Números triangulares

La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales.

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                               * * * * * 
   1     3      6        10        15

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1 3 6 10 15

Así, los 5 primeros números triangulares son

    1 = 1
    3 = 1+2
    6 = 1+2+3
   10 = 1+2+3+4
   15 = 1+2+3+4+5

1 = 1

3 = 1+2

6 = 1+2+3

10 = 1+2+3+4

15 = 1+2+3+4+5

Definir la función

   triangulares :: [Integer]

1	triangulares :: [Integer]

tal que triangulares es la lista de los números triangulares. Por ejemplo,

   take 10 triangulares  ==  [1,3,6,10,15,21,28,36,45,55]
   maximum (take (5*10^6) triangulares4)  ==  12500002500000

1 2	take 10 triangulares == [1,3,6,10,15,21,28,36,45,55] maximum (take (5*10^6) triangulares4) == 12500002500000

Comprobar con QuickCheck que entre dos números triangulares consecutivos siempre hay un número primo.

Soluciones

import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)
import Data.Numbers.Primes (primes)

-- 1ª solución
-- ===========

triangulares :: [Integer]
triangulares = [sum [1..n] | n <- [1..]]

-- 2ª solución
-- ===========

triangulares2 :: [Integer]
triangulares2 = map triangular [1..]

-- (triangular n) es el n-ésimo número triangular. Por ejemplo, 
--    triangular 5  ==  15
triangular :: Integer -> Integer
triangular 1 = 1
triangular n = n + triangular (n-1)

-- 3ª solución
-- ===========

triangulares3 :: [Integer]
triangulares3 = 1 : [x+y | (x,y) <- zip [2..] triangulares]

-- 4ª solución
-- ===========

triangulares4 :: [Integer]
triangulares4 = scanl1 (+) [1..]

-- 5ª solución
-- ===========

triangulares5 :: [Integer]
triangulares5 = [(n*(n+1)) `div` 2 | n <- [1..]]

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> maximum (take (10^4) triangulares)
--    50005000
--    (2.10 secs, 8,057,774,104 bytes)
--    λ> maximum (take (10^4) triangulares2)
--    50005000
--    (18.89 secs, 12,142,690,784 bytes)
--    λ> maximum (take (10^4) triangulares3)
--    50005000
--    (0.01 secs, 4,600,976 bytes)
--    λ> maximum (take (10^4) triangulares4)
--    50005000
--    (0.01 secs, 3,643,192 bytes)
--    λ> maximum (take (10^4) triangulares5)
--    50005000
--    (0.02 secs, 5,161,464 bytes)
--    
--    λ> maximum (take (3*10^4) triangulares3)
--    450015000
--    (26.06 secs, 72,546,027,136 bytes)
--    λ> maximum (take (3*10^4) triangulares4)
--    450015000
--    (0.02 secs, 10,711,600 bytes)
--    λ> maximum (take (3*10^4) triangulares5)
--    450015000
--    (0.03 secs, 15,272,320 bytes)
--    
--    λ> maximum (take (5*10^6) triangulares4)
--    12500002500000
--    (1.67 secs, 1,772,410,336 bytes)
--    λ> maximum (take (5*10^6) triangulares5)
--    12500002500000
--    (4.09 secs, 2,532,407,720 bytes)

-- La propiedad es
prop_triangulares :: Int -> Property
prop_triangulares n =
  n >= 0 ==> siguientePrimo x < y
  where (x:y:_) = drop n triangulares4

-- (siguientePrimo n) es el menor primo mayor o igual que n. Por
-- ejemplo, 
--    siguientePrimo 14  ==  17
--    siguientePrimo 17  ==  17
siguientePrimo :: Integer -> Integer
siguientePrimo n = head (dropWhile (< n) primes)

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_triangulares
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)

import Data.Numbers.Primes (primes)

-- 1ª solución

-- ===========

triangulares :: [Integer]

triangulares = [sum [1..n] | n <- [1..]]

-- 2ª solución

-- ===========

triangulares2 :: [Integer]

triangulares2 = map triangular [1..]

-- (triangular n) es el n-ésimo número triangular. Por ejemplo,

-- triangular 5 == 15

triangular :: Integer -> Integer

triangular 1 = 1

triangular n = n + triangular (n-1)

-- 3ª solución

-- ===========

triangulares3 :: [Integer]

triangulares3 = 1 : [x+y | (x,y) <- zip [2..] triangulares]

-- 4ª solución

-- ===========

triangulares4 :: [Integer]

triangulares4 = scanl1 (+) [1..]

-- 5ª solución

-- ===========

triangulares5 :: [Integer]

triangulares5 = [(n*(n+1)) `div` 2 | n <- [1..]]

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> maximum (take (10^4) triangulares)

-- 50005000

-- (2.10 secs, 8,057,774,104 bytes)

-- λ> maximum (take (10^4) triangulares2)

-- 50005000

-- (18.89 secs, 12,142,690,784 bytes)

-- λ> maximum (take (10^4) triangulares3)

-- 50005000

-- (0.01 secs, 4,600,976 bytes)

-- λ> maximum (take (10^4) triangulares4)

-- 50005000

-- (0.01 secs, 3,643,192 bytes)

-- λ> maximum (take (10^4) triangulares5)

-- 50005000

-- (0.02 secs, 5,161,464 bytes)

-- λ> maximum (take (3*10^4) triangulares3)

-- 450015000

-- (26.06 secs, 72,546,027,136 bytes)

-- λ> maximum (take (3*10^4) triangulares4)

-- 450015000

-- (0.02 secs, 10,711,600 bytes)

-- λ> maximum (take (3*10^4) triangulares5)

-- 450015000

-- (0.03 secs, 15,272,320 bytes)

-- λ> maximum (take (5*10^6) triangulares4)

-- 12500002500000

-- (1.67 secs, 1,772,410,336 bytes)

-- λ> maximum (take (5*10^6) triangulares5)

-- 12500002500000

-- (4.09 secs, 2,532,407,720 bytes)

-- La propiedad es

prop_triangulares :: Int -> Property

prop_triangulares n =

n >= 0 ==> siguientePrimo x < y

where (x:y:_) = drop n triangulares4

-- (siguientePrimo n) es el menor primo mayor o igual que n. Por

-- ejemplo,

-- siguientePrimo 14 == 17

-- siguientePrimo 17 == 17

siguientePrimo :: Integer -> Integer

siguientePrimo n = head (dropWhile (< n) primes)

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_triangulares

-- +++ OK, passed 100 tests.

Pensamiento

Autores, la escena acaba
con un dogma de teatro:
En el principio era la máscara.

Antonio Machado

9 Comentarios

triangulares :: [Integer]
triangulares = [x*(x+1) `div` 2 | x <- [1..]]

1 2	triangulares :: [Integer] triangulares = [x*(x+1) `div` 2 \| x <- [1..]]

Responder

import Test.QuickCheck 
import Data.Numbers.Primes (isPrime)

triangulares :: [Integer]
triangulares = [x*(x+1) `div` 2 | x <- [1..]]

primotriangulares :: Int -> Property
primotriangulares n =
  n >= 0
  ==>
  filter isPrime [triangulares !! n..triangulares !!(n+1)] /= []

--   λ> quickCheck primotriangulares
--   +++ OK, passed 100 tests.

import Test.QuickCheck

import Data.Numbers.Primes (isPrime)

triangulares :: [Integer]

triangulares = [x*(x+1) `div` 2 | x <- [1..]]

primotriangulares :: Int -> Property

primotriangulares n =

n >= 0

==>

filter isPrime [triangulares !! n..triangulares !!(n+1)] /= []

-- λ> quickCheck primotriangulares

-- +++ OK, passed 100 tests.

Responder

triangulares :: [Integer]
triangulares = 1 : zipWith (+) [2..] triangulares

-- La función no es suficientemente eficiente porque para el segundo
-- ejemplo le toma más de 2''. 
--    λ> maximum (take (5*10^6) triangulares)
--    12500002500000
--    (4.70 secs, 812,424,384 bytes)

-- La comprobación es como la de Juan.

triangulares :: [Integer]

triangulares = 1 : zipWith (+) [2..] triangulares

-- La función no es suficientemente eficiente porque para el segundo

-- ejemplo le toma más de 2''.

-- λ> maximum (take (5*10^6) triangulares)

-- 12500002500000

-- (4.70 secs, 812,424,384 bytes)

-- La comprobación es como la de Juan.

Responder

triangulares :: [Integer]
triangulares = [sum [1..n] | n <- [1..]]

1 2	triangulares :: [Integer] triangulares = [sum [1..n] \| n <- [1..]]

Responder

triangulares :: [Integer]
triangulares = map triangular [1..]

-- (triangular n) es el n-ésimo número triangular. Por ejemplo, 
--    triangular 5  ==  15
triangular :: Integer -> Integer
triangular 1 = 1
triangular n = n + triangular (n-1)

triangulares :: [Integer]

triangulares = map triangular [1..]

-- (triangular n) es el n-ésimo número triangular. Por ejemplo,

-- triangular 5 == 15

triangular :: Integer -> Integer

triangular 1 = 1

triangular n = n + triangular (n-1)

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triangulares :: [Integer]
triangulares = scanl1 (+) [1..]

1 2	triangulares :: [Integer] triangulares = scanl1 (+) [1..]

Responder

Esta definición es una adaptación a Python de la de antgongar.

# triangulares(n) es la lista de los n primeros números
# triangulares. Por ejemplo, 
#    >>> triangulares(5)
#    [1, 3, 6, 10, 15]
def triangulares(n):
    return [sum(range(1,x+1)) for x in range(1,n+1)]

# triangulares(n) es la lista de los n primeros números

# triangulares. Por ejemplo,

# >>> triangulares(5)

# [1, 3, 6, 10, 15]

def triangulares(n):

return [sum(range(1,x+1)) for x in range(1,n+1)]

Responder

Se puede hacer para listas infinitas

from itertools import count, islice

def take(n,xs):
    """
    es la lista formada por los n primeros elementos de xs. Por
    ejemplo, 
       >>> take(3,count(1))
       [1, 2, 3]
    """   
    return list(islice(xs,n))

def triangulares():
    """
    es la lista de los números triangulares. Por ejemplo,
       >>> take(5,triangulares())
       [1, 3, 6, 10, 15]
    """
    return (sum(range(1,n+1)) for n in count(1))

from itertools import count, islice

def take(n,xs):

"""

es la lista formada por los n primeros elementos de xs. Por

ejemplo,

>>> take(3,count(1))

[1, 2, 3]

"""

return list(islice(xs,n))

def triangulares():

"""

es la lista de los números triangulares. Por ejemplo,

>>> take(5,triangulares())

[1, 3, 6, 10, 15]

"""

return (sum(range(1,n+1)) for n in count(1))

Responder

Una adaptación de la definición de bercabdel

def triangular(n):
    """
    es el n-ésimo número triangular. Por ejemplo,
       >>> triangular(5)
       15
    """
    if n == 1:
        return 1
    else:
        return n + triangular(n - 1)


def triangulares(n):
    """
    es la lista de los n primeros números triangulares. Por ejemplo,
       >>> triangulares(5)
       [1, 3, 6, 10, 15]
    """
    return list(map(triangular, range(1, n + 1)))

def triangular(n):

"""

es el n-ésimo número triangular. Por ejemplo,

>>> triangular(5)

"""

if n == 1:

return 1

else:

return n + triangular(n - 1)

def triangulares(n):

"""

es la lista de los n primeros números triangulares. Por ejemplo,

>>> triangulares(5)

[1, 3, 6, 10, 15]

"""

return list(map(triangular, range(1, n + 1)))

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