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Números triangulares con n cifras distintas

Los números triangulares se forman como sigue

   *     *      *
        * *    * *
              * * *
   1     3      6

La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales. Así, los 5 primeros números triangulares son

    1 = 1
    3 = 1 + 2
    6 = 1 + 2 + 3
   10 = 1 + 2 + 3 + 4
   15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Definir la función

   triangularesConCifras :: Int -> [Integer]

tal que (triangulares n) es la lista de los números triangulares con n cifras distintas. Por ejemplo,

   take 6 (triangularesConCifras 1)   ==  [1,3,6,55,66,666]
   take 6 (triangularesConCifras 2)   ==  [10,15,21,28,36,45]
   take 6 (triangularesConCifras 3)   ==  [105,120,136,153,190,210]
   take 5 (triangularesConCifras 4)   ==  [1035,1275,1326,1378,1485]
   take 2 (triangularesConCifras 10)  ==  [1062489753,1239845706]

Soluciones

import Data.List (nub)
import Test.QuickCheck
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
triangularesConCifras1 :: Int -> [Integer]
triangularesConCifras1 n =
  [x | x <- triangulares1,
       nCifras x == n]
 
-- triangulares1 es la lista de los números triangulares. Por ejemplo,
--    take 10 triangulares1 == [1,3,6,10,15,21,28,36,45,55]
triangulares1 :: [Integer]
triangulares1 = map triangular [1..]
 
triangular :: Integer -> Integer
triangular 1 = 1
triangular n = triangular (n-1) + n
 
-- (nCifras x) es el número de cifras distintas del número x. Por
-- ejemplo,
--    nCifras 325275  ==  4
nCifras :: Integer -> Int
nCifras = length . nub . show
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
triangularesConCifras2 :: Int -> [Integer]
triangularesConCifras2 n =
  [x | x <- triangulares2,
       nCifras x == n]
 
triangulares2 :: [Integer]
triangulares2 = [(n*(n+1)) `div` 2 | n <- [1..]]
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
triangularesConCifras3 :: Int -> [Integer]
triangularesConCifras3 n =
  [x | x <- triangulares3,
       nCifras x == n]
 
triangulares3 :: [Integer]
triangulares3 = 1 : [x+y | (x,y) <- zip [2..] triangulares3]
 
-- 4ª solución
-- ===========
 
triangularesConCifras4 :: Int -> [Integer]
triangularesConCifras4 n =
  [x | x <- triangulares4,
       nCifras x == n]
 
triangulares4 :: [Integer]
triangulares4 = 1 : zipWith (+) [2..] triangulares4
 
-- 5ª solución
-- ===========
 
triangularesConCifras5 :: Int -> [Integer]
triangularesConCifras5 n =
  [x | x <- triangulares5,
       nCifras x == n]
 
triangulares5 :: [Integer]
triangulares5 = scanl (+) 1 [2..]
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La 1ª propiedad es
prop_triangularesConCifras1 :: Bool
prop_triangularesConCifras1 =
  [take 2 (triangularesConCifras1 n) | n <- [1..7]] ==
  [take 2 (triangularesConCifras2 n) | n <- [1..7]]
 
-- La comprobación es
--    λ> prop_triangularesConCifras1
--    True
 
-- La 2ª propiedad es
prop_triangularesConCifras2 :: Int -> Bool
prop_triangularesConCifras2 n =
  all (== take 5 (triangularesConCifras2 n'))
      [take 5 (triangularesConCifras3 n'),
       take 5 (triangularesConCifras4 n'),
       take 5 (triangularesConCifras5 n')]
  where n' = 1 + n `mod` 9
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_triangularesConCifras
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> (triangularesConCifras1 3) !! 220
--    5456556
--    (2.48 secs, 1,228,690,120 bytes)
--    λ> (triangularesConCifras2 3) !! 220
--    5456556
--    (0.01 secs, 4,667,288 bytes)
--
--    λ> (triangularesConCifras2 3) !! 600
--    500010500055
--    (1.76 secs, 1,659,299,872 bytes)
--    λ> (triangularesConCifras3 3) !! 600
--    500010500055
--    (1.67 secs, 1,603,298,648 bytes)
--    λ> (triangularesConCifras4 3) !! 600
--    500010500055
--    (1.20 secs, 1,507,298,248 bytes)
--    λ> (triangularesConCifras5 3) !! 600
--    500010500055
--    (1.15 secs, 1,507,298,256 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Nuevas soluciones

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