Representación de Zeckendorf

Los primeros números de Fibonacci son

tales que los dos primeros son iguales a 1 y los siguientes se obtienen sumando los dos anteriores.

El teorema de Zeckendorf establece que todo entero positivo n se puede representar, de manera única, como la suma de números de Fibonacci no consecutivos decrecientes. Dicha suma se llama la representación de Zeckendorf de n. Por ejemplo, la representación de Zeckendorf de 100 es

Hay otras formas de representar 100 como sumas de números de Fibonacci; por ejemplo,

pero no son representaciones de Zeckendorf porque 1 y 2 son números de Fibonacci consecutivos, al igual que 34 y 55.

Definir la función

tal que (zeckendorf n) es la representación de Zeckendorf de n. Por ejemplo,

Soluciones

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La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Separación por posición

Definir la función

tal que (particion xs) es el par cuya primera componente son los elementos de xs en posiciones pares y su segunda componente son los restantes elementos. Por ejemplo,

Soluciones

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Nuevas soluciones

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Código de las alergias

Para la determinación de las alergia se utiliza los siguientes códigos para los alérgenos:

Así, si Juan es alérgico a los cacahuetes y al chocolate, su puntuación es 34 (es decir, 2+32).

Los alérgenos se representan mediante el siguiente tipo de dato

Definir la función

tal que (alergias n) es la lista de alergias correspondiente a una puntuación n. Por ejemplo,

Soluciones

[schedule expon=’2022-04-18′ expat=»06:00″]

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[/schedule]

[schedule on=’2022-04-18′ at=»06:00″]

El código se encuentra en [GitHub](https://github.com/jaalonso/Exercitium/blob/main/src/Alergias.hs).

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Nuevas soluciones

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[/schedule]

Números triangulares con n cifras distintas

Los números triangulares se forman como sigue

La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales. Así, los 5 primeros números triangulares son

Definir la función

tal que (triangulares n) es la lista de los números triangulares con n cifras distintas. Por ejemplo,

Soluciones

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Trenzado de listas

Definir la función

tal que (trenza xs ys) es la lista obtenida intercalando los elementos de xs e ys. Por ejemplo,

Soluciones

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Biparticiones de una lista

Definir la función

tal que (biparticiones xs) es la lista de pares formados por un prefijo de xs y el resto de xs. Por ejemplo,

Soluciones

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Reparto de escaños por la ley d’Hont

El sistema D’Hondt es una fórmula creada por Victor d’Hondt, que permite obtener el número de cargos electos asignados a las candidaturas, en proporción a los votos conseguidos.

Tras el recuento de los votos, se calcula una serie de divisores para cada partido. La fórmula de los divisores es V/N, donde V representa el número total de votos recibidos por el partido, y N representa cada uno de los números enteros desde 1 hasta el número de cargos electos de la circunscripción objeto de escrutinio. Una vez realizadas las divisiones de los votos de cada partido por cada uno de los divisores desde 1 hasta N, la asignación de cargos electos se hace ordenando los cocientes de las divisiones de mayor a menor y asignando a cada uno un escaño hasta que éstos se agoten

Definir la función

tal que (reparto n vs) es la lista de los pares formados por los números de los partidos y el número de escaño que les corresponden al repartir n escaños en función de la lista de sus votos. Por ejemplo,

es decir, en el primer ejemplo,

  • al 1º partido (que obtuvo 340000 votos) le corresponden 3 escaños,
  • al 2º partido (que obtuvo 280000 votos) le corresponden 3 escaños,
  • al 3º partido (que obtuvo 160000 votos) le corresponden 1 escaño.

Soluciones

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Orden de divisibilidad

El orden de divisibilidad de un número x es el mayor n tal que para todo i menor o igual que n, los i primeros dígitos de n es divisible por i. Por ejemplo, el orden de divisibilidad de 74156 es 3 porque

Definir la función

tal que (ordenDeDivisibilidad x) es el orden de divisibilidad de x. Por ejemplo,

Soluciones

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Cálculo de pi mediante la fracción continua de Lange

En 1999, L.J. Lange publicó el artículo An elegant new continued fraction for π.

En el primer teorema del artículo se demuestra la siguiente expresión de π mediante una fracción continua
Calculo_de_pi_mediante_la_fraccion_continua_de_Lange

La primeras aproximaciones son

Definir las funciones

tales que

  • (aproximacionPi n) es la n-ésima aproximación de pi con la fracción continua de Lange. Por ejemplo,

  • (grafica xs) dibuja la gráfica de las k-ésimas aproximaciones de pi donde k toma los valores de la lista xs. Por ejemplo, (grafica [1..10]) dibuja
    Calculo_de_pi_mediante_la_fraccion_continua_de_Lange_2
    (grafica [10..100]) dibuja
    Calculo_de_pi_mediante_la_fraccion_continua_de_Lange_3
    y (grafica [100..200]) dibuja
    Calculo_de_pi_mediante_la_fraccion_continua_de_Lange_4

Soluciones

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La conjetura de Gilbreath

Partiendo de los 5 primeros números primos y calculando el valor absoluto de la diferencia de cada dos números consecutivos hasta quedarse con un único número se obtiene la siguiente tabla:

Se observa que todas las filas, salvo la inicial, comienzan con el número 1.

Repitiendo el proceso pero empezando con los 8 primeros números primos se obtiene la siguiente tabla:

Se observa que, de nuevo, todas las filas, salvo la inicial, comienza con el número 1.

La conjetura de Gilbreath afirma que si escribimos la sucesión de números primos completa y después construimos las correspondientes sucesiones formadas por el valor absoluto de la resta de cada pareja de números consecutivos, entonces todas esas filas que obtenemos comienzan siempre por 1.

El objetivo de este ejercicio es comprobar experimentalmente dicha conjetura.

Para la representación, usaremos la simétrica de la que hemos comentado anteriormente; es decir,

en la que la primera columna son los números primos y el elemento de la fila i y columna j (con i, j > 1) es el valor absoluto de la diferencia de los elementos (i,j-1) e (i-1,j-1).

Definir las siguientes funciones

tales que

  • (siguiente x ys) es la línea siguiente de la ys que empieza por x en la tabla de Gilbreath; es decir, si ys es [y1,y2,…,yn], entonces (siguiente x ys) es [x,|y1-x|,|y2-|y1-x||,…]. Por ejemplo,

  • triangulo es el triángulo de Gilbreath. Por ejemplo,

  • (conjeturaGilbreath n) se verifica si se cumple la conjetura de Gilbreath para los n primeros números primos; es decir, en el triángulo de Gilbreath cuya primera columna son los n primeros números primos, todas las filas a partir de la segunda terminan en 1. Por ejemplo,

Soluciones

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Pensamiento

«La simplicidad es la última sofisticación.»

Leonardo da Vinci.

Primero no consecutivo

Definir la función

tal que (primeroNoConsecutivo xs) es el primer elemento de la lista xs que no es igual al siguiente de su elemento anterior en xs o Nothing si tal elemento no existe. Por ejemplo

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Pensamiento

«La única enseñanza que un profesor puede dar, en mi opinión, es la de pensar delante de sus alumnos.»

Henri Lebesgue.

Grafo de una FNC (fórmula en forma normal conjuntiva)

Para reducir el problema del clique a SAT se comienza asociando a cada fórmula F en FNC un grafo G de forma que F es saisfacible si, y sólo si, G tiene un clique con tantos nodos como cláusulas tiene F.

Los nodos del grafo de F son los literales de las cláusulas de F junto con el número de la cláusula. Por ejemplo, la lista de nodos de la FNC [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]] es

En el grafo de F, hay un arco entre dos nodos si, y solo si, corresponden a cláusulas distintas y sus literales no son complementarios. Por ejemplo,

  • hay un arco entre (0,1) y (1,2) [porque son de cláusulas distintas (0 y 1) y sus literales (1 y 2) no son complementarios.
  • no hay un arco entre (0,1) y (1,-1) [porque sus literales (1 y -1) no son complementarios.
  • no hay un arco entre (0,1) y (0,3) [porque son de la misma cláusula (la 0)].

Nota: En este ejercicio se usará los conceptos de los anteriores importando los módulos Evaluacion_de_FNC y Grafo.

Definir las funciones

tales que

  • (nodosFNC f) es la lista de los nodos del grafo de f. Por ejemplo,

  • (grafo FNC f) es el grafo de f. Por ejemplo,

Soluciones

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Pensamiento

«Las matemáticas tienen dos caras: son la ciencia rigurosa de Euclides, pero también son algo más. La matemática presentada a la manera euclidiana aparece como una ciencia sistemática y deductiva; pero la matemática en ciernes aparece como una ciencia experimental e inductiva. Ambos aspectos son tan antiguos como la propia ciencia de las matemáticas.»

George Pólya.

La conjetura de Mertens

Un número entero n es libre de cuadrados si no existe un número primo p tal que p² divide a n; es decir, los factores primos de n son todos distintos.

La función de Möbius μ(n) está definida para todos los enteros positivos como sigue:

  • μ(n) = 1 si n es libre de cuadrados y tiene un número par de factores primos.
  • μ(n) = -1 si n es libre de cuadrados y tiene un número impar de factores primos.
  • μ(n) = 0 si n no es libre de cuadrados.

Sus primeros valores son 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, …

La función de Mertens M(n) está definida para todos los enteros positivos como la suma de μ(k) para 1 ≤ k ≤ n. Sus primeros valores son 1, 0, -1, -1, -2, -1, -2, -2, …

La conjetura de Mertens afirma que

Para todo entero x mayor que 1, el valor absoluto de la función de Mertens en x es menor que la raíz cuadrada de x.

La conjetura fue planteada por Franz Mertens en 1897. Riele Odlyzko, demostraronen 1985 que la conjetura de Mertens deja de ser cierta más o menos a partir de 10^{10^{64}}, cifra que luego de algunos refinamientos se redujo a 10^{10^{40}}.

Definir las funciones

tales que

  • (mobius n) es el valor de la función de Möbius en n. Por ejemplo,

  • (mertens n) es el valor de la función de Mertens en n. Por ejemplo,

  • (graficaMertens n) dibuja la gráfica de la función de Mertens, la raíz cuadrada y el opuestos de la raíz cuadrada para los n primeros n enteros positivos. Por ejemplo, (graficaMertens 1000) dibuja

Comprobar con QuickCheck la conjetura de Mertens.

Nota: El ejercicio está basado en La conjetura de Merterns y su relación con un número tan raro como extremada y colosalmente grande publicado por @Alvy la semana pasada en Microsiervos.

Soluciones

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Pensamiento

«El control de la complejidad es la esencia de la programación informática.»

Brian Kernighan.

Infinitud de primos gemelos

Un par de números primos (p,q) es un par de números primos gemelos si su distancia de 2; es decir, si q = p+2. Por ejemplo, (17,19) es una par de números primos gemelos.

La conjetura de los primos gemelos postula la existencia de infinitos pares de primos gemelos.

Definir la constante

tal que sus elementos son los pares de primos gemelos. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck la conjetura de los primos gemelos.

Soluciones

Pensamiento

El sentimiento ha de tener tanto de individual como de genérico; debe orientarse hacia valores universales, o que pretenden serlo.

Antonio Machado

Números triangulares

La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales.

Así, los 5 primeros números triangulares son

Definir la función

tal que triangulares es la lista de los números triangulares. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que entre dos números triangulares consecutivos siempre hay un número primo.

Soluciones

Pensamiento

Autores, la escena acaba
con un dogma de teatro:
En el principio era la máscara.

Antonio Machado

Reparto de escaños por la ley d’Hont

El sistema D’Hondt es una fórmula creada por Victor d’Hondt, que permite obtener el número de cargos electos asignados a las candidaturas, en proporción a los votos conseguidos.

Tras el recuento de los votos, se calcula una serie de divisores para cada partido. La fórmula de los divisores es V/N, donde V representa el número total de votos recibidos por el partido, y N representa cada uno de los números enteros desde 1 hasta el número de cargos electos de la circunscripción objeto de escrutinio. Una vez realizadas las divisiones de los votos de cada partido por cada uno de los divisores desde 1 hasta N, la asignación de cargos electos se hace ordenando los cocientes de las divisiones de mayor a menor y asignando a cada uno un escaño hasta que éstos se agoten

Definir la función

tal que (reparto n vs) es la lista de los pares formados por los números de los partidos y el número de escaño que les corresponden al repartir n escaños en función de la lista de sus votos. Por ejemplo,

es decir, en el primer ejemplo,

  • al 1º partido (que obtuvo 340000 votos) le corresponden 3 escaños,
  • al 2º partido (que obtuvo 280000 votos) le corresponden 3 escaños,
  • al 3º partido (que obtuvo 160000 votos) le corresponden 1 escaño.

Soluciones

Pensamiento

Sus cantares llevan
agua de remanso,
que parece quieta.
Y que no lo está;
mas no tiene prisa
por ir a la mar.

Antonio Machado

Distribución de diferencias de dígitos consecutivos de pi

Usando la librería Data.Number.CReal, que se instala con

se pueden calcular el número pi con la precisión que se desee. Por ejemplo,

importa la librería y calcula el número pi con 60 decimales.

La distribución de las diferencias de los dígitos consecutivos para los 18 primeros n dígitos de pi se calcula como sigue: los primeros 18 dígitos de pi son

Las diferencias de sus elementos consecutivos es

y la distribución de sus frecuencias en el intervalo [-9,9] es

es decir, el desde el -9 a -5 no aparecen, el -4 aparece 3 veces, el -2 aparece 2 veces y así sucesivamente.

Definir las funciones

tales que

  • (distribucionDDCpi n) es la distribución de las diferencias de los dígitos consecutivos para los primeros n dígitos de pi. Por ejemplo,

  • (graficas ns f) dibuja en el fichero f las gráficas de las distribuciones de las diferencias de los dígitos consecutivos para los primeros n dígitos de pi, para n en ns. Por ejemplo, al evaluar (graficas [100,250..4000] «distribucionDDCpi.png» se escribe en el fichero «distribucionDDCpi.png» la siguiente gráfica

Soluciones

Pensamiento

Doy consejo, a fuer de viejo:
nunca sigas mi consejo.

Antonio Machado

Triángulo de Pascal binario

Los triángulos binarios de Pascal se formas a partir de una lista de ceros y unos usando las reglas del triángulo de Pascal, donde cada uno de los números es suma módulo dos de los dos situados en diagonal por encima suyo. Por ejemplo, los triángulos binarios de Pascal correspondientes a [1,0,1,1,1] y [1,0,1,1,0] son

Sus finales, desde el extremo inferior al extremos superior derecho, son [0,1,0,0,1] y [1,0,1,1,0], respectivamente.

Una lista es Pascal capicúa si es igual a los finales de su triángulo binario de Pascal. Por ejemplo, [1,0,1,1,0] es Pascal capicúa.

Definir las funciones

tales que

  • (trianguloPascalBinario xs) es el triágulo binario de Pascal correspondiente a la lista xs. Por ejemplo,

  • (pascalCapicuas n) es la lista de listas de Pascal capicúas de n elementos. Por ejemplo,

  • (nPascalCapicuas n) es el número de listas de Pascal capicúas de n elementos. Por ejemplo,

Soluciones