Si R es un anillo y a, b ∈ R tales que a+b=0, entonces -a=b

Demostrar con Lean4 que si R es un anillo y a, b ∈ R tales que

   a + b = 0

a + b = 0

entonces

   -a = b

-a = b

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]
variable {a b : R}

example
  (h : a + b = 0)
  : -a = b :=
sorry

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]

variable {a b : R}

example

(h : a + b = 0)

: -a = b :=

sorry

Demostraciones en lenguaje natural (LN)

1ª demostración en LN

Por la siguiente cadena de igualdades
\begin{align}
-a &= -a + 0 &&\text{[por suma cero]} \\
&= -a + (a + b) &&\text{[por hipótesis]} \\
&= b &&\text{[por cancelativa]}
\end{align}

2ª demostración en LN

Sumando \(-a\) a ambos lados de la hipótesis, se tiene
\[-a + (a + b) = -a + 0\]
El término de la izquierda se reduce a \(b\) (por la cancelativa) y el de la derecha a \(-a\) (por la suma con cero). Por tanto, se tiene
\[b = -a\]
Por la simetría de la igualdad, se tiene
\[-a = b\]

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]
variable {a b : R}

-- 1ª demostración (basada en la 1º en LN)
example
  (h : a + b = 0)
  : -a = b :=
calc
  -a = -a + 0       := by rw [add_zero]
   _ = -a + (a + b) := by rw [h]
   _ = b            := by rw [neg_add_cancel_left]

-- 2ª demostración (basada en la 1º en LN)
example
  (h : a + b = 0)
  : -a = b :=
calc
  -a = -a + 0       := by simp
   _ = -a + (a + b) := by rw [h]
   _ = b            := by simp

-- 3ª demostración (basada en la 2º en LN)
example
  (h : a + b = 0)
  : -a = b :=
by
  have h1 : -a + (a + b) = -a + 0 := congrArg (HAdd.hAdd (-a)) h
  have h2 : -a + (a + b) = b := neg_add_cancel_left a b
  have h3 : -a + 0 = -a := add_zero (-a)
  rw [h2, h3] at h1
  exact h1.symm

-- 4ª demostración (con la librería mathlib)
example
  (h : a + b = 0)
  : -a = b :=
neg_eq_iff_add_eq_zero.mpr h

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs

import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]

variable {a b : R}

-- 1ª demostración (basada en la 1º en LN)

example

(h : a + b = 0)

: -a = b :=

calc

-a = -a + 0 := by rw [add_zero]

_ = -a + (a + b) := by rw [h]

_ = b := by rw [neg_add_cancel_left]

-- 2ª demostración (basada en la 1º en LN)

example

(h : a + b = 0)

: -a = b :=

calc

-a = -a + 0 := by simp

_ = -a + (a + b) := by rw [h]

_ = b := by simp

-- 3ª demostración (basada en la 2º en LN)

example

(h : a + b = 0)

: -a = b :=

have h1 : -a + (a + b) = -a + 0 := congrArg (HAdd.hAdd (-a)) h

have h2 : -a + (a + b) = b := neg_add_cancel_left a b

have h3 : -a + 0 = -a := add_zero (-a)

rw [h2, h3] at h1

exact h1.symm

-- 4ª demostración (con la librería mathlib)

example

(h : a + b = 0)

: -a = b :=

neg_eq_iff_add_eq_zero.mpr h

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias

J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 11.

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