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Etiqueta: Test.QuickCheck

Suma de divisores

José A. Alonso, ,

Definir la función

   sumaDivisores :: Integer -> Integer

tal que (sumaDivisores x) es la suma de los divisores de x. Por ejemplo,

   sumaDivisores 12  ==  28
   sumaDivisores 25  ==  31
   sumaDivisores (product [1..25])  ==  93383273455325195473152000
   length (show (sumaDivisores (product [1..30000])))  ==  121289
   maximum (map sumaDivisores [1..10^5])  ==  403200

Soluciones

import Data.List (genericLength, group, inits)
import Data.Numbers.Primes (primeFactors)
import Test.QuickCheck
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
sumaDivisores1 :: Integer -> Integer
sumaDivisores1 = sum . divisores
 
-- (divisores x) es la lista de los divisores de x. Por ejemplo,
--    divisores 60  ==  [1,5,3,15,2,10,6,30,4,20,12,60]
divisores :: Integer -> [Integer]
divisores = map (product . concat)
          . productoCartesiano
          . map inits
          . group
          . primeFactors
 
-- (productoCartesiano xss) es el producto cartesiano de los conjuntos
-- xss. Por ejemplo,
--    λ> producto [[1,3],[2,5],[6,4]]
--    [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]]
productoCartesiano :: [[a]] -> [[a]]
productoCartesiano []       = [[]]
productoCartesiano (xs:xss) =
  [x:ys | x <- xs, ys <- productoCartesiano xss]
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
sumaDivisores2 :: Integer -> Integer
sumaDivisores2 = sum
               . map (product . concat)
               . sequence
               . map inits
               . group
               . primeFactors
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
-- Si la descomposición de x en factores primos es
--    x = p(1)^e(1) . p(2)^e(2) . .... . p(n)^e(n)
-- entonces la suma de los divisores de x es
--    p(1)^(e(1)+1) - 1     p(2)^(e(2)+1) - 1       p(n)^(e(2)+1) - 1
--   ------------------- . ------------------- ... -------------------
--        p(1)-1                p(2)-1                  p(n)-1
-- Ver la demostración en http://bit.ly/2zUXZPc
 
sumaDivisores3 :: Integer -> Integer
sumaDivisores3 x =
  product [(p^(e+1)-1) `div` (p-1) | (p,e) <- factorizacion x]
 
-- (factorizacion x) es la lista de las bases y exponentes de la
-- descomposición prima de x. Por ejemplo,
--    factorizacion 600  ==  [(2,3),(3,1),(5,2)]
factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]
factorizacion = map primeroYlongitud . group . primeFactors
 
-- (primeroYlongitud xs) es el par formado por el primer elemento de xs
-- y la longitud de xs. Por ejemplo,
--    primeroYlongitud [3,2,5,7] == (3,4)
primeroYlongitud :: [a] -> (a,Integer)
primeroYlongitud (x:xs) =
  (x, 1 + genericLength xs)
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_sumaDivisores :: Positive Integer -> Bool
prop_sumaDivisores (Positive x) =
  all (== sumaDivisores1 x)
      [ sumaDivisores2 x
      , sumaDivisores3 x
      ]
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_sumaDivisores
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--   λ> sumaDivisores1 251888923423315469521109880000000
--   1471072204661054993275791673480320
--   (10.63 secs, 10,614,618,080 bytes)
--   λ> sumaDivisores2 251888923423315469521109880000000
--   1471072204661054993275791673480320
--   (2.51 secs, 5,719,399,056 bytes)
--   λ> sumaDivisores3 251888923423315469521109880000000
--   1471072204661054993275791673480320
--   (0.01 secs, 177,480 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

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Número de divisores

José A. Alonso, ,

Definir la función

   numeroDivisores :: Integer -> Integer

tal que (numeroDivisores x) es el número de divisores de x. Por ejemplo,

   numeroDivisores 12  ==  6
   numeroDivisores 25  ==  3
   length (show (numeroDivisores (product [1..3*10^4])))  ==  1948

Soluciones

import Data.List (genericLength, group, inits)
import Data.Numbers.Primes (primeFactors)
import Test.QuickCheck
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
numeroDivisores1 :: Integer -> Integer
numeroDivisores1 x =
  genericLength [y | y <- [1..x], x `mod` y == 0]
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
numeroDivisores2 :: Integer -> Integer
numeroDivisores2 1 = 1
numeroDivisores2 x
  | esCuadrado x = 2 * genericLength [y | y <- [1..raizEntera x], x `mod` y == 0] - 1
  | otherwise    = 2 * genericLength [y | y <- [1..raizEntera x], x `mod` y == 0]
 
-- (raizEntera x) es el mayor número entero cuyo cuadrado es menor o
-- igual que x. Por ejemplo,
--    raizEntera 3  ==  1
--    raizEntera 4  ==  2
--    raizEntera 5  ==  2
--    raizEntera 8  ==  2
--    raizEntera 9  ==  3
raizEntera :: Integer -> Integer
raizEntera x = floor (sqrt (fromInteger x))
 
-- (esCuadrado x) se verifica si x es un cuadrado perfecto. Por ejemplo,
--    esCuadrado 9  ==  True
--    esCuadrado 7  ==  False
esCuadrado :: Integer -> Bool
esCuadrado x =
  x == (raizEntera x)^2
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
numeroDivisores3 :: Integer -> Integer
numeroDivisores3 =
  genericLength . divisores
 
-- (divisores x) es la lista de los divisores de x. Por ejemplo,
--    divisores 12  ==  [1,3,2,6,4,12]
--    divisores 25  ==  [1,5,25]
divisores :: Integer -> [Integer]
divisores = map (product . concat)
          . productoCartesiano
          . map inits
          . group
          . primeFactors
 
-- (productoCartesiano xss) es el producto cartesiano de los conjuntos
-- xss. Por ejemplo,
--    λ> productoCartesiano [[1,3],[2,5],[6,4]]
--    [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]]
productoCartesiano :: [[a]] -> [[a]]
productoCartesiano []       = [[]]
productoCartesiano (xs:xss) =
  [x:ys | x <- xs, ys <- productoCartesiano xss]
 
-- 4ª solución
-- ===========
 
numeroDivisores4 :: Integer -> Integer
numeroDivisores4 = genericLength
                 . map (product . concat)
                 . sequence
                 . map inits
                 . group
                 . primeFactors
 
-- 5ª solución
-- ===========
 
numeroDivisores5 :: Integer -> Integer
numeroDivisores5 =
  product . map ((+1) . genericLength) . group . primeFactors
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_numeroDivisores :: Positive Integer -> Bool
prop_numeroDivisores (Positive x) =
  all (== numeroDivisores1 x)
      [ numeroDivisores2 x
      , numeroDivisores3 x
      , numeroDivisores4 x
      , numeroDivisores5 x]
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_numeroDivisores
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> numeroDivisores1 (product [1..10])
--    270
--    (1.67 secs, 726,327,208 bytes)
--    λ> numeroDivisores2 (product [1..10])
--    270
--    (0.01 secs, 929,000 bytes)
--
--    λ> numeroDivisores2 (product [1..16])
--    5376
--    (2.10 secs, 915,864,664 bytes)
--    λ> numeroDivisores3 (product [1..16])
--    5376
--    (0.01 secs, 548,472 bytes)
--
--    λ> numeroDivisores3 (product [1..30])
--    2332800
--    (3.80 secs, 4,149,811,688 bytes)
--    λ> numeroDivisores4 (product [1..30])
--    2332800
--    (0.59 secs, 722,253,848 bytes)
--    λ> numeroDivisores5 (product [1..30])
--    2332800
--    (0.00 secs, 587,856 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

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Conjunto de divisores

José A. Alonso, ,

Definir la función

   divisores :: Integer -> [Integer]

tal que (divisores x) es el conjunto de divisores de x. Por ejemplo,

  divisores 30  ==  [1,2,3,5,6,10,15,30]
  length (divisores (product [1..10]))  ==  270
  length (divisores (product [1..25]))  ==  340032

Soluciones

import Data.List (group, inits, nub, sort, subsequences)
import Data.Numbers.Primes (primeFactors)
import Test.QuickCheck
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
divisores1 :: Integer -> [Integer]
divisores1 n = [x | x <- [1..n], n `rem` x == 0]
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
divisores2 :: Integer -> [Integer]
divisores2 n = filter ((== 0) . mod n) [1..n]
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
divisores3 :: Integer -> [Integer]
divisores3 =
  nub . sort . map product . subsequences . primeFactors
 
-- 4ª solución
-- ===========
 
divisores4 :: Integer -> [Integer]
divisores4 =
  sort
  . map (product . concat)
  . productoCartesiano
  . map inits
  . group
  . primeFactors
 
-- (productoCartesiano xss) es el producto cartesiano de los conjuntos
-- xss. Por ejemplo,
--    λ> productoCartesiano [[1,3],[2,5],[6,4]]
--    [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]]
productoCartesiano :: [[a]] -> [[a]]
productoCartesiano []       = [[]]
productoCartesiano (xs:xss) =
  [x:ys | x <- xs, ys <- productoCartesiano xss]
 
-- 5ª solución
-- ===========
 
divisores5 :: Integer -> [Integer]
divisores5 = sort
           . map (product . concat)
           . sequence
           . map inits
           . group
           . primeFactors
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_divisores :: Positive Integer -> Bool
prop_divisores (Positive n) =
  all (== divisores1 n)
      [ divisores2 n
      , divisores3 n
      , divisores4 n
      , divisores5 n
      ]
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_divisores
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de la eficiencia
-- ============================
 
--    λ> length (divisores (product [1..11]))
--    540
--    (12.51 secs, 7,983,499,736 bytes)
--    λ> length (divisores2 (product [1..11]))
--    540
--    (4.81 secs, 4,790,146,656 bytes)
--    λ> length (divisores3 (product [1..11]))
--    540
--    (0.10 secs, 107,339,848 bytes)
--    λ> length (divisores4 (product [1..11]))
--    540
--    (0.02 secs, 1,702,616 bytes)
--    λ> length (divisores5 (product [1..11]))
--    540
--    (0.02 secs, 1,205,824 bytes)
--
--    λ> length (divisores3 (product [1..14]))
--    2592
--    (7.89 secs, 9,378,454,912 bytes)
--    λ> length (divisores4 (product [1..14]))
--    2592
--    (0.03 secs, 9,426,528 bytes)
--    λ> length (divisores5 (product [1..14]))
--    2592
--    (0.02 secs, 6,636,608 bytes)
--    
--    λ> length (divisores4 (product [1..25]))
--    340032
--    (1.65 secs, 2,055,558,208 bytes)
--    λ> length (divisores5 (product [1..25]))
--    340032
--    (0.88 secs, 1,532,515,304 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

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Reconocimiento de potencias de 2

José A. Alonso, ,

Definir la función

   esPotenciaDeDos :: Integer -> Bool

tal que (esPotenciaDeDos n) se verifica si n es una potencia de dos (suponiendo que n es mayor que 0). Por ejemplo.

   esPotenciaDeDos    1        == True
   esPotenciaDeDos    2        == True
   esPotenciaDeDos    6        == False
   esPotenciaDeDos    8        == True
   esPotenciaDeDos 1024        == True
   esPotenciaDeDos 1026        == False
   esPotenciaDeDos (2^(10^8))  == True

Soluciones

import Data.Bits ((.&.))
import Data.Numbers.Primes (primeFactors)
import Test.QuickCheck (Positive (Positive), quickCheck)
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
esPotenciaDeDos1 :: Integer -> Bool
esPotenciaDeDos1 1 = True
esPotenciaDeDos1 n
  | even n    = esPotenciaDeDos1 (n `div` 2)
  | otherwise = False
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
esPotenciaDeDos2 :: Integer -> Bool
esPotenciaDeDos2 n = n ==
  head (dropWhile (<n) potenciasDeDos)
 
-- potenciasDeDos es la lista de las potencias de dos. Por ejemplo,
--    take 10 potenciasDeDos  == [1,2,4,8,16,32,64,128,256,512]
potenciasDeDos :: [Integer]
potenciasDeDos = iterate (*2) 1
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
esPotenciaDeDos3 :: Integer -> Bool
esPotenciaDeDos3 x = all (==2) (primeFactors x)
 
-- 4ª solución
-- ===========
 
-- Usando la función (.&.) de la librería Data.Bits. Dicha función
-- calcula el número correspondiente a la conjunción de las
-- representaciones binarias de sus argumentos. Por ejemplo,
--    6 .&. 3 == 2
-- ya que
--    la representación binaria de 6 es     [1,1,0]
--    la representación binaria de 3 es       [1,1]
--    la conjunción es                        [1,0]
--    la representación decimal de [1,0] es   2
--
-- Otros ejemplos:
--    4 .&. 3 ==   [1,0,0] .&.   [1,1] == 0
--    8 .&. 7 == [1,0,0,0] .&. [1,1,1] = 0
 
esPotenciaDeDos4 :: Integer -> Bool
esPotenciaDeDos4 n = n .&. (n-1) == 0
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_esPotenciaDeDos :: Positive Integer -> Bool
prop_esPotenciaDeDos (Positive n) =
  all (== esPotenciaDeDos1 n)
      [ esPotenciaDeDos2 n
      , esPotenciaDeDos3 n
      , esPotenciaDeDos4 n
      ]
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_esPotenciaDeDos
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> esPotenciaDeDos1 (2^(3*10^5))
--    True
--    (3.51 secs, 5,730,072,544 bytes)
--    λ> esPotenciaDeDos2 (2^(3*10^5))
--    True
--    (3.12 secs, 5,755,639,952 bytes)
--    λ> esPotenciaDeDos3 (2^(3*10^5))
--    True
--    (2.92 secs, 5,758,872,040 bytes)
--    λ> esPotenciaDeDos4 (2^(3*10^5))
--    True
--    (0.03 secs, 715,152 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

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Particiones de enteros positivos

José A. Alonso, ,

Una partición de un entero positivo n es una manera de escribir n como una suma de enteros positivos. Dos sumas que sólo difieren en el orden de sus sumandos se consideran la misma partición. Por ejemplo, 4 tiene cinco particiones: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 y 1+1+1+1.

Definir la función

   particiones :: Int -> [[Int]]

tal que (particiones n) es la lista de las particiones del número n. Por ejemplo,

   particiones 4  ==  [[4],[3,1],[2,2],[2,1,1],[1,1,1,1]]
   particiones 5  ==  [[5],[4,1],[3,2],[3,1,1],[2,2,1],[2,1,1,1],[1,1,1,1,1]]
   length (particiones 50)  ==  204226

Soluciones

module Particiones_de_enteros_positivos where
 
import Test.QuickCheck
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
particiones1 :: Int -> [[Int]]
particiones1 0 = [[]]
particiones1 n = [x:y | x <- [n,n-1..1],
                        y <- particiones1 (n-x),
                        [x] >= take 1 y]
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
particiones2 :: Int -> [[Int]]
particiones2 n = aux !! n
  where
    aux = [] : map particiones [1..]
    particiones m = [m] : [x:p | x <- [m,m-1..1],
                                 p <- aux !! (m-x),
                                 x >= head p]
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
particiones3 :: Int -> [[Int]]
particiones3 n = aux n n
  where aux 0 _ = [[]]
        aux n' m = concat [map (i:) (aux (n'-i) i)
                          | i <- [n',n'-1..1], i <= m]
 
-- 4ª solución
-- ===========
 
particiones4 :: Int -> [[Int]]
particiones4 n = aux n n
  where aux 0 _ = [[]]
        aux n' m = concat [map (i:) (aux (n'-i) i)
                          | i <- [k,k-1..1]]
          where k = min m n'
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_particiones :: Positive Int -> Bool
prop_particiones (Positive n) =
  all (== particiones1 n)
      [ particiones2 n
      , particiones3 n
      , particiones4 n
      ]
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=20}) prop_particiones
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia                                        --
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> length (particiones1 23)
--    1255
--    (12.50 secs, 6,614,487,992 bytes)
--    λ> length (particiones2 23)
--    1255
--    (0.04 secs, 3,071,104 bytes)
--    λ> length (particiones3 23)
--    1255
--    (0.02 secs, 9,163,544 bytes)
--    λ> length (particiones4 23)
--    1255
--    (0.01 secs, 7,149,512 bytes)
--
--    λ> length (particiones2 50)
--    204226
--    (2.50 secs, 758,729,104 bytes)
--    λ> length (particiones3 50)
--    204226
--    (4.26 secs, 2,359,121,096 bytes)
--    λ> length (particiones4 50)
--    204226
--    (2.67 secs, 1,598,588,040 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

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