sum

Número de viajeros en el autobús

PorJosé A. Alonso 11-diciembre-201719-diciembre-2017

Un autobús inicia su recorrido con 0 viajeros. El número de viajeros que se suben y bajan en cada parada se representa por un par (x,y) donde x es el número de las que suben e y el de las que bajan. Un recorrido del autobús se representa por una lista de pares representando los números de viajeros que suben o bajan en cada parada.

Definir la función

   nViajerosEnBus :: [(Int, Int)] -> Int

1	nViajerosEnBus :: [(Int, Int)] -> Int

tal que (nViajerosEnBus ps) es el número de viajeros en el autobús tras el recorrido ps. Por ejemplo,

  nViajerosEnBus []                                        ==  0
  nViajerosEnBus [(10,0),(3,5),(5,8)]                      ==  5
  nViajerosEnBus [(3,0),(9,1),(4,10),(12,2),(6,1),(7,10)]  ==  17
  nViajerosEnBus [(3,0),(9,1),(4,8),(12,2),(6,1),(7,8)]    ==  21

nViajerosEnBus [] == 0

nViajerosEnBus [(10,0),(3,5),(5,8)] == 5

nViajerosEnBus [(3,0),(9,1),(4,10),(12,2),(6,1),(7,10)] == 17

nViajerosEnBus [(3,0),(9,1),(4,8),(12,2),(6,1),(7,8)] == 21

Soluciones

import Data.List (foldl')

-- 1ª solución (por comprensión)
nViajerosEnBus1 :: [(Int, Int)] -> Int
nViajerosEnBus1 ps = sum [a - b | (a,b) <- ps]

-- 2ª solucioń (por recursión)
nViajerosEnBus2 :: [(Int, Int)] -> Int
nViajerosEnBus2 []         = 0
nViajerosEnBus2 ((a,b):ps) = a - b + nViajerosEnBus2 ps

-- 3ª solución (por recursión con acumulador)
nViajerosEnBus3 :: [(Int, Int)] -> Int
nViajerosEnBus3 = aux 0
  where aux n []         = n
        aux n ((a,b):xs) = aux (n+a-b) xs

-- 4ª solución (por plegado por la derecha):
nViajerosEnBus4 :: [(Int, Int)] -> Int
nViajerosEnBus4 = foldr (\(a,b) n -> a-b+n) 0

-- 5ª solución (por plegado por la derecha):
nViajerosEnBus5 :: [(Int, Int)] -> Int
nViajerosEnBus5 = foldl' (\n (a,b) -> a-b+n) 0

-- 6ª solución (con map)
nViajerosEnBus6 :: [(Int, Int)] -> Int
nViajerosEnBus6 xs = sum (map (\(x,y) -> x-y) xs)

-- 7ª solución (por composición y sin argumentos) 
nViajerosEnBus7 :: [(Int, Int)] -> Int
nViajerosEnBus7 = sum . map (uncurry (-))

import Data.List (foldl')

-- 1ª solución (por comprensión)

nViajerosEnBus1 :: [(Int, Int)] -> Int

nViajerosEnBus1 ps = sum [a - b | (a,b) <- ps]

-- 2ª solucioń (por recursión)

nViajerosEnBus2 :: [(Int, Int)] -> Int

nViajerosEnBus2 [] = 0

nViajerosEnBus2 ((a,b):ps) = a - b + nViajerosEnBus2 ps

-- 3ª solución (por recursión con acumulador)

nViajerosEnBus3 :: [(Int, Int)] -> Int

nViajerosEnBus3 = aux 0

where aux n [] = n

aux n ((a,b):xs) = aux (n+a-b) xs

-- 4ª solución (por plegado por la derecha):

nViajerosEnBus4 :: [(Int, Int)] -> Int

nViajerosEnBus4 = foldr (\(a,b) n -> a-b+n) 0

-- 5ª solución (por plegado por la derecha):

nViajerosEnBus5 :: [(Int, Int)] -> Int

nViajerosEnBus5 = foldl' (\n (a,b) -> a-b+n) 0

-- 6ª solución (con map)

nViajerosEnBus6 :: [(Int, Int)] -> Int

nViajerosEnBus6 xs = sum (map (\(x,y) -> x-y) xs)

-- 7ª solución (por composición y sin argumentos)

nViajerosEnBus7 :: [(Int, Int)] -> Int

nViajerosEnBus7 = sum . map (uncurry (-))

Cadenas de sumas de factoriales de los dígitos

PorJosé A. Alonso 17-noviembre-201725-noviembre-2017

Dado un número n se considera la sucesión cuyo primer término es n y los restantes se obtienen sumando los factoriales de los dígitos del anterior. Por ejemplo, la sucesión que empieza en 69 es

         69
     363600  (porque 6! + 9! = 363600)  
       1454  (porque 3! + 6! + 3! + 6! + 0! + 0! = 1454)
        169  (porque 1! + 4! + 5! + 4! = 169)
     363601  (porque 1! + 6! + 9! = 363601)
       1454  (porque 3! + 6! + 3! + 6! + 0! + 1! = 1454)
     ......

363600 (porque 6! + 9! = 363600)

1454 (porque 3! + 6! + 3! + 6! + 0! + 0! = 1454)

169 (porque 1! + 4! + 5! + 4! = 169)

363601 (porque 1! + 6! + 9! = 363601)

1454 (porque 3! + 6! + 3! + 6! + 0! + 1! = 1454)

......

La cadena correspondiente a un número n son los términos de la sucesión que empieza en n hasta la primera repetición de un elemento en la sucesión. Por ejemplo, la cadena de 69 es

   [69,363600,1454,169,363601,1454]

1	[69,363600,1454,169,363601,1454]

Consta de una parte no periódica ([69,363600]) y de una periódica ([1454,169,363601]).

Definir las funciones

   cadena  :: Integer -> [Integer]
   periodo :: Integer -> [Integer]

1 2	cadena :: Integer -> [Integer] periodo :: Integer -> [Integer]

tales que

(cadena n es la cadena correspondiente al número n. Por ejemplo,

      cadena 69    ==  [69,363600,1454,169,363601,1454]
      cadena 145   ==  [145,145]
      cadena 78    ==  [78,45360,871,45361,871]
      cadena 569   ==  [569,363720,5775,10320,11,2,2]
      cadena 3888  ==  [3888,120966,364324,782,45362,872,45362]
      maximum [length (cadena n) | n <- [1..5000]]  ==  61
      length (cadena 1479)                          ==  61

cadena 69 == [69,363600,1454,169,363601,1454]

cadena 145 == [145,145]

cadena 78 == [78,45360,871,45361,871]

cadena 569 == [569,363720,5775,10320,11,2,2]

cadena 3888 == [3888,120966,364324,782,45362,872,45362]

maximum [length (cadena n) | n <- [1..5000]] == 61

length (cadena 1479) == 61

(periodo n) es la parte periódica de la cadena de n. Por ejemplo,

      periodo 69    ==  [169,363601,1454]
      periodo 145   ==  [145]
      periodo 78    ==  [45361,871]
      periodo 569   ==  [2]
      periodo 3888  ==  [872,45362]
      maximum [length (periodo n) | n <- [1..5000]]  ==  3
      length (periodo 1479)                          ==  3

periodo 69 == [169,363601,1454]

periodo 145 == [145]

periodo 78 == [45361,871]

periodo 569 == [2]

periodo 3888 == [872,45362]

maximum [length (periodo n) | n <- [1..5000]] == 3

length (periodo 1479) == 3

Soluciones

-- Definición de cadena
-- ====================

cadena :: Integer -> [Integer]
cadena n = reverse (extension [n])

extension :: [Integer] -> [Integer]
extension (n:ns)
  | m `elem` (n:ns) = m : n : ns
  | otherwise       = extension (m : n : ns)
  where m = siguiente n

siguiente :: Integer -> Integer
siguiente n =
  sum [factorial d | d <- digitos n]

factorial :: Integer -> Integer
factorial n =
  product [1..n]

digitos :: Integer -> [Integer]
digitos n =
  [read [c] | c <- show n]

-- Definición de periodo
-- =====================

periodo :: Integer -> [Integer]
periodo n =
  reverse (x : takeWhile (/= x) xs)
  where (x:xs) = reverse (cadena n)

-- Definición de cadena

-- ====================

cadena :: Integer -> [Integer]

cadena n = reverse (extension [n])

extension :: [Integer] -> [Integer]

extension (n:ns)

| m `elem` (n:ns) = m : n : ns

| otherwise = extension (m : n : ns)

where m = siguiente n

siguiente :: Integer -> Integer

siguiente n =

sum [factorial d | d <- digitos n]

factorial :: Integer -> Integer

factorial n =

product [1..n]

digitos :: Integer -> [Integer]

digitos n =

[read [c] | c <- show n]

-- Definición de periodo

-- =====================

periodo :: Integer -> [Integer]

periodo n =

reverse (x : takeWhile (/= x) xs)

where (x:xs) = reverse (cadena n)

Subnúmeros pares

PorJosé A. Alonso 18-abril-201725-abril-2017

Los subnúmeros de un número x son los números que se pueden formar con dígitos de x en posiciones consecutivas. Por ejemplo, el número 254 tiene 6 subnúmeros: 2, 5, 4, 25, 54 y 254.

Definir las funciones

   subnumeros       :: Integer -> [Integer]
   nSubnumerosPares :: Integer -> Integer

1 2	subnumeros :: Integer -> [Integer] nSubnumerosPares :: Integer -> Integer

tales que

(subnumerosPares x) es la lista de los subnúmeros pares de x. Por ejemplo,

     subnumerosPares 254   ==  [2,254,54,4]
     subnumerosPares 154   ==  [154,54,4]
     subnumerosPares 15    ==  []

subnumerosPares 254 == [2,254,54,4]

subnumerosPares 154 == [154,54,4]

subnumerosPares 15 == []

(nSubnumerosPares x) es la cantidad de subnúmeros pares de x. Por ejemplo,

     nSubnumerosPares 254   ==  4
     nSubnumerosPares2 (4^(10^6))  ==  90625258498

1 2	nSubnumerosPares 254 == 4 nSubnumerosPares2 (4^(10^6)) == 90625258498

Soluciones

import Data.List ( genericLength
                 , inits
                 , tails
                 )

subnumerosPares :: Integer -> [Integer]
subnumerosPares n =
  filter even (subnumeros n)

-- (subnumeros n) es la lista de los subnúmeros de n. Por ejemplo,
--    subnumeros 254  ==  [2,25,5,254,54,4]
subnumeros :: Integer -> [Integer]
subnumeros n =
  [read x | x <- sublistas (show n)]

-- (sublistas xs) es la lista de las sublistas de xs. Por ejemplo, 
--    sublistas "abc"  ==  ["a","ab","b","abc","bc","c"]
sublistas :: [a] -> [[a]]
sublistas xs =
  concat [init (tails ys) | ys <- tail (inits xs)]

-- 1ª definición
-- =============

nSubnumerosPares :: Integer -> Integer
nSubnumerosPares =
  genericLength . subnumerosPares

-- 2ª definición
-- =============

nSubnumerosPares2 :: Integer -> Integer
nSubnumerosPares2 =
  sum . posicionesDigitosPares 

-- (posicionesDigitosPares x) es la lista de las posiciones de los
-- dígitos pares de x. Por ejemplo,
--    posicionesDigitosPares 254  ==  [1,3]
posicionesDigitosPares :: Integer -> [Integer]
posicionesDigitosPares x =
  [n | (n,y) <- zip [1..] (show x)
     , y `elem` "02468"]

-- Comparación de eficiencia
--    λ> nSubnumerosPares (2^(10^3))
--    22934
--    (2.83 secs, 3,413,414,872 bytes)
--    λ> nSubnumerosPares2 (2^(10^3))
--    22934
--    (0.01 secs, 0 bytes)

import Data.List ( genericLength

, inits

, tails

)

subnumerosPares :: Integer -> [Integer]

subnumerosPares n =

filter even (subnumeros n)

-- (subnumeros n) es la lista de los subnúmeros de n. Por ejemplo,

-- subnumeros 254 == [2,25,5,254,54,4]

subnumeros :: Integer -> [Integer]

subnumeros n =

[read x | x <- sublistas (show n)]

-- (sublistas xs) es la lista de las sublistas de xs. Por ejemplo,

-- sublistas "abc" == ["a","ab","b","abc","bc","c"]

sublistas :: [a] -> [[a]]

sublistas xs =

concat [init (tails ys) | ys <- tail (inits xs)]

-- 1ª definición

-- =============

nSubnumerosPares :: Integer -> Integer

nSubnumerosPares =

genericLength . subnumerosPares

-- 2ª definición

-- =============

nSubnumerosPares2 :: Integer -> Integer

nSubnumerosPares2 =

sum . posicionesDigitosPares

-- (posicionesDigitosPares x) es la lista de las posiciones de los

-- dígitos pares de x. Por ejemplo,

-- posicionesDigitosPares 254 == [1,3]

posicionesDigitosPares :: Integer -> [Integer]

posicionesDigitosPares x =

[n | (n,y) <- zip [1..] (show x)

, y `elem` "02468"]

-- Comparación de eficiencia

-- λ> nSubnumerosPares (2^(10^3))

-- 22934

-- (2.83 secs, 3,413,414,872 bytes)

-- λ> nSubnumerosPares2 (2^(10^3))

-- 22934

-- (0.01 secs, 0 bytes)

Número de dígitos del factorial

PorJosé A. Alonso 23-marzo-201731-marzo-2017

Definir las funciones

   nDigitosFact :: Integer -> Integer
   graficas     :: [Integer] -> IO ()

1 2	nDigitosFact :: Integer -> Integer graficas :: [Integer] -> IO ()

tales que

(nDigitosFact n) es el número de dígitos de n!. Por ejemplo,

     nDigitosFact 0        ==  1
     nDigitosFact 4        ==  2
     nDigitosFact 5        ==  3
     nDigitosFact 10       ==  7
     nDigitosFact 100      ==  158
     nDigitosFact 1000     ==  2568
     nDigitosFact 10000    ==  35660
     nDigitosFact 100000   ==  456574
     nDigitosFact 1000000  ==  5565709

nDigitosFact 0 == 1

nDigitosFact 4 == 2

nDigitosFact 5 == 3

nDigitosFact 10 == 7

nDigitosFact 100 == 158

nDigitosFact 1000 == 2568

nDigitosFact 10000 == 35660

nDigitosFact 100000 == 456574

nDigitosFact 1000000 == 5565709

(graficas xs) dibuja las gráficas de los números de dígitos del factorial de k (para k en xs) y de la recta y = 5.5 x. Por ejemplo, (graficas [0,500..10^6]) dibuja

Nota: Este ejercicio está basado en el problema How many digits? de Kattis en donde se impone la restricción de calcular, en menos de 1 segundo, el número de dígitos de los factoriales de 10.000 números del rango [0,1.000.000].

Se puede simular como sigue

   λ> import System.Random 
   λ> xs <- sequence [randomRIO (0,10^6) | _ <- [1..10^3]]
   λ> maximum (map nDigitosFact xs)
   5561492
   λ> xs <- sequence [randomRIO (0,10^6) | _ <- [1..10^3]]
   λ> maximum (map nDigitosFact xs)
   5563303

λ> import System.Random

λ> xs <- sequence [randomRIO (0,10^6) | _ <- [1..10^3]]

λ> maximum (map nDigitosFact xs)

5561492

λ> xs <- sequence [randomRIO (0,10^6) | _ <- [1..10^3]]

λ> maximum (map nDigitosFact xs)

5563303

Soluciones

import Data.List (genericLength, genericIndex)
import Graphics.Gnuplot.Simple

-- 1ª definición
nDigitosFact1 :: Integer -> Integer
nDigitosFact1 n =
  genericLength (show (product [1..n]))

-- 2ª definición (usando logaritmos)
-- =================================

-- Basado en
--    nDigitos (n!) = 1 + floor (log (n!))
--                  = 1 + floor (log (1*2*3*...*n))
--                  = 1 + floor (log(1) + log(2) + log(3) +...+ log(n))

nDigitosFact2 :: Integer -> Integer
nDigitosFact2 n =
  1 + floor (sum [logBase 10 (fromIntegral k) | k <- [1..n]])

-- 3ª definición (usando logaritmos y programación dinámica)
-- =========================================================

nDigitosFact3 :: Integer -> Integer
nDigitosFact3 0 = 1
nDigitosFact3 n = 1 + floor ((sumLogs `genericIndex` (n-1)) / log 10)

logs :: [Double]
logs = map log [1..]

sumLogs :: [Double]
sumLogs = scanl1 (+) logs

-- 4ª definición (Usando la fórmula de Kamenetsky)
-- ===============================================

-- La fórmula se encuentra en https://oeis.org/A034886

nDigitosFact4 :: Integer -> Integer
nDigitosFact4 0 = 1
nDigitosFact4 1 = 1
nDigitosFact4 n =
  1 + floor (m * logBase 10 (m/e) + logBase 10 (2*pi*m)/2)
  where m = fromIntegral n
        e = exp 1

--    λ> nDigitosFact1 (4*10^4)
--    166714
--    (5.61 secs, 1,649,912,864 bytes)
--    λ> nDigitosFact2 (4*10^4)
--    166714
--    (0.10 secs, 13,741,360 bytes)
--
--    λ> nDigitosFact2 (7*10^5)
--    3787566
--    (1.86 secs, 187,666,328 bytes)
--    λ> nDigitosFact3 (7*10^5)
--    3787566
--    (0.02 secs, 0 bytes)
--    λ> nDigitosFact3 (7*10^5)
--    3787566
--    (1.01 secs, 238,682,064 bytes)
--    λ> nDigitosFact4 (7*10^5)
--    3787566
--    (0.01 secs, 0 bytes)
-- 
--    λ> import System.Random 
--    λ> xs <- sequence [randomRIO (0,10^6) | _ <- [1..10^2]]
--    λ> maximum (map nDigitosFact3 xs)
--    5565097
--    (11.19 secs, 7,336,595,440 bytes)
--    λ> maximum (map nDigitosFact4 xs)
--    5565097
--    (0.01 secs, 0 bytes)

graficas :: [Integer] -> IO ()
graficas xs = 
    plotLists [Key Nothing]
              [p1, p2]
    where p1, p2 :: [(Float, Float)]
          p1 = [(fi k, fi (nDigitosFact4 k)) | k <- xs]
          p2 = [(k',5.5*k') | k <- xs, let k' = fi k]
          fi = fromIntegral

import Data.List (genericLength, genericIndex)

import Graphics.Gnuplot.Simple

-- 1ª definición

nDigitosFact1 :: Integer -> Integer

nDigitosFact1 n =

genericLength (show (product [1..n]))

-- 2ª definición (usando logaritmos)

-- =================================

-- Basado en

-- nDigitos (n!) = 1 + floor (log (n!))

-- = 1 + floor (log (1*2*3*...*n))

-- = 1 + floor (log(1) + log(2) + log(3) +...+ log(n))

nDigitosFact2 :: Integer -> Integer

nDigitosFact2 n =

1 + floor (sum [logBase 10 (fromIntegral k) | k <- [1..n]])

-- 3ª definición (usando logaritmos y programación dinámica)

-- =========================================================

nDigitosFact3 :: Integer -> Integer

nDigitosFact3 0 = 1

nDigitosFact3 n = 1 + floor ((sumLogs `genericIndex` (n-1)) / log 10)

logs :: [Double]

logs = map log [1..]

sumLogs :: [Double]

sumLogs = scanl1 (+) logs

-- 4ª definición (Usando la fórmula de Kamenetsky)

-- ===============================================

-- La fórmula se encuentra en https://oeis.org/A034886

nDigitosFact4 :: Integer -> Integer

nDigitosFact4 0 = 1

nDigitosFact4 1 = 1

nDigitosFact4 n =

1 + floor (m * logBase 10 (m/e) + logBase 10 (2*pi*m)/2)

where m = fromIntegral n

e = exp 1

-- λ> nDigitosFact1 (4*10^4)

-- 166714

-- (5.61 secs, 1,649,912,864 bytes)

-- λ> nDigitosFact2 (4*10^4)

-- 166714

-- (0.10 secs, 13,741,360 bytes)

-- λ> nDigitosFact2 (7*10^5)

-- 3787566

-- (1.86 secs, 187,666,328 bytes)

-- λ> nDigitosFact3 (7*10^5)

-- 3787566

-- (0.02 secs, 0 bytes)

-- λ> nDigitosFact3 (7*10^5)

-- 3787566

-- (1.01 secs, 238,682,064 bytes)

-- λ> nDigitosFact4 (7*10^5)

-- 3787566

-- (0.01 secs, 0 bytes)

-- λ> import System.Random

-- λ> xs <- sequence [randomRIO (0,10^6) | _ <- [1..10^2]]

-- λ> maximum (map nDigitosFact3 xs)

-- 5565097

-- (11.19 secs, 7,336,595,440 bytes)

-- λ> maximum (map nDigitosFact4 xs)

-- 5565097

-- (0.01 secs, 0 bytes)

graficas :: [Integer] -> IO ()

graficas xs =

plotLists [Key Nothing]

[p1, p2]

where p1, p2 :: [(Float, Float)]

p1 = [(fi k, fi (nDigitosFact4 k)) | k <- xs]

p2 = [(k',5.5*k') | k <- xs, let k' = fi k]

fi = fromIntegral

Suma de subconjuntos

PorJosé A. Alonso 17-marzo-201724-marzo-2017

Los subconjuntos de [1, 4, 2] son

   [], [1], [4], [1, 4], [2], [1, 2], [4, 2], [1, 4, 2]

1	[], [1], [4], [1, 4], [2], [1, 2], [4, 2], [1, 4, 2]

Las sumas de sus elementos son

   0, 1, 4, 5, 2, 3, 6, 7

1	0, 1, 4, 5, 2, 3, 6, 7

Y la suma de las sumas es 28.

Definir la función

   sumaSubconjuntos :: [Integer] -> Integer

1	sumaSubconjuntos :: [Integer] -> Integer

tal que (sumaSubconjuntos xs) es la suma de las sumas de los
subconjuntos de xs. Por ejemplo,

   sumaSubconjuntos [1,2]                     == 6
   sumaSubconjuntos [1,4,2]                   == 28
   length (show (sumaSubconjuntos [1..10^6])) == 301042

sumaSubconjuntos [1,2] == 6

sumaSubconjuntos [1,4,2] == 28

length (show (sumaSubconjuntos [1..10^6])) == 301042

Soluciones

import Data.List (subsequences)

-- 1ª definición
sumaSubconjuntos :: [Integer] -> Integer
sumaSubconjuntos xs =
  sum [sum ys | ys <- subsequences xs]

-- 2ª definición
sumaSubconjuntos2 :: [Integer] -> Integer
sumaSubconjuntos2 =
  sum . map sum . subsequences

-- 3ª definición
sumaSubconjuntos3 :: [Integer] -> Integer
sumaSubconjuntos3 xs =
  2^(n-1) * sum xs
  where n = length xs

import Data.List (subsequences)

-- 1ª definición

sumaSubconjuntos :: [Integer] -> Integer

sumaSubconjuntos xs =

sum [sum ys | ys <- subsequences xs]

-- 2ª definición

sumaSubconjuntos2 :: [Integer] -> Integer

sumaSubconjuntos2 =

sum . map sum . subsequences

-- 3ª definición

sumaSubconjuntos3 :: [Integer] -> Integer

sumaSubconjuntos3 xs =

2^(n-1) * sum xs

where n = length xs

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