Definir la función
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1 |
cerosDelFactorial :: Integer -> Integer |
tal que cerosDelFactorial n es el número de ceros en que termina el factorial de n. Por ejemplo,
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1 2 3 |
cerosDelFactorial 24 == 4 cerosDelFactorial 25 == 6 length (show (cerosDelFactorial (10^70000))) == 70000 |
La indicatriz de Euler (también función φ de Euler) es una función importante en teoría de números. Si n es un entero positivo, entonces φ(n) se define como el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n. Por ejemplo, φ(36) = 12 ya que los números menores o iguales a 36 y coprimos con 36 son doce: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, y 35.
Definir la función
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1 |
phi :: Integer -> Integer |
tal que phi n es igual a φ(n). Por ejemplo,
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1 2 3 4 |
phi 36 == 12 map phi [10..20] == [4,10,4,12,6,8,8,16,6,18,8] phi (3^10^5) `mod` (10^9) == 681333334 length (show (phi (10^(10^5)))) == 100000 |
Comprobar con QuickCheck que, para todo n > 0, φ(10^n) tiene n dígitos.
Read More «La función indicatriz de Euler»
El hueco de un número primo p es la distancia entre p y primo siguiente de p. Por ejemplo, el hueco de 7 es 4 porque el primo siguiente de 7 es 11 y 4 = 11-7. Los huecos de los primeros números son
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1 2 3 4 5 |
Primo Hueco 2 1 3 2 7 4 11 2 |
El hueco de un número primo p es maximal si es mayor que los huecos de todos los números menores que p. Por ejemplo, 4 es un hueco maximal de 7 ya que los huecos de los primos menores que 7 son 1 y 2 y ambos son menores que 4. La tabla de los primeros huecos maximales es
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
Primo Hueco 2 1 3 2 7 4 23 6 89 8 113 14 523 18 887 20 |
Definir la sucesión
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1 |
primosYhuecosMaximales :: [(Integer,Integer)] |
cuyos elementos son los números primos con huecos maximales junto son sus huecos. Por ejemplo,
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1 2 3 4 |
λ> take 8 primosYhuecosMaximales [(2,1),(3,2),(7,4),(23,6),(89,8),(113,14),(523,18),(887,20)] λ> primosYhuecosMaximales !! 20 (2010733,148) |
La serie de Thue-Morse comienza con el término [0] y sus siguientes términos se construyen añadiéndole al anterior su complementario. Los primeros términos de la serie son
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1 2 3 4 5 |
[0] [0,1] [0,1,1,0] [0,1,1,0,1,0,0,1] [0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0] |
De esta forma se va formando una sucesión
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1 |
0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,... |
que se conoce como la sucesión de Thue-Morse.
Definir la sucesión
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1 |
sucThueMorse :: [Int] |
cuyos elementos son los de la sucesión de Thue-Morse. Por ejemplo,
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1 2 3 4 5 6 |
λ> take 30 sucThueMorse [0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0] λ> map (sucThueMorse4 !!) [1234567..1234596] [1,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0] λ> map (sucThueMorse4 !!) [4000000..4000030] [1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1] |
Comprobar con QuickCheck que si s(n) representa el término n-ésimo de la sucesión de Thue-Morse, entonces
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1 2 |
s(2n) = s(n) s(2n+1) = 1 - s(n) |
La serie de Thue-Morse comienza con el término [0] y sus siguientes términos se construyen añadiéndole al anterior su complementario (es decir, la lista obtenida cambiando el 0 por 1 y el 1 por 0). Los primeros términos de la serie son
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1 2 3 4 5 |
[0] [0,1] [0,1,1,0] [0,1,1,0,1,0,0,1] [0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0] |
Definir la lista
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1 |
serieThueMorse :: [[Int]] |
tal que sus elementos son los términos de la serie de Thue-Morse. Por ejemplo,
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1 2 |
λ> take 4 serieThueMorse [[0],[0,1],[0,1,1,0],[0,1,1,0,1,0,0,1]] |
Definir la función
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1 |
representaciones :: Integer -> [(Integer,Integer)] |
tal que representaciones n es la lista de pares de números naturales (x,y) tales que n = x² + y². Por ejemplo.
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1 2 3 4 |
representaciones 20 == [(2,4)] representaciones 25 == [(0,5),(3,4)] representaciones 325 == [(1,18),(6,17),(10,15)] length (representaciones (10^14)) == 8 |
Comprobar con QuickCheck que un número natural n se puede representar como suma de dos cuadrados si, y sólo si, en la factorización prima de n todos los exponentes de sus factores primos congruentes con 3 módulo 4 son pares.
Read More «Representaciones de un número como suma de dos cuadrados»