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Matrices de Pascal

PorJosé A. Alonso 9-marzo-201816-marzo-2018

El triángulo de Pascal es un triángulo de números

         1
        1 1
       1 2 1
     1  3 3  1
    1 4  6  4 1
   1 5 10 10 5 1
  ...............

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

...............

construido de la siguiente forma

la primera fila está formada por el número 1;
las filas siguientes se construyen sumando los números adyacentes de la fila superior y añadiendo un 1 al principio y al final de la fila.

La matriz de Pascal es la matriz cuyas filas son los elementos de la
correspondiente fila del triángulo de Pascal completadas con ceros. Por ejemplo, la matriz de Pascal de orden 6 es

   |1 0  0  0 0 0|
   |1 1  0  0 0 0|
   |1 2  1  0 0 0|
   |1 3  3  1 0 0|
   |1 4  6  4 1 0|
   |1 5 10 10 5 1|

|1 0 0 0 0 0|

|1 1 0 0 0 0|

|1 2 1 0 0 0|

|1 3 3 1 0 0|

|1 4 6 4 1 0|

|1 5 10 10 5 1|

Definir la función

   matrizPascal :: Int -> Matrix Integer

1	matrizPascal :: Int -> Matrix Integer

tal que (matrizPascal n) es la matriz de Pascal de orden n. Por ejemplo,

   λ> matrizPascal 6
   (  1  0  0  0  0  0 )
   (  1  1  0  0  0  0 )
   (  1  2  1  0  0  0 )
   (  1  3  3  1  0  0 )
   (  1  4  6  4  1  0 )
   (  1  5 10 10  5  1 )

λ> matrizPascal 6

( 1 0 0 0 0 0 )

( 1 1 0 0 0 0 )

( 1 2 1 0 0 0 )

( 1 3 3 1 0 0 )

( 1 4 6 4 1 0 )

( 1 5 10 10 5 1 )

Soluciones

import Data.Matrix

-- 1ª solución
-- ===========

matrizPascal :: Int -> Matrix Integer 
matrizPascal 1 = fromList 1 1 [1]
matrizPascal n = matrix n n f 
  where f (i,j) | i < n && j <  n  = p!(i,j)
                | i < n && j == n  = 0
                | j == 1 || j == n = 1
                | otherwise        = p!(i-1,j-1) + p!(i-1,j)
        p = matrizPascal (n-1)

-- 2ª solución
-- ===========

matrizPascal2 :: Int -> Matrix Integer
matrizPascal2 n = fromLists xss
  where yss = take n pascal
        xss = map (take n) (map (++ repeat 0) yss)
        
pascal :: [[Integer]]
pascal = [1] : map f pascal
    where f xs = zipWith (+) (0:xs) (xs ++ [0])

-- 3ª solución
-- ===========

matrizPascal3 :: Int -> Matrix Integer
matrizPascal3 n =  matrix n n f
  where f (i,j) | i >=  j   = comb (i-1) (j-1)
                | otherwise = 0

-- (comb n k) es el número de combinaciones (o coeficiente binomial) de
-- n sobre k. Por ejemplo,
comb :: Int -> Int -> Integer
comb n k = product [n',n'-1..n'-k'+1] `div` product [1..k']
  where n' = fromIntegral n
        k' = fromIntegral k

-- 4ª solución
-- ===========

matrizPascal4 :: Int -> Matrix Integer
matrizPascal4 n = p
  where p = matrix n n (\(i,j) -> f i j)
        f i 1 = 1
        f i j
          | j >  i    = 0
          | i == j    = 1
          | otherwise = p!(i-1,j) + p!(i-1,j-1)

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> maximum (matrizPascal 150)
--    46413034868354394849492907436302560970058760
--    (2.58 secs, 394,030,504 bytes)
--    λ> maximum (matrizPascal2 150)
--    46413034868354394849492907436302560970058760
--    (0.03 secs, 8,326,784 bytes)
--    λ> maximum (matrizPascal3 150)
--    46413034868354394849492907436302560970058760
--    (0.38 secs, 250,072,360 bytes)
--    λ> maximum (matrizPascal4 150)
--    46413034868354394849492907436302560970058760
--    (0.10 secs, 13,356,360 bytes)
--    
--    λ> length (show (maximum (matrizPascal2 300)))
--    89
--    (0.06 secs, 27,286,296 bytes)
--    λ> length (show (maximum (matrizPascal3 300)))
--    89
--    (2.74 secs, 2,367,037,536 bytes)
--    λ> length (show (maximum (matrizPascal4 300)))
--    89
--    (0.36 secs, 53,934,792 bytes)
--    
--    λ> length (show (maximum (matrizPascal2 700)))
--    209
--    (0.83 secs, 207,241,080 bytes)
--    λ> length (show (maximum (matrizPascal4 700)))
--    209
--    (2.22 secs, 311,413,008 bytes)

import Data.Matrix

-- 1ª solución

-- ===========

matrizPascal :: Int -> Matrix Integer

matrizPascal 1 = fromList 1 1 [1]

matrizPascal n = matrix n n f

where f (i,j) | i < n && j < n = p!(i,j)

| i < n && j == n = 0

| j == 1 || j == n = 1

| otherwise = p!(i-1,j-1) + p!(i-1,j)

p = matrizPascal (n-1)

-- 2ª solución

-- ===========

matrizPascal2 :: Int -> Matrix Integer

matrizPascal2 n = fromLists xss

where yss = take n pascal

xss = map (take n) (map (++ repeat 0) yss)

pascal :: [[Integer]]

pascal = [1] : map f pascal

where f xs = zipWith (+) (0:xs) (xs ++ [0])

-- 3ª solución

-- ===========

matrizPascal3 :: Int -> Matrix Integer

matrizPascal3 n = matrix n n f

where f (i,j) | i >= j = comb (i-1) (j-1)

| otherwise = 0

-- (comb n k) es el número de combinaciones (o coeficiente binomial) de

-- n sobre k. Por ejemplo,

comb :: Int -> Int -> Integer

comb n k = product [n',n'-1..n'-k'+1] `div` product [1..k']

where n' = fromIntegral n

k' = fromIntegral k

-- 4ª solución

-- ===========

matrizPascal4 :: Int -> Matrix Integer

matrizPascal4 n = p

where p = matrix n n (\(i,j) -> f i j)

f i 1 = 1

f i j

| j > i = 0

| i == j = 1

| otherwise = p!(i-1,j) + p!(i-1,j-1)

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> maximum (matrizPascal 150)

-- 46413034868354394849492907436302560970058760

-- (2.58 secs, 394,030,504 bytes)

-- λ> maximum (matrizPascal2 150)

-- 46413034868354394849492907436302560970058760

-- (0.03 secs, 8,326,784 bytes)

-- λ> maximum (matrizPascal3 150)

-- 46413034868354394849492907436302560970058760

-- (0.38 secs, 250,072,360 bytes)

-- λ> maximum (matrizPascal4 150)

-- 46413034868354394849492907436302560970058760

-- (0.10 secs, 13,356,360 bytes)

-- λ> length (show (maximum (matrizPascal2 300)))

-- 89

-- (0.06 secs, 27,286,296 bytes)

-- λ> length (show (maximum (matrizPascal3 300)))

-- 89

-- (2.74 secs, 2,367,037,536 bytes)

-- λ> length (show (maximum (matrizPascal4 300)))

-- 89

-- (0.36 secs, 53,934,792 bytes)

-- λ> length (show (maximum (matrizPascal2 700)))

-- 209

-- (0.83 secs, 207,241,080 bytes)

-- λ> length (show (maximum (matrizPascal4 700)))

-- 209

-- (2.22 secs, 311,413,008 bytes)

Números cuyos factoriales son divisibles por x pero no por y

PorJosé A. Alonso 28-febrero-20187-marzo-2018

Hay 3 números (el 2, 3 y 4) cuyos factoriales son divisibles por 2 pero no por 5. Análogamente, hay números 5 (el 5, 6, 7, 8, 9) cuyos factoriales son divisibles por 15 pero no por 25.

Definir la función

   nNumerosConFactorialesDivisibles :: Integer -> Integer -> Integer

1	nNumerosConFactorialesDivisibles :: Integer -> Integer -> Integer

tal que (nNumerosConFactorialesDivisibles x y) es la cantidad de números cuyo factorial es divisible por x pero no por y. Por ejemplo,

  nNumerosConFactorialesDivisibles 2   5     ==  3
  nNumerosConFactorialesDivisibles 15  25    ==  5
  nNumerosConFactorialesDivisibles 100 2000  ==  5

nNumerosConFactorialesDivisibles 2 5 == 3

nNumerosConFactorialesDivisibles 15 25 == 5

nNumerosConFactorialesDivisibles 100 2000 == 5

Soluciones

import Data.List (genericLength)

-- 1ª solución
-- ===========

nNumerosConFactorialesDivisibles :: Integer -> Integer -> Integer
nNumerosConFactorialesDivisibles x y =
  genericLength (numerosConFactorialesDivisibles x y)

-- (numerosConFactorialesDivisibles x y) es la lista de números
-- divisibles por el factorial de x pero no divisibles por el 
-- factorial de y. Por ejemplo,
--   numerosConFactorialesDivisibles 2  5   ==  [2,3,4]
--   numerosConFactorialesDivisibles 15 25  ==  [5,6,7,8,9]
numerosConFactorialesDivisibles :: Integer -> Integer -> [Integer]
numerosConFactorialesDivisibles x y =
  [z | z <- [0..y-1]
     , factorial z `mod` x == 0
     , factorial z `mod` y /= 0]

-- (factorial n) es el factorial de n. Por ejemplo, 
--   factorial 4  ==  24
factorial :: Integer -> Integer
factorial n = product [1..n]

-- 2ª solución (usando la función de Smarandache)
-- ==============================================

nNumerosConFactorialesDivisibles2 :: Integer -> Integer -> Integer
nNumerosConFactorialesDivisibles2 x y =
  max 0 (smarandache y - smarandache x)

--(smarandache n) es el menor número cuyo factorial es divisible por
-- n. Por ejemplo,   
--    smarandache 8   ==  4
--    smarandache 10  ==  5
--    smarandache 16  ==  6
smarandache :: Integer -> Integer
smarandache x =
  head [n | (n,y) <- zip [0..] factoriales
          , y `mod` x == 0]

-- factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo, 
--    λ> take 12 factoriales
--    [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800,39916800]
factoriales :: [Integer]
factoriales = 1 : scanl1 (*) [1..]

-- Comparación de eficiencia
--    λ> nNumerosConFactorialesDivisibles 100 2000
--    5
--    (2.70 secs, 3,933,938,648 bytes)
--    λ> nNumerosConFactorialesDivisibles2 100 2000
--    5
--    (0.01 secs, 148,200 bytes)

import Data.List (genericLength)

-- 1ª solución

-- ===========

nNumerosConFactorialesDivisibles :: Integer -> Integer -> Integer

nNumerosConFactorialesDivisibles x y =

genericLength (numerosConFactorialesDivisibles x y)

-- (numerosConFactorialesDivisibles x y) es la lista de números

-- divisibles por el factorial de x pero no divisibles por el

-- factorial de y. Por ejemplo,

-- numerosConFactorialesDivisibles 2 5 == [2,3,4]

-- numerosConFactorialesDivisibles 15 25 == [5,6,7,8,9]

numerosConFactorialesDivisibles :: Integer -> Integer -> [Integer]

numerosConFactorialesDivisibles x y =

[z | z <- [0..y-1]

, factorial z `mod` x == 0

, factorial z `mod` y /= 0]

-- (factorial n) es el factorial de n. Por ejemplo,

-- factorial 4 == 24

factorial :: Integer -> Integer

factorial n = product [1..n]

-- 2ª solución (usando la función de Smarandache)

-- ==============================================

nNumerosConFactorialesDivisibles2 :: Integer -> Integer -> Integer

nNumerosConFactorialesDivisibles2 x y =

max 0 (smarandache y - smarandache x)

--(smarandache n) es el menor número cuyo factorial es divisible por

-- n. Por ejemplo,

-- smarandache 8 == 4

-- smarandache 10 == 5

-- smarandache 16 == 6

smarandache :: Integer -> Integer

smarandache x =

head [n | (n,y) <- zip [0..] factoriales

, y `mod` x == 0]

-- factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo,

-- λ> take 12 factoriales

-- [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800,39916800]

factoriales :: [Integer]

factoriales = 1 : scanl1 (*) [1..]

-- Comparación de eficiencia

-- λ> nNumerosConFactorialesDivisibles 100 2000

-- 5

-- (2.70 secs, 3,933,938,648 bytes)

-- λ> nNumerosConFactorialesDivisibles2 100 2000

-- 5

-- (0.01 secs, 148,200 bytes)

Factorial módulo

PorJosé A. Alonso 28-diciembre-201719-febrero-2018

Definir la función

   factorialMod :: Integer -> Integer -> Integer

1	factorialMod :: Integer -> Integer -> Integer

tal que (factorialMod n x) es el factorial de x módulo n. Por ejemplo,

   factorialMod (7+10^9) 100       ==  437918130
   factorialMod (7+10^9) (5*10^6)  ==  974067448

1 2	factorialMod (7+10^9) 100 == 437918130 factorialMod (7+10^9) (5*10^6) == 974067448

Soluciones

import Data.List (foldl')

-- 1ª definición
-- =============

factorialMod :: Integer -> Integer -> Integer
factorialMod n x =
  factorial x `mod` n

-- (factorial x) es el factorial de x. Por ejemplo,
--    factorial 3  ==  6
factorial :: Integer -> Integer
factorial x = product [1..x]

-- 2ª definición
-- =============

factorialMod2 :: Integer -> Integer -> Integer
factorialMod2 n x =
  foldl' (prodMod n) 1 [1..x]

-- (prodMod n x y) es el producto de x e y módulo n. Por ejemplo,
--    prodMod 3 4 7  ==  1
--    prodMod 5 4 7  ==  -- 3
prodMod :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer
prodMod n x y =
  ((x `mod` n) * (y `mod` n)) `mod` n
  
-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> factorialMod (7+10^9) (5*10^4)
--    737935835
--    (2.62 secs, 2,601,358,640 bytes)
--    λ> factorialMod2 (7+10^9) (5*10^4)
--    737935835
--    (0.07 secs, 23,471,880 bytes)

import Data.List (foldl')

-- 1ª definición

-- =============

factorialMod :: Integer -> Integer -> Integer

factorialMod n x =

factorial x `mod` n

-- (factorial x) es el factorial de x. Por ejemplo,

-- factorial 3 == 6

factorial :: Integer -> Integer

factorial x = product [1..x]

-- 2ª definición

-- =============

factorialMod2 :: Integer -> Integer -> Integer

factorialMod2 n x =

foldl' (prodMod n) 1 [1..x]

-- (prodMod n x y) es el producto de x e y módulo n. Por ejemplo,

-- prodMod 3 4 7 == 1

-- prodMod 5 4 7 == -- 3

prodMod :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer

prodMod n x y =

((x `mod` n) * (y `mod` n)) `mod` n

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> factorialMod (7+10^9) (5*10^4)

-- 737935835

-- (2.62 secs, 2,601,358,640 bytes)

-- λ> factorialMod2 (7+10^9) (5*10^4)

-- 737935835

-- (0.07 secs, 23,471,880 bytes)

Aplicaciones biyectivas

PorJosé A. Alonso 14-diciembre-201721-diciembre-2017

Definir las funciones

   biyectivas  :: (Ord a, Ord b) => [a] -> [b] -> [[(a,b)]]
   nBiyectivas :: (Ord a, Ord b) => [a] -> [b] -> Integer

1 2	biyectivas :: (Ord a, Ord b) => [a] -> [b] -> [[(a,b)]] nBiyectivas :: (Ord a, Ord b) => [a] -> [b] -> Integer

tales que

(biyectivas xs ys) es el conjunto de las aplicaciones biyectivas del conjunto xs en el conjunto ys. Por ejemplo,

     λ> biyectivas [1,3] [2,4]
     [[(1,2),(3,4)],[(1,4),(3,2)]]
     λ> biyectivas [1,3,5] [2,4,6]
     [[(1,2),(3,4),(5,6)],[(1,4),(3,2),(5,6)],[(1,6),(3,4),(5,2)],
      [(1,4),(3,6),(5,2)],[(1,6),(3,2),(5,4)],[(1,2),(3,6),(5,4)]]
     λ> biyectivas [1,3] [2,4,6]
     []

λ> biyectivas [1,3] [2,4]

[[(1,2),(3,4)],[(1,4),(3,2)]]

λ> biyectivas [1,3,5] [2,4,6]

[[(1,2),(3,4),(5,6)],[(1,4),(3,2),(5,6)],[(1,6),(3,4),(5,2)],

[(1,4),(3,6),(5,2)],[(1,6),(3,2),(5,4)],[(1,2),(3,6),(5,4)]]

λ> biyectivas [1,3] [2,4,6]

[]

(nBiyectivas xs ys) es el número de aplicaciones biyectivas del conjunto xs en el conjunto ys. Por ejemplo,

     nBiyectivas [1,3] [2,4]      ==  2
     nBiyectivas [1,3,5] [2,4,6]  ==  6
     λ> nBiyectivas [1,3] [2,4,6] ==  0
     length (show (nBiyectivas2 [1..2*10^4] [1..2*10^4]))  ==  77338

nBiyectivas [1,3] [2,4] == 2

nBiyectivas [1,3,5] [2,4,6] == 6

λ> nBiyectivas [1,3] [2,4,6] == 0

length (show (nBiyectivas2 [1..2*10^4] [1..2*10^4])) == 77338

Nota: En este ejercicio los conjuntos se representan mediante listas ordenadas de elementos distintos.

Soluciones

import Data.List (genericLength, permutations)

-- 1ª definición de biyectivas
biyectivas :: (Ord a, Ord b) => [a] -> [b] -> [[(a,b)]]
biyectivas xs ys
  | length xs == length ys = [zip xs zs | zs <- permutations ys]
  | otherwise              = []

-- 1ª definición de nBiyectivas
nBiyectivas :: (Ord a, Ord b) => [a] -> [b] -> Integer
nBiyectivas xs ys
  | length xs == length ys = genericLength (biyectivas xs ys)
  | otherwise              = 0

-- 2ª definición de nBiyectivas
nBiyectivas2 :: (Ord a, Ord b) => [a] -> [b] -> Integer
nBiyectivas2 xs ys 
  | n == m    = product [1..n]
  | otherwise = 0
  where n = genericLength xs
        m = genericLength ys

import Data.List (genericLength, permutations)

-- 1ª definición de biyectivas

biyectivas :: (Ord a, Ord b) => [a] -> [b] -> [[(a,b)]]

biyectivas xs ys

| length xs == length ys = [zip xs zs | zs <- permutations ys]

| otherwise = []

-- 1ª definición de nBiyectivas

nBiyectivas :: (Ord a, Ord b) => [a] -> [b] -> Integer

nBiyectivas xs ys

| length xs == length ys = genericLength (biyectivas xs ys)

| otherwise = 0

-- 2ª definición de nBiyectivas

nBiyectivas2 :: (Ord a, Ord b) => [a] -> [b] -> Integer

nBiyectivas2 xs ys

| n == m = product [1..n]

| otherwise = 0

where n = genericLength xs

m = genericLength ys

Cadenas de sumas de factoriales de los dígitos

PorJosé A. Alonso 17-noviembre-201725-noviembre-2017

Dado un número n se considera la sucesión cuyo primer término es n y los restantes se obtienen sumando los factoriales de los dígitos del anterior. Por ejemplo, la sucesión que empieza en 69 es

         69
     363600  (porque 6! + 9! = 363600)  
       1454  (porque 3! + 6! + 3! + 6! + 0! + 0! = 1454)
        169  (porque 1! + 4! + 5! + 4! = 169)
     363601  (porque 1! + 6! + 9! = 363601)
       1454  (porque 3! + 6! + 3! + 6! + 0! + 1! = 1454)
     ......

363600 (porque 6! + 9! = 363600)

1454 (porque 3! + 6! + 3! + 6! + 0! + 0! = 1454)

169 (porque 1! + 4! + 5! + 4! = 169)

363601 (porque 1! + 6! + 9! = 363601)

1454 (porque 3! + 6! + 3! + 6! + 0! + 1! = 1454)

......

La cadena correspondiente a un número n son los términos de la sucesión que empieza en n hasta la primera repetición de un elemento en la sucesión. Por ejemplo, la cadena de 69 es

   [69,363600,1454,169,363601,1454]

1	[69,363600,1454,169,363601,1454]

Consta de una parte no periódica ([69,363600]) y de una periódica ([1454,169,363601]).

Definir las funciones

   cadena  :: Integer -> [Integer]
   periodo :: Integer -> [Integer]

1 2	cadena :: Integer -> [Integer] periodo :: Integer -> [Integer]

tales que

(cadena n es la cadena correspondiente al número n. Por ejemplo,

      cadena 69    ==  [69,363600,1454,169,363601,1454]
      cadena 145   ==  [145,145]
      cadena 78    ==  [78,45360,871,45361,871]
      cadena 569   ==  [569,363720,5775,10320,11,2,2]
      cadena 3888  ==  [3888,120966,364324,782,45362,872,45362]
      maximum [length (cadena n) | n <- [1..5000]]  ==  61
      length (cadena 1479)                          ==  61

cadena 69 == [69,363600,1454,169,363601,1454]

cadena 145 == [145,145]

cadena 78 == [78,45360,871,45361,871]

cadena 569 == [569,363720,5775,10320,11,2,2]

cadena 3888 == [3888,120966,364324,782,45362,872,45362]

maximum [length (cadena n) | n <- [1..5000]] == 61

length (cadena 1479) == 61

(periodo n) es la parte periódica de la cadena de n. Por ejemplo,

      periodo 69    ==  [169,363601,1454]
      periodo 145   ==  [145]
      periodo 78    ==  [45361,871]
      periodo 569   ==  [2]
      periodo 3888  ==  [872,45362]
      maximum [length (periodo n) | n <- [1..5000]]  ==  3
      length (periodo 1479)                          ==  3

periodo 69 == [169,363601,1454]

periodo 145 == [145]

periodo 78 == [45361,871]

periodo 569 == [2]

periodo 3888 == [872,45362]

maximum [length (periodo n) | n <- [1..5000]] == 3

length (periodo 1479) == 3

Soluciones

-- Definición de cadena
-- ====================

cadena :: Integer -> [Integer]
cadena n = reverse (extension [n])

extension :: [Integer] -> [Integer]
extension (n:ns)
  | m `elem` (n:ns) = m : n : ns
  | otherwise       = extension (m : n : ns)
  where m = siguiente n

siguiente :: Integer -> Integer
siguiente n =
  sum [factorial d | d <- digitos n]

factorial :: Integer -> Integer
factorial n =
  product [1..n]

digitos :: Integer -> [Integer]
digitos n =
  [read [c] | c <- show n]

-- Definición de periodo
-- =====================

periodo :: Integer -> [Integer]
periodo n =
  reverse (x : takeWhile (/= x) xs)
  where (x:xs) = reverse (cadena n)

-- Definición de cadena

-- ====================

cadena :: Integer -> [Integer]

cadena n = reverse (extension [n])

extension :: [Integer] -> [Integer]

extension (n:ns)

| m `elem` (n:ns) = m : n : ns

| otherwise = extension (m : n : ns)

where m = siguiente n

siguiente :: Integer -> Integer

siguiente n =

sum [factorial d | d <- digitos n]

factorial :: Integer -> Integer

factorial n =

product [1..n]

digitos :: Integer -> [Integer]

digitos n =

[read [c] | c <- show n]

-- Definición de periodo

-- =====================

periodo :: Integer -> [Integer]

periodo n =

reverse (x : takeWhile (/= x) xs)

where (x:xs) = reverse (cadena n)

Matrices de Pascal

Soluciones

Números cuyos factoriales son divisibles por x pero no por y

Soluciones

Factorial módulo

Soluciones

Aplicaciones biyectivas

Soluciones

Cadenas de sumas de factoriales de los dígitos

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