Suma de divisores

Definir la función

tal que (sumaDivisores x) es la suma de los divisores de x. Por ejemplo,

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Número de divisores

Definir la función

tal que (numeroDivisores x) es el número de divisores de x. Por ejemplo,

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Conjunto de divisores

Definir la función

tal que (divisores x) es el conjunto de divisores de x. Por ejemplo,

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Reconocimiento de potencias de 2

Definir la función

tal que (esPotenciaDeDos n) se verifica si n es una potencia de dos (suponiendo que n es mayor que 0). Por ejemplo.

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Particiones de enteros positivos

Una partición de un entero positivo n es una manera de escribir n como una suma de enteros positivos. Dos sumas que sólo difieren en el orden de sus sumandos se consideran la misma partición. Por ejemplo, 4 tiene cinco particiones: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 y 1+1+1+1.

Definir la función

tal que (particiones n) es la lista de las particiones del número n. Por ejemplo,

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Mínimo producto escalar

El producto escalar de los vectores [a1,a2,…,an] y [b1,b2,…, bn] es

Definir la función

tal que (menorProductoEscalar xs ys) es el mínimo de los productos escalares de las permutaciones de xs y de las permutaciones de ys. Por ejemplo,

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Puntos en regiones rectangulares

Los puntos se puede representar mediante pares de números

y las regiones rectangulares mediante el siguiente tipo de dato

donde

  • (Rectangulo p1 p2) es la región formada por un rectángulo cuyo vértice superior izquierdo es p1 y su vértice inferior derecho es p2.
  • (Union r1 r2) es la región cuyos puntos pertenecen a alguna de las regiones r1 y r2.
  • (Diferencia r1 r2) es la región cuyos puntos pertenecen a la región r1 pero no pertenecen a la r2.

Definir la función

tal que (enRegion p r) se verifica si el punto p pertenece a la región r. Por ejemplo, usando las regiones definidas por

se tiene

Comprobar con QuickCheck que si el punto p está en la región r1, entonces, para cualquier región r2, p está en (Union r1 r2) y en (Union r2 r1), pero no está en (Diferencia r2 r1).

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Clausura de un conjunto respecto de una función

Un conjunto A está cerrado respecto de una función f si para elemento x de A se tiene que f(x) pertenece a A. La clausura de un conjunto B respecto de una función f es el menor conjunto A que contiene a B y es cerrado respecto de f. Por ejemplo, la clausura de {0,1,2] respecto del opuesto es {-2,-1,0,1,2}.

Definir la función

tal que (clausura f xs) es la clausura de xs respecto de f. Por ejemplo,

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Números con todos sus dígitos primos

Definir la lista

cuyos elementos son los números con todos sus dígitos primos. Por ejemplo,

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Producto cartesiano de una familia de conjuntos

Definir la función

tal que (producto xss) es el producto cartesiano de los conjuntos xss. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que para toda lista de listas de números enteros, xss, se verifica que el número de elementos de (producto xss) es igual al producto de los números de elementos de cada una de las listas de xss.

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Representación de Zeckendorf

Los primeros números de Fibonacci son

tales que los dos primeros son iguales a 1 y los siguientes se obtienen sumando los dos anteriores.

El teorema de Zeckendorf establece que todo entero positivo n se puede representar, de manera única, como la suma de números de Fibonacci no consecutivos decrecientes. Dicha suma se llama la representación de Zeckendorf de n. Por ejemplo, la representación de Zeckendorf de 100 es

Hay otras formas de representar 100 como sumas de números de Fibonacci; por ejemplo,

pero no son representaciones de Zeckendorf porque 1 y 2 son números de Fibonacci consecutivos, al igual que 34 y 55.

Definir la función

tal que (zeckendorf n) es la representación de Zeckendorf de n. Por ejemplo,

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Ordenada cíclicamente

Se dice que una sucesión x(1), …, x(n) está ordenada cíclicamente si existe un índice i tal que la sucesión

está ordenada crecientemente de forma estricta.

Definir la función

tal que (ordenadaCiclicamente xs) es el índice a partir del cual está ordenada, si la lista está ordenado cíclicamente y Nothing en caso contrario. Por ejemplo,

Nota: Se supone que el argumento es una lista no vacía sin elementos repetidos.

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Nuevas soluciones

  • En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Eliminación de las ocurrencias aisladas.

Definir la función

tal que (eliminaAisladas x ys) es la lista obtenida eliminando en ys las ocurrencias aisladas de x (es decir, aquellas ocurrencias de x tales que su elemento anterior y posterior son distintos de x). Por ejemplo,

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  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Emparejamiento de árboles

Los árboles se pueden representar mediante el siguiente tipo de datos

Por ejemplo, los árboles

se representan por

Definir la función

tal que (emparejaArboles f a1 a2) es el árbol obtenido aplicando la función f a los elementos de los árboles a1 y a2 que se encuentran en la misma posición. Por ejemplo,

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Separación por posición

Definir la función

tal que (particion xs) es el par cuya primera componente son los elementos de xs en posiciones pares y su segunda componente son los restantes elementos. Por ejemplo,

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Número de inversiones

Se dice que en una sucesión de números x(1), x(2), …, x(n) hay una inversión cuando existe un par de números x(i) > x(j), siendo i < j. Por ejemplo, en la permutación 2, 1, 4, 3 hay dos inversiones (2 antes que 1 y 4 antes que 3) y en la permutación 4, 3, 1, 2 hay cinco inversiones (4 antes 3, 4 antes 1, 4 antes 2, 3 antes 1, 3 antes 2).

Definir la función

tal que (numeroInversiones xs) es el número de inversiones de xs. Por ejemplo,

Soluciones

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  • Las soluciones se pueden escribir en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

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