Si R es un anillo y a, b ∈ R tales que a+b=0, entonces a=-b
Demostrar con Lean4 que si R es un anillo y a, b ∈ R tales que
|
1 |
a + b = 0 |
entonces
|
1 |
a = -b |
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
import Mathlib.Algebra.Ring.Defs import Mathlib.Tactic variable {R : Type _} [Ring R] variable {a b : R} example (h : a + b = 0) : a = -b := sorry |
Demostración en lenguaje natural
1ª demostración en LN
Por la siguiente cadena de igualdades
\begin{align}
a &= (a + b) + -b &&\text{[por la concelativa]} \\
&= 0 + -b &&\text{[por la hipótesis]} \\
&= -b &&\text{[por la suma con cero]}
\end{align}
2ª demostración en LN
Sumando \(-a\) a ambos lados de la hipótesis, se tiene
\[(a + b) + -b = 0 + -b\]
El término de la izquierda se reduce a \(a\) (por la cancelativa) y el de la derecha a \(-b\) (por la suma con cero). Por tanto, se tiene
\[a = -b\]
Demostraciones con Lean4
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 |
import Mathlib.Algebra.Ring.Defs import Mathlib.Tactic variable {R : Type _} [Ring R] variable {a b : R} -- 1ª demostración (basada en la 1ª en LN) example (h : a + b = 0) : a = -b := calc a = (a + b) + -b := by rw [add_neg_cancel_right] _ = 0 + -b := by rw [h] _ = -b := by rw [zero_add] -- 2ª demostración (basada en la 1ª en LN) example (h : a + b = 0) : a = -b := calc a = (a + b) + -b := by simp _ = 0 + -b := by rw [h] _ = -b := by simp -- 3ª demostración (basada en la 1ª en LN) example (h : a + b = 0) : a = -b := by have h1 : (a + b) + -b = 0 + -b := by rw [h] have h2 : (a + b) + -b = a := add_neg_cancel_right a b have h3 : 0 + -b = -b := zero_add (-b) rwa [h2, h3] at h1 -- 4ª demostración example (h : a + b = 0) : a = -b := add_eq_zero_iff_eq_neg.mp h |
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 11.
