Si R es un anillo, entonces -0 = 0
Demostrar con Lean4 que si R es un anillo, entonces
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-0 = 0 |
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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import Mathlib.Algebra.Ring.Defs import Mathlib.Tactic variable {R : Type _} [Ring R] example : (-0 : R) = 0 := sorry |
Demostraciones en lenguaje natural (LN)
1ª demostración en LN
Por la suma con cero se tiene
\[0 + 0 = 0\]
Aplicándole la propiedad
\[\forall a b ∈ R, a + b = 0 \to -a = b\]
se obtiene
\[-0 = 0\]
2ª demostración en LN
Puesto que
\[\forall a b ∈ R, a + b = 0 \to -a = b\]
basta demostrar que
\[0 + 0 = 0\]
que es cierta por la suma con cero.
Demostraciones con Lean4
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import Mathlib.Algebra.Ring.Defs import Mathlib.Tactic variable {R : Type _} [Ring R] -- 1ª demostración (basada en la 1ª en LN) example : (-0 : R) = 0 := by have h1 : (0 : R) + 0 = 0 := add_zero 0 show (-0 : R) = 0 exact neg_eq_of_add_eq_zero_left h1 -- 2ª demostración (basada en la 2ª en LN) example : (-0 : R) = 0 := by apply neg_eq_of_add_eq_zero_left rw [add_zero] -- 3ª demostración example : (-0 : R) = 0 := neg_zero -- 4ª demostración example : (-0 : R) = 0 := by simp |
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 11.
