Si R es un anillo y a ∈ R, entonces 0.a = 0
Demostrar con Lean4 que si R es un anillo y a ∈ R, entonces
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0 * a = 0 |
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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import Mathlib.Algebra.Ring.Defs import Mathlib.Tactic variable {R : Type _} [Ring R] variable (a : R) example : 0 * a = 0 := sorry |
Demostración en lenguaje natural
Basta aplicar la propiedad cancelativa a
\[0.a + 0.a = 0.a + 0\]
que se demuestra mediante la siguiente cadena de igualdades
\begin{align}
0.a + 0.a &= (0 + 0).a &&\text{[por la distributiva]} \\
&= 0.a &&\text{[por suma con cero]} \\
&= 0.a + 0 &&\text{[por suma con cero]}
\end{align}
Demostraciones con Lean4
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import Mathlib.Algebra.Ring.Defs import Mathlib.Tactic variable {R : Type _} [Ring R] variable (a : R) -- 1ª demostración example : 0 * a = 0 := by have h : 0 * a + 0 * a = 0 * a + 0 := calc 0 * a + 0 * a = (0 + 0) * a := by rw [add_mul] _ = 0 * a := by rw [add_zero] _ = 0 * a + 0 := by rw [add_zero] rw [add_left_cancel h] -- 2ª demostración example : 0 * a = 0 := by have h : 0 * a + 0 * a = 0 * a + 0 := by rw [←add_mul, add_zero, add_zero] rw [add_left_cancel h] -- 3ª demostración example : 0 * a = 0 := by have : 0 * a + 0 * a = 0 * a + 0 := calc 0 * a + 0 * a = (0 + 0) * a := by simp _ = 0 * a := by simp _ = 0 * a + 0 := by simp simp -- 4ª demostración example : 0 * a = 0 := by have : 0 * a + 0 * a = 0 * a + 0 := by simp simp -- 5ª demostración example : 0 * a = 0 := by simp -- 6ª demostración example : 0 * a = 0 := zero_mul a |
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 11.
