Si R es un retículo y x, y ∈ R, entonces x ⊓ y = y ⊓ x
Sea R un retículo. Demostrar que si x, y ∈ R, entonces
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x ⊓ y = y ⊓ x |
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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import order.lattice variables {R : Type*} [lattice R] variables x y : R example : x ⊓ y = y ⊓ x := sorry |
Soluciones con Lean
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import order.lattice variables {R : Type*} [lattice R] variables x y z : R -- 1ª demostración -- =============== lemma aux1 : x ⊓ y ≤ y ⊓ x := begin have h1 : x ⊓ y ≤ y, by exact inf_le_right, have h2 : x ⊓ y ≤ x, by exact inf_le_left, show x ⊓ y ≤ y ⊓ x, by exact le_inf h1 h2, end example : x ⊓ y = y ⊓ x := begin have h1 : x ⊓ y ≤ y ⊓ x, by exact aux1 x y, have h2 : y ⊓ x ≤ x ⊓ y, by exact aux1 y x, show x ⊓ y = y ⊓ x, by exact le_antisymm h1 h2, end -- 2ª demostración -- =============== lemma aux2 : x ⊓ y ≤ y ⊓ x := le_inf inf_le_right inf_le_left example : x ⊓ y = y ⊓ x := le_antisymm (aux2 x y) (aux2 y x) -- 3ª demostración -- =============== lemma aux3 : x ⊓ y ≤ y ⊓ x := begin apply le_inf, apply inf_le_right, apply inf_le_left, end example : x ⊓ y = y ⊓ x := begin apply le_antisymm, apply aux3, apply aux3, end -- 4ª demostración -- =============== example : x ⊓ y = y ⊓ x := by apply le_antisymm; simp -- 5ª demostración -- =============== example : x ⊓ y = y ⊓ x := inf_comm |
Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.
Referencias
- J. Avigad, K. Buzzard, R.Y. Lewis y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 22.
