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Autor: José A. Alonso

Si x e y son sumas de dos cuadrados, entonces xy también lo es

Demostrar que si x e y son sumas de dos cuadrados, entonces xy también lo es.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import tactic
variables {α : Type*} [comm_ring α]
variables {x y : α}
 
-- (es_suma_de_cuadrados x) se verifica si x se puede escribir como la
-- suma de dos cuadrados.
def es_suma_de_cuadrados (x : α) :=  a b, x = a^2 + b^2
 
example
  (hx : es_suma_de_cuadrados x)
  (hy : es_suma_de_cuadrados y)
  : es_suma_de_cuadrados (x * y) :=
sorry

Si c ≥ 0 y f está acotada superiormente, entonces c * f también lo está

Demostrar que si c ≥ 0 y f está acotada superiormente, entonces c * f también lo está.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import data.real.basic
 
variables {f :   }                    
variables {a c : }                      
 
-- (cota_superior f a) se verifica si a es una cota superior de f.
def cota_superior (f :   ) (a : ) : Prop :=  x, f x  a
 
-- (acotada_sup f) se verifica si f tiene cota superior.
def acotada_sup (f :   ) :=  a, cota_superior f a
 
example
  (hf : acotada_sup f)
  (h : c  0)
  : acotada_sup (λ x, c * f x) :=
sorry

La suma de dos funciones acotadas inferiormente también lo está

Demostrar que la suma de dos funciones acotadas inferiormente también lo está.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import data.real.basic
 
variables {f g :   }
variables {a b : }
 
-- (cota_inferior f a) se verifica si a es una cota inferior de f.
def cota_inferior (f :   ) (a : ) : Prop :=  x, a  f x
 
-- (acotada_inf f) se verifica si f tiene cota inferior.
def acotada_inf (f :   ) :=  a, cota_inferior f a
 
example
  (hf : acotada_inf f)
  (hg : acotada_inf g)
  : acotada_inf (f + g) :=
sorry

La suma de dos funciones acotadas superiormente también lo está

Demostrar que la suma de dos funciones acotadas superiormente también lo está.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import data.real.basic
 
variables {f g :   }
variables {a b : }
 
-- (cota_superior f a) se verifica si a es una cota superior de f.
def cota_superior (f :   ) (a : ) : Prop :=  x, f x  a
 
-- (acotada_sup f) afirma que f tiene cota superior.
def acotada_sup (f :   ) :=  a, cota_superior f a
 
example
  (hf : acotada_sup f)
  (hg : acotada_sup g)
  : acotada_sup (f + g) :=
sorry

Si f: A → B y g: B → C son inyectiva, entonces g ∘ f es inyectiva

Demostrar que si f: A → B y g: B → C son inyectiva, entonces g ∘ f es inyectiva.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import tactic
 
open function
 
variables {A : Type*} {B : Type*} {C : Type*}
variables {f : A  B} {g : B  C}
 
example
  (hg : injective g)
  (hf : injective f) :
  injective (g  f) :=
sorry