Suma de las sumas de los cuadrados de los divisores

La suma de las sumas de los cuadrados de los divisores de los 6 primeros números enteros positivos es

Definir la función

tal que (sumaSumasCuadradosDivisores n) es la suma de las sumas de los cuadrados de los divisores de los n primeros números enteros positivos. Por ejemplo,

Soluciones

Nodos con máxima suma de hijos

Los árboles se pueden representar mediante el siguiente tipo de datos

Por ejemplo, los árboles

se representan por

Definir la función

tal que (nodosSumaMaxima a) es la lista de los nodos del árbol a cuyos hijos tienen máxima suma. Por ejemplo,

Soluciones

Ceros con los n primeros números

Los números del 1 al 3 se pueden escribir de dos formas, con el signo más o menos entre ellos, tales que su suma sea 0:

Definir la función

tal que (ceros n) son las posibles formas de obtener cero sumando los números del 1 al n, con el signo más o menos entre ellos. Por ejemplo,

Soluciones

Recorrido del robot

Los puntos de una retícula se representan mediante pares de enteros

y los movimientos de un robot mediante el tipo

donde (N x) significa que se mueve x unidades en la dirección norte y análogamente para las restantes direcciones (S es sur, E es este y O es oeste).

Definir la función

tal que (posicion ms) es la posición final de un robot que inicialmente está en el el punto (0,0) y realiza los movimientos ms. Por ejemplo,

Soluciones

Sumas parciales de Juzuk

En 1939 Dov Juzuk extendió el método de Nicómaco del cálculo de los cubos. La extensión se basaba en los siguientes pasos:

  • se comienza con la lista de todos los enteros positivos

  • se agrupan tomando el primer elemento, los dos siguientes, los tres
    siguientes, etc.

  • se seleccionan los elementos en posiciones pares

  • se suman los elementos de cada grupo

  • se calculan las sumas acumuladas

Las sumas obtenidas son las cuantas potencias de los números enteros positivos.

Definir las funciones

tal que

  • (listasParcialesJuzuk xs) es lalista de ls listas parciales de Juzuk; es decir, la selección de los elementos en posiciones pares de la agrupación de los elementos de xs tomando el primer elemento, los dos siguientes, los tres siguientes, etc. Por ejemplo,

  • (sumasParcialesJuzuk xs) es la lista de las sumas acumuladas de los elementos de las listas de Juzuk generadas por xs. Por ejemplo,

Comprobar con QuickChek que, para todo entero positivo n,

  • el elemento de (sumasParcialesJuzuk [1..]) en la posición (n-1) es n^4.
  • el elemento de (sumasParcialesJuzuk [1,3..]) en la posición (n-1) es n^2*(2*n^2 - 1).
  • el elemento de (sumasParcialesJuzuk [1,5..]) en la posición (n-1) es 4*n^4-3*n^2.
  • el elemento de (sumasParcialesJuzuk [2,3..]) en la posición (n-1) es n^2*(n^2+1).

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