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La integral definida de una función f entre los límites a y b puede calcularse mediante la regla del rectángulo (ver en http://bit.ly/1FDhZ1z) usando la fórmula
\[ h(f(a+\frac{h}{2}) + f(a+h+\frac{h}{2}) + f(a+2h+\frac{h}{2}) + … + f(a+nh+\frac{h}{2}))\]
con \(a+nh+\dfrac{h}{2} \leq b < a+(n+1)h+\dfrac{h}{2}\) y usando valores pequeños para \(h\).

Definir la función

tal que integral a b f h es el valor de dicha expresión. Por ejemplo, el cálculo de la integral de (f(x) = x^3) entre 0 y 1, con paso 0.01, es

Otros ejemplos son

Read More «Integración por el método de los rectángulos»

Definir la función

tal que raizEnt x n es la raíz entera n-ésima de x; es decir, el mayor número entero y tal que \(y^n \leq x\). Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que para todo número natural n,

Read More «Raíces enteras»

El método de bisección para calcular una raíz de una función en el intervalo [a,b] se basa en el teorema de Bolzano:

Si f(x) es una función continua en el intervalo \([a, b]\), y si, además, en los extremos del intervalo la función \(f\) toma valores de signo opuesto \((f(a)f(b) < 0)\), entonces existe al menos un valor \(c\) en \((a, b)\) para el que \(f(c) = 0\)».

El método para calcular una raíz de la función \(f\) en el intervalo \([a,b]\) con un error menor que \(e\) consiste en tomar el punto medio del intervalo \(c = \frac{a+b}{2}\) y considerar los siguientes casos:

• Si \(|f(c)| < e\), hemos encontrado una aproximación del punto que anula \(f\) en el intervalo con un error aceptable.
• Si \(f(c)\) tiene signo distinto de \(f(a)\), repetir el proceso en el intervalo \([a,c]\).
• Si no, repetir el proceso en el intervalo \([c,b]\).

Definir la función

tal que biseccion f a b e es una aproximación del punto del intervalo [a,b] en el que se anula la función f, con un error menor que e, calculada mediante el método de la bisección. Por ejemplo,

Read More «Método de bisección para calcular raíces de una función»

Definir la función

tal que limite f a es el valor de f en el primer término x tal que, para todo y entre x+1 y x+100, el valor absoluto de la diferencia entre f(y) y f(x) es menor que a. Por ejemplo,

Read More «Límites de sucesiones»

Definir, usando puntoCero, la función

tal que inversa g x es el valor de la inversa de g en x. Por ejemplo,

Definir, usando inversa, las funciones raizCuadrada, raizCubica, arcoseno y arcocoseno que calculen la raíz cuadrada, la raíz cúbica, el arco seno y el arco coseno, respectivamente. Por ejemplo,

Read More «Funciones inversas por el método de Newton»

Los ceros de una función pueden calcularse mediante el método de Newton basándose en las siguientes propiedades:

• Si \(b\) es una aproximación para el punto cero de \(f\), entonces
  \[ b-\frac{f(b)}{f'(b)} \]
  donde \(f’\) es la derivada de \(f\), es una mejor aproximación.
• el límite de la sucesión \(x_n\) definida por
  \begin{align}
  x_0 &= 1 \\
  x_{n+1} &= x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
  \end{align}
  es un cero de \(f\).

Definir la función

tal que puntoCero f es un cero de la función f calculado usando la propiedad anterior. Por ejemplo,

Read More «Método de Newton para calcular raíces»