Huecos de Aquiles

Un número de Aquiles es un número natural n que es potente (es decir, si p es un divisor primo de n, entonces p² también lo es) y no es una potencia perfecta (es decir, no existen números naturales m y k tales que n es igual a m^k). Por ejemplo,

108 es un número de Aquiles proque es un número potente (ya que su factorización es 2^2 · 3^3, sus divisores primos son 2 and 3 y sus cuadrados (2^2 = 4 y 3^2 = 9) son divisores de 108. Además, 108 no es una potencia perfecta.
360 no es un número de Aquiles ya que 5 es un divisor primo de 360, pero 5^2 = 15 no lo es.
784 no es un número de Aquiles porque, aunque es potente, es una potencia perfecta ya que 784 = 28^2.

Los primeros números de Aquiles son

   72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, ...

1	72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, ...

Definir las funciones

   esAquiles              :: Integer -> Bool
   huecosDeAquiles        :: [Integer]
   graficaHuecosDeAquiles :: Int -> IO ()

esAquiles :: Integer -> Bool

huecosDeAquiles :: [Integer]

graficaHuecosDeAquiles :: Int -> IO ()

tales que

(esAquiles x) se verifica si x es un número de Aquiles. Por ejemplo,

     esAquiles 108         ==  True
     esAquiles 360         ==  False
     esAquiles 784         ==  False
     esAquiles 5425069447  ==  True
     esAquiles 5425069448  ==  True

esAquiles 108 == True

esAquiles 360 == False

esAquiles 784 == False

esAquiles 5425069447 == True

esAquiles 5425069448 == True

huecosDeAquiles es la sucesión de la diferencias entre los números de Aquiles consecutivos. Por ejemplo,

     λ> take 15 huecosDeAquiles
     [36,92,88,104,40,68,148,27,125,64,104,4,153,27,171]

1 2	λ> take 15 huecosDeAquiles [36,92,88,104,40,68,148,27,125,64,104,4,153,27,171]

(graficaHuecosDeAquiles n) dibuja la gráfica de los n primeros huecos de Aquiles. Por ejemplo, (graficaHuecosDeAquiles 160) dibuja

Soluciones

import Data.List (group)
import Data.Numbers.Primes (primeFactors)
import Graphics.Gnuplot.Simple

-- Definición de esAquiles
-- =======================

esAquiles :: Integer -> Bool
esAquiles x = esPotente x && noEsPotenciaPerfecta x

-- (esPotente x) se verifica si x es potente. Por ejemplo,
--    esPotente 108  ==  True
--    esPotente 360  ==  False
--    esPotente 784  ==  True
esPotente :: Integer -> Bool
esPotente x = all (>1) (exponentes x)

-- (exponentes x) es la lista de los exponentes en la factorización de
-- x. Por ejemplo,
--    exponentes 108  ==  [2,3]
--    exponentes 360  ==  [3,2,1]
--    exponentes 784  ==  [4,2]
exponentes :: Integer -> [Int]
exponentes x = map length (group (primeFactors x))

-- (noEsPotenciaPerfecta x) se verifica si x no es una potencia
-- perfecta. Por ejemplo,
--    noEsPotenciaPerfecta 108  ==  True
--    noEsPotenciaPerfecta 360  ==  True
--    noEsPotenciaPerfecta 784  ==  False
noEsPotenciaPerfecta :: Integer -> Bool
noEsPotenciaPerfecta x = foldl1 gcd (exponentes x) == 1 

-- Definición de huecosDeAquiles
-- =============================

huecosDeAquiles :: [Integer]
huecosDeAquiles = zipWith (-) (tail aquiles) aquiles

-- aquiles es la sucesión de los números de Aquiles. Por ejemplo, 
--    λ> take 15 aquiles
--    [72,108,200,288,392,432,500,648,675,800,864,968,972,1125,1152]
aquiles :: [Integer]
aquiles = filter esAquiles [2..]

-- Definición de graficaHuecosDeAquiles
-- ====================================

graficaHuecosDeAquiles :: Int -> IO ()
graficaHuecosDeAquiles n =
  plotList [ Key Nothing
           , PNG "Huecos_de_Aquiles.png"
           ]
           (take n huecosDeAquiles)

import Data.List (group)

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

import Graphics.Gnuplot.Simple

-- Definición de esAquiles

-- =======================

esAquiles :: Integer -> Bool

esAquiles x = esPotente x && noEsPotenciaPerfecta x

-- (esPotente x) se verifica si x es potente. Por ejemplo,

-- esPotente 108 == True

-- esPotente 360 == False

-- esPotente 784 == True

esPotente :: Integer -> Bool

esPotente x = all (>1) (exponentes x)

-- (exponentes x) es la lista de los exponentes en la factorización de

-- x. Por ejemplo,

-- exponentes 108 == [2,3]

-- exponentes 360 == [3,2,1]

-- exponentes 784 == [4,2]

exponentes :: Integer -> [Int]

exponentes x = map length (group (primeFactors x))

-- (noEsPotenciaPerfecta x) se verifica si x no es una potencia

-- perfecta. Por ejemplo,

-- noEsPotenciaPerfecta 108 == True

-- noEsPotenciaPerfecta 360 == True

-- noEsPotenciaPerfecta 784 == False

noEsPotenciaPerfecta :: Integer -> Bool

noEsPotenciaPerfecta x = foldl1 gcd (exponentes x) == 1

-- Definición de huecosDeAquiles

-- =============================

huecosDeAquiles :: [Integer]

huecosDeAquiles = zipWith (-) (tail aquiles) aquiles

-- aquiles es la sucesión de los números de Aquiles. Por ejemplo,

-- λ> take 15 aquiles

-- [72,108,200,288,392,432,500,648,675,800,864,968,972,1125,1152]

aquiles :: [Integer]

aquiles = filter esAquiles [2..]

-- Definición de graficaHuecosDeAquiles

-- ====================================

graficaHuecosDeAquiles :: Int -> IO ()

graficaHuecosDeAquiles n =

plotList [ Key Nothing

, PNG "Huecos_de_Aquiles.png"

]

(take n huecosDeAquiles)

Otras soluciones

Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

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import Data.List
import Data.Numbers.Primes
import Graphics.Gnuplot.Simple  

esAquiles :: Integer -> Bool
esAquiles n | esPotenciaPerfecta n = False
esAquiles n = cumple xs
  where xs = primeFactors n

esPotenciaPerfecta :: Integer -> Bool
esPotenciaPerfecta n = all ((==0).(f y)) ys
  where xs = primeFactors n
        ys = map genericLength (group xs)
        y = minimum ys
        f x y = mod y x

cumple :: [Integer] -> Bool
cumple []         = True
cumple [x]        = False
cumple (x1:x2:xs) = x1 == x2 && cumple (dropWhile ((==x1)) xs)

huecosDeAquiles :: [Integer]
huecosDeAquiles = zipWith (-) (tail numerosAquiles) numerosAquiles

numerosAquiles :: [Integer]
numerosAquiles = [x | x <- [2..], esAquiles x]

graficaHuecosDeAquiles :: Int -> IO ()
graficaHuecosDeAquiles n = 
  plotList [ Key Nothing
           , Title ("grafica Huecos De Aquiles " ++ show n)
           ]
           (genericTake n huecosDeAquiles)

import Data.List

import Data.Numbers.Primes

import Graphics.Gnuplot.Simple

esAquiles :: Integer -> Bool

esAquiles n | esPotenciaPerfecta n = False

esAquiles n = cumple xs

where xs = primeFactors n

esPotenciaPerfecta :: Integer -> Bool

esPotenciaPerfecta n = all ((==0).(f y)) ys

where xs = primeFactors n

ys = map genericLength (group xs)

y = minimum ys

f x y = mod y x

cumple :: [Integer] -> Bool

cumple [] = True

cumple [x] = False

cumple (x1:x2:xs) = x1 == x2 && cumple (dropWhile ((==x1)) xs)

huecosDeAquiles :: [Integer]

huecosDeAquiles = zipWith (-) (tail numerosAquiles) numerosAquiles

numerosAquiles :: [Integer]

numerosAquiles = [x | x <- [2..], esAquiles x]

graficaHuecosDeAquiles :: Int -> IO ()

graficaHuecosDeAquiles n =

plotList [ Key Nothing

, Title ("grafica Huecos De Aquiles " ++ show n)

]

(genericTake n huecosDeAquiles)

Responder

import Data.Numbers.Primes
import Graphics.Gnuplot.Simple

esAquiles :: Integer -> Bool
esAquiles n = esPotente n && (not . esPotenciaPerfecta) n

aquiles :: [Integer]
aquiles = filter esAquiles [1..]

huecosDeAquiles :: [Integer]
huecosDeAquiles = zipWith (-) (tail aquiles) aquiles

potentes :: [Integer]
potentes = filter esPotente [1..]

esPotente :: Integer -> Bool
esPotente n = (all (\p -> rem n (p^2) == 0) (primeFactors n))

esPotencia :: Integer -> Integer -> Bool
esPotencia n f = any (==n) (takeWhile (<=n) [f^k | k <- [2..]])

esPotenciaPerfecta :: Integer -> Bool
esPotenciaPerfecta n = any (esPotencia n) (takeWhile (<n) [2..])

graficaHuecosDeAquiles :: Int -> IO ()
graficaHuecosDeAquiles n = do
  plotList [ Key Nothing, PNG "huecosDeAquiles.png"]
           (take n huecosDeAquiles)

import Data.Numbers.Primes

import Graphics.Gnuplot.Simple

esAquiles :: Integer -> Bool

esAquiles n = esPotente n && (not . esPotenciaPerfecta) n

aquiles :: [Integer]

aquiles = filter esAquiles [1..]

huecosDeAquiles :: [Integer]

huecosDeAquiles = zipWith (-) (tail aquiles) aquiles

potentes :: [Integer]

potentes = filter esPotente [1..]

esPotente :: Integer -> Bool

esPotente n = (all (\p -> rem n (p^2) == 0) (primeFactors n))

esPotencia :: Integer -> Integer -> Bool

esPotencia n f = any (==n) (takeWhile (<=n) [f^k | k <- [2..]])

esPotenciaPerfecta :: Integer -> Bool

esPotenciaPerfecta n = any (esPotencia n) (takeWhile (<n) [2..])

graficaHuecosDeAquiles :: Int -> IO ()

graficaHuecosDeAquiles n = do

plotList [ Key Nothing, PNG "huecosDeAquiles.png"]

(take n huecosDeAquiles)

Responder

import Data.List
import Data.Numbers.Primes
import Graphics.Gnuplot.Simple 

esAquiles :: Integer -> Bool
esAquiles p = esPotente p && (not $ potenciaPerf p )

esPotente :: Integer -> Bool
esPotente p = all (\xs->length xs >= 2) (group (primeFactors p ))

potenciaPerf :: Integer -> Bool
potenciaPerf p = multiplocomun (map (\xs-> length xs) (group (primeFactors p)))

multiplocomun :: [Int] -> Bool
multiplocomun xs = not $  null  $ foldr1 (intersect) (map (primeFactors) xs)

huecosDeAquiles :: [Integer]
huecosDeAquiles = zipWith (-) (drop 1 aquiles) aquiles

aquiles :: [Integer]
aquiles = filter (esAquiles ) [72..]

graficaHuecosDeAquiles :: Int -> IO ()
graficaHuecosDeAquiles n = plotList [] (take n huecosDeAquiles)

import Data.List

import Data.Numbers.Primes

import Graphics.Gnuplot.Simple

esAquiles :: Integer -> Bool

esAquiles p = esPotente p && (not $ potenciaPerf p )

esPotente :: Integer -> Bool

esPotente p = all (\xs->length xs >= 2) (group (primeFactors p ))

potenciaPerf :: Integer -> Bool

potenciaPerf p = multiplocomun (map (\xs-> length xs) (group (primeFactors p)))

multiplocomun :: [Int] -> Bool

multiplocomun xs = not $ null $ foldr1 (intersect) (map (primeFactors) xs)

huecosDeAquiles :: [Integer]

huecosDeAquiles = zipWith (-) (drop 1 aquiles) aquiles

aquiles :: [Integer]

aquiles = filter (esAquiles ) [72..]

graficaHuecosDeAquiles :: Int -> IO ()

graficaHuecosDeAquiles n = plotList [] (take n huecosDeAquiles)

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