2).

Definir la función

tal que (numeroInversiones xs) es el número de inversiones de xs. Por ejemplo,

Soluciones

[schedule expon=’2022-04-21′ expat=»06:00″]

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[/schedule]

[schedule on=’2022-04-21′ at=»06:00″]

El código se encuentra en [GitHub](https://github.com/jaalonso/Exercitium/blob/main/src/

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Nuevas soluciones

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[/schedule]

Código de las alergias

Para la determinación de las alergia se utiliza los siguientes códigos para los alérgenos:

Así, si Juan es alérgico a los cacahuetes y al chocolate, su puntuación es 34 (es decir, 2+32).

Los alérgenos se representan mediante el siguiente tipo de dato

Definir la función

tal que (alergias n) es la lista de alergias correspondiente a una puntuación n. Por ejemplo,

Soluciones

[schedule expon=’2022-04-18′ expat=»06:00″]

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[/schedule]

[schedule on=’2022-04-18′ at=»06:00″]

El código se encuentra en [GitHub](https://github.com/jaalonso/Exercitium/blob/main/src/Alergias.hs).

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[/schedule]

Diferencia simétrica

La diferencia simétrica de dos conjuntos es el conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica de {2,5,3} y {4,2,3,7} es {5,4,7}.

Definir la función

tal que (diferenciaSimetrica xs ys) es la diferencia simétrica de xs e ys. Por ejemplo,

Soluciones

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Espacio de estados del problema de las N reinas

El problema de las N reinas consiste en colocar N reinas en tablero rectangular de dimensiones N por N de forma que no se encuentren más de una en la misma línea: horizontal, vertical o diagonal. Por ejemplo, una solución para el problema de las 4 reinas es

Los estados del problema de las N reinas son los tableros con las reinas colocadas. Inicialmente el tablero está vacío y, en cda paso se coloca una reina en la primera columna en la que aún no hay ninguna reina.

Cada estado se representa por una lista de números que indican las filas donde se han colocado las reinas. Por ejemplo, el tablero anterior se representa por [2,4,1,3].

Usando la librería de árboles Data.Tree, definir las funciones

tales que

  • (arbolReinas n) es el árbol de estados para el problema de las n reinas. Por ejemplo,

  • (nEstados n) es el número de estados en el problema de las n reinas. Por ejemplo,

  • (soluciones n) es la lista de estados que son soluciones del problema de las n reinas. Por ejemplo,

  • (nSoluciones n) es el número de soluciones del problema de las n reinas. Por ejemplo,

Soluciones

Conjetura de las familias estables por uniones

La conjetura de las familias estables por uniones fue planteada por Péter Frankl en 1979 y aún sigue abierta.

Una familia de conjuntos es estable por uniones si la unión de dos conjuntos cualesquiera de la familia pertenece a la familia. Por ejemplo, {∅, {1}, {2}, {1,2}, {1,3}, {1,2,3}} es estable por uniones; pero {{1}, {2}, {1,3}, {1,2,3}} no lo es.

La conjetura afirma que toda familia no vacía estable por uniones y distinta de {∅} posee algún elemento que pertenece al menos a la mitad de los conjuntos de la familia.

Definir las funciones

tales que

  • (esEstable f) se verifica si la familia f es estable por uniones. Por ejemplo,

  • (familiasEstables c) es el conjunto de las familias estables por uniones formadas por elementos del conjunto c. Por ejemplo,

  • (mayoritarios f) es la lista de elementos que pertenecen al menos a la mitad de los conjuntos de la familia f. Por ejemplo,

  • (conjeturaFrankl n) se verifica si para toda familia f formada por elementos del conjunto {1,2,…,n} no vacía, estable por uniones y distinta de {∅} posee algún elemento que pertenece al menos a la mitad de los conjuntos de f. Por ejemplo.

Soluciones

Otras soluciones

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Huecos de Aquiles

Un número de Aquiles es un número natural n que es potente (es decir, si p es un divisor primo de n, entonces p² también lo es) y no es una potencia perfecta (es decir, no existen números naturales m y k tales que n es igual a m^k). Por ejemplo,

  • 108 es un número de Aquiles proque es un número potente (ya que su factorización es 2^2 · 3^3, sus divisores primos son 2 and 3 y sus cuadrados (2^2 = 4 y 3^2 = 9) son divisores de 108. Además, 108 no es una potencia perfecta.
  • 360 no es un número de Aquiles ya que 5 es un divisor primo de 360, pero 5^2 = 15 no lo es.
  • 784 no es un número de Aquiles porque, aunque es potente, es una potencia perfecta ya que 784 = 28^2.

Los primeros números de Aquiles son

Definir las funciones

tales que

  • (esAquiles x) se verifica si x es un número de Aquiles. Por ejemplo,

  • huecosDeAquiles es la sucesión de la diferencias entre los números de Aquiles consecutivos. Por ejemplo,

  • (graficaHuecosDeAquiles n) dibuja la gráfica de los n primeros huecos de Aquiles. Por ejemplo, (graficaHuecosDeAquiles 160) dibuja

Soluciones

Otras soluciones

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Hojas con caminos no decrecientes

Los árboles se pueden representar mediante el siguiente tipo de datos

Por ejemplo, los árboles

se representan por

Definir la función

tal que (hojasEnNoDecreciente a) es el conjunto de las hojas de a que se encuentran en alguna rama no decreciente. Por ejemplo,

Soluciones

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Productos de dos y tres números consecutivos

Definir la función

tal que (productos n x) es las listas de n elementos consecutivos cuyo producto es x. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que si n > 0 y x > 0, entonces

Usando productos, definir la función

cuyos elementos son los números naturales (no nulos) que pueden expresarse simultáneamente como producto de dos y tres números consecutivos. Por ejemplo,

Nota. Según demostró Mordell en 1962, productosDe2y3consecutivos sólo tiene dos elementos.

Soluciones

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Pensamiento

«El verdadero viaje de descubrimiento no consiste en buscar nuevos paisajes sino en tener nuevos ojos.»

Marcel Proust.

Búsqueda de la mina

En este ejercicio, se representa un mapa mediante una lista de listas de la misma longitud donde todos sus elementos son 0 menos uno (que es un 1) que es donde se encuentra la mina. Por ejemplo, en el mapa

la posición de la mina es (2,1).

Definir la función

tal que (posicionMina m) es la posición de la mina en el mapa m, Por ejemplo,

Soluciones

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Pensamiento

«La vida de un matemático está dominada por una insaciable curiosidad, un deseo que raya en la pasión por resolver los problemas que estudia.»

Jean Dieudonné.

Primos magnánimos

Un número magnánimo es un número tal que las sumas obtenidas insertando un «+» entre sus dígitos en cualquier posición son números primos. Por ejemplo, 4001 es un número magnánimo porque los números 4+001=5, 40+01=41 y 400+1=401 son primos.

Definir las funciones

tales que

  • (esMagnanimo n) se verifica si n es un número magnánimo. Por ejemplo,

  • primosMagnanimos es la lista de los números primos magnánimos. Por ejemplo,

Soluciones

Otras soluciones

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Pensamiento

«Existe una distinción entre lo que se puede llamar un problema y lo que puede considerar un ejercicio. Este último sirve para entrenar al en alguna técnica o procedimiento, y requiere poco o ningún original. A diferencia de un ejercicio, un problema, si es apropiado para nivel, debe requerir pensamiento por parte del estudiante. Es imposible exagerar la importancia de los problemas en las matemáticas. Es por medio de los problemas que las matemáticas se desarrollan y se levantan por sí mismas. Cada nuevo descubrimiento en matemáticas es el resultado de un intento de resolver algún problema.»

Howard Eves.

Repeticiones consecutivas

Se dice que una palabra tiene una repetición en una frase si es igual a una, o más, de las palabras consecutivas sin distinguir mayúsculas de minúsculas.

Definir la función

tal que (nRepeticionesConsecutivas cs) es el número de repeticiones de palabras consecutivas de la cadena cs. Por ejemplo,

Soluciones

Otras soluciones

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Pensamiento

«En el campo de la computación, el momento de la verdad es la ejecución de un programa; todo lo demás es profecía.»

Herbert A. Simon.

Pandemia

¡El mundo está en cuarentena! Hay una nueva pandemia que lucha contra la humanidad. Cada continente está aislado de los demás, pero las personas infectadas se han propagado antes de la advertencia.

En este problema se representará el mundo por una cadena como la siguiente

donde 0 representa no infectado, 1 representa infectado y X representa un océano

Las reglas de propagación son:

  • El virus no puede propagarse al otro lado de un océano.
  • Si una persona se infecta, todas las personas de este continente se infectan también.
  • El primer y el último continente no están conectados.

El problema consiste en encontrar el porcentaje de la población humana que se infectó al final. Por ejemplo,

Definir la función

tal que (porcentajeInfectados xs) es el porcentaje final de infectados para el mapa inicial xs. Por ejemplo,

Soluciones

Otras soluciones

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Pensamiento

«El avance de las matemáticas puede ser visto como un progreso de lo infinito a lo finito.»

Gian-Carlo Rota.

La menos conocida de las conjeturas de Goldbach

Goldbach, el de la famosa conjetura, hizo por lo menos otra conjetura que finalmente resultó ser falsa.

Esta última decía que todo número compuesto impar puede expresarse como la suma de un número primo más dos veces la suma de un cuadrado. Así por ejemplo,

Definir las sucesiones

tales que

  • imparesCompuestos es la lista de los números impares compuestos. Por ejemplo,

  • (descomposiciones n) es la lista de las descomposiciones de n de n como la suma de un número primo más dos veces la suma de un cuadrado. Por ejemplo,

Las 3 descomposiciones de 21 son

  • contraejemplosGoldbach es la lista de los contraejemplos de la anterior conjetura de Goldbach; es decir, los números impares compuestos que no pueden expresarse como la suma de un número primo más dos veces la suma de un cuadrado. Por ejemplo,