El teorema de Navidad de Fermat
El 25 de diciembre de 1640, en una carta a Mersenne, Fermat demostró la conjetura de Girard: todo primo de la forma 4n+1 puede expresarse de manera única como suma de dos cuadrados. Por eso es conocido como el teorema de Navidad de Fermat.
Definir las funciones
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representaciones :: Integer -> [(Integer,Integer)] primosImparesConRepresentacionUnica :: [Integer] primos4nM1 :: [Integer] |
tales que
representaciones nes la lista de pares de números naturales(x,y)tales quen = x^2 + y^2conx <= y. Por ejemplo.
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representaciones 20 == [(2,4)] representaciones 25 == [(0,5),(3,4)] representaciones 325 == [(1,18),(6,17),(10,15)] representaciones 100000147984 == [(0,316228)] length (representaciones (10^10)) == 6 length (representaciones (4*10^12)) == 7 |
primosImparesConRepresentacionUnicaes la lista de los números primos impares que se pueden escribir exactamente de una manera como suma de cuadrados de pares de números naturales(x,y)conx <= y. Por ejemplo,
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λ> take 20 primosImparesConRepresentacionUnica [5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97,101,109,113,137,149,157,173,181,193] |
primos4nM1es la lista de los números primos que se pueden escribir como uno más un múltiplo de 4 (es decir, que son congruentes con 1 módulo 4). Por ejemplo,
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λ> take 20 primos4nM1 [5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97,101,109,113,137,149,157,173,181,193] |
El teorema de Navidad de Fermat afirma que un número primo impar p se puede escribir exactamente de una manera como suma de dos cuadrados de números naturales p = x² + y² (con x <= y) si, y sólo si, p se puede escribir como uno más un múltiplo de 4 (es decir, que es congruente con 1 módulo 4).
Comprobar con QuickCheck el teorema de Navidad de Fermat; es decir, que para todo número n, los n-ésimos elementos de
primosImparesConRepresentacionUnica y de primos4nM1 son iguales.
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