Algoritmo de bajada para resolver un sistema triangular inferior
Un sistema de ecuaciones lineales \(Ax = b\) es triangular inferior si todos los elementos de la matriz \(A\) que están por encima de la diagonal principal son nulos; es decir, es de la forma
\begin{align}
&a_{1 1}x_1 &= b_1 \\
&a_{2 1}x_1 + a_{2 2}x_2 &= b_2 \\
&a_{3 1}x_1 + a_{3 2}x_2 + a_{3 3}x_3 &= b_3 \\
&… & \\
&a_{n 1}x_1 + a_{n 2}x_2 + a_{n 3}x_3 +…+ a_{n n}x_n &= b_n
\end{align}
El sistema es compatible si, y sólo si, el producto de los elementos de la diagonal principal es distinto de cero. En este caso, la solución se puede calcular mediante el algoritmo de bajada:
\begin{align}
x_1 &= \frac{b_1}{a_{1 1}} \\
x_2 &= \frac{b_2 – a_{2 1}x_1}{a_{2 2}} \\
x_3 &= \frac{b_3 – a_{3 1}x_1 – a_{3 2}x_2}{a_{3 3}} \\
… \\
x_n &= \frac{b_n – a_{n 1}x_1 – a_{n 2}x_2 – … – a_{n,n-1}x_{n-1}}{a_{n n}}
\end{align}
Definir la función
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1 |
bajada :: Matrix Double -> Matrix Double -> Matrix Double |
tal que bajada a b es la solución, mediante el algoritmo de bajada, del sistema compatible triangular superior ax = b. Por ejemplo,
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λ> let a = fromLists [[2,0,0],[3,1,0],[4,2,5.0]] λ> let b = fromLists [[3],[6.5],[10]] λ> bajada a b ( 1.5 ) ( 2.0 ) ( 0.0 ) |
Es decir, la solución del sistema
\begin{align}
2x &= 3 \\
3x + y &= 6.5 \\
4x + 2y + 5z &= 10
\end{align}
es \(x=1.5\), \(y=2\) y \(z=0\).
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