Matriz dodecafónica

Como se explica en Create a Twelve-Tone Melody With a Twelve-Tone Matrix una matriz dodecafónica es una matriz de 12 filas y 12 columnas construidas siguiendo los siguientes pasos:

  • Se escribe en la primera fila una permutación de los números del 1 al 12. Por ejemplo,

  • Escribir la primera columna de forma que, para todo i (entre 2 y 12), a(i,1) es el número entre 1 y 12 que verifica la siguiente condición

Siguiendo con el ejemplo anterior, la matriz con la 1ª fila y la 1ª columna es

  • Escribir la segunda fila de forma que, para todo j (entre 2 y 12), a(j,2) es el número entre 1 y 12 que verifica la siguiente condición

Siguiendo con el ejemplo anterior, la matriz con la 1ª fila, 1ª columna y 2ª fila es

  • Las restantes filas se completan como la 2ª; es decir, para todo i (entre 3 y 12) y todo j (entre 2 y 12), a(i,j) es el número entre 1 y 12 que verifica la siguiente relación.

Siguiendo con el ejemplo anterior, la matriz dodecafónica es

Definir la función

tal que (matrizDodecafonica xs) es la matriz dodecafónica cuya primera fila es xs (que se supone que es una permutación de los números del 1 al 12). Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck para toda matriz dodecafónica D se verifican las siguientes propiedades:

  • todas las filas de D son permutaciones de los números 1 a 12,
  • todos los elementos de la diagonal de D son iguales y
  • la suma de todos los elementos de D es 936.

Nota: Este ejercicio ha sido propuesto por Francisco J. Hidalgo.

Soluciones

Pensamiento

Como el olivar,
mucho fruto lleva,
poca sombra da.

Antonio Machado

Números altamente compuestos

Un número altamente compuesto es un entero positivo con más divisores que cualquier entero positivo más pequeño. Por ejemplo,

  • 4 es un número altamente compuesto porque es el menor con 3 divisores,
  • 5 no es altamente compuesto porque tiene menos divisores que 4 y
  • 6 es un número altamente compuesto porque es el menor con 4 divisores,

Los primeros números altamente compuestos son

Definir las funciones

tales que

  • (esAltamanteCompuesto x) se verifica si x es altamente compuesto. Por ejemplo,

  • altamente compuestos es la sucesión de los números altamente compuestos. Por ejemplo,

  • (graficaAltamenteCompuestos n) dibuja la gráfica de los n primeros números altamente compuestos. Por ejemplo, (graficaAltamenteCompuestos 25) dibuja

Soluciones

Pensamiento

Nuestras horas son minutos
cuando esperamos saber,
y siglos cuando sabemos
lo que se puede aprender.

Antonio Machado

Árbol de subconjuntos

Se dice que A es un subconjunto maximal de B si A ⊂ B y no existe ningún C tal que A ⊂ C y C ⊂ B. Por ejemplo, {2,5} es un subconjunto maximal de {2,3,5], pero {3] no lo es.

El árbol de los subconjuntos de un conjunto A es el árbol que tiene como raíz el conjunto A y cada nodo tiene como hijos sus subconjuntos maximales. Por ejemplo, el árbol de subconjuntos de [2,3,5] es

Usando el tipo de dato

el árbol anterior se representa por

Definir las funciones

tales que

  • (arbolSubconjuntos x) es el árbol de los subconjuntos de xs. Por ejemplo,

  • (nOcurrenciasArbolSubconjuntos xs ys) es el número de veces que aparece el conjunto xs en el árbol de los subconjuntos de ys. Por ejemplo,

Comprobar con QuickChek que, para todo entero positivo n, el número de ocurrencia de un subconjunto xs de [1..n] en el árbol de los subconjuntos de [1..n] es el factorial de n-k (donde k es el número de elementos de xs).

Soluciones

Pensamiento

Nunca traces tu frontera,
ni cuides de tu perfil;
todo eso es cosa de fuera.

Antonio Machado

Número de divisores compuestos

Definir la función

tal que (nDivisoresCompuestos x) es el número de divisores de x que son compuestos (es decir, números mayores que 1 que no son primos). Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

«Lo corriente en el hombre es la tendencia a creer verdadero cuanto le
reporta alguna utilidad. Por eso hay tantos hombres capaces de comulgar
con ruedas de molino.»

Antonio Machado

Divisores compuestos

Definir la función

tal que (divisoresCompuestos x) es la lista de los divisores de x que son números compuestos (es decir, números mayores que 1 que no son primos). Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

«La verdad del hombre empieza donde acaba su propia tontería, pero la
tontería del hombre es inagotable.»

Antonio Machado