Si R es un retículo y x, y ∈ R, entonces x ⊔ y = y ⊔ x
Demostrar que si R es un retículo y x, y ∈ R, entonces x ⊔ y = y ⊔ x.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import order.lattice variables {R : Type*} [lattice R] variables x y : R example : x ⊔ y = y ⊔ x := sorry |
Soluciones con Lean
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import order.lattice variables {R : Type*} [lattice R] variables x y : R -- 1ª demostración -- =============== lemma aux1 : x ⊔ y ≤ y ⊔ x := begin have h1 : x ≤ y ⊔ x, by exact le_sup_right, have h2 : y ≤ y ⊔ x, by exact le_sup_left, show x ⊔ y ≤ y ⊔ x, by exact sup_le h1 h2, end example : x ⊔ y = y ⊔ x := begin have h1 : x ⊔ y ≤ y ⊔ x, by exact aux1 x y, have h2 : y ⊔ x ≤ x ⊔ y, by exact aux1 y x, show x ⊔ y = y ⊔ x, by exact le_antisymm h1 h2, end -- 2ª demostración -- =============== lemma aux2 : x ⊔ y ≤ y ⊔ x := sup_le le_sup_right le_sup_left example : x ⊔ y = y ⊔ x := le_antisymm (aux2 x y) (aux2 y x) -- 3ª demostración -- =============== lemma aux : x ⊔ y ≤ y ⊔ x := begin apply sup_le, apply le_sup_right, apply le_sup_left, end example : x ⊔ y = y ⊔ x := begin apply le_antisymm, apply aux, apply aux, end -- 4ª demostración -- =============== example : x ⊔ y = y ⊔ x := by apply le_antisymm; simp -- 5ª demostración -- =============== example : x ⊔ y = y ⊔ x := -- by library_search sup_comm -- 6ª demostración -- =============== example : x ⊔ y = y ⊔ x := -- by hint by finish |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 22.
