Teorema de Hilbert-Waring

El problema de Waring, propuesto por Edward Waring consiste en déterminar si, para cada número entero k mayor que 1, existe un número n tal que todo entero positivo se puede escribir como una suma de k-potencias de números positivos con n sumandos como máximo.

La respuesta afirmativa al problema, aportada por David Hilbert, se conoce como el teorema de Hilbert-Waring. Su enunciado es

Para cada número entero k, con k ≥ 2, existe un entero positivo g(k) tal que todo entero positivo se puede expresar como una suma de a lo más g(k) k-ésimas potencias.

Definir las funciones

tales que

  • (descomposiciones x k n) es la lista de descomposiciones de x como suma de n potencias con exponente k de números enteros positivos.

  • (orden x k) es el menor número de sumandos necesario para expresar x como suma de k-ésimas potencias. Por ejemplo,

Comprobar el teorema de Hilbert-Waring para k hasta 7; es decir, para todo número x positivo se verifica que

y, en general,

Soluciones

Referencia

Pensamiento

¡Y en la tersa arena,
cerca de la mar,
tu carne rosa y morena,
súbitamente Guiomar!

Antonio Machado

Derivada aritmética

La derivada aritmética es una función definida sobre los números naturales por analogía con la regla del producto para el cálculo de las derivadas usada en análisis.

Para un número natural n su derivada D(n) se define por

Por ejemplo,

Definir la función

tal que (derivada n) es la derivada aritmética de n. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que si x es un número entero positivo y su descomposición en factores primos es

entonces la derivada de x es

Nota: No usar en la definición la propiedad que hay que comprobar.

Soluciones

Referencias

Pensamiento

En ese jardín, Guiomar,
el mutuo jardín que inventan
dos corazones al par,
se funden y complementan
nuestras horas.

Antonio Machado

Postulado de Bertrand

El postulado de Bertrand afirma que para cualquier número entero n > 1, existe al menos un número primo p con n < p < 2n.

Definir la función

tal que (siguientePrimo n) es el menor primo mayor que n. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck el postulado de Bertrand; es decir, para todo entero n > 1, se verifica que n < p < 2n, donde p es (siguientePrimo n).

Soluciones

Referencias

Pensamiento

Pero caer de cabeza,
en esta noche sin luna,
en medio de esta maleza,
junto a la negra laguna.

Antonio Machado

Árbol binario de divisores

El árbol binario de los divisores de 24 es

Se puede representar por

usando el tipo de dato definido por

Análogamente se obtiene el árbol binario de cualquier número x: se comienza en x y en cada paso se tiene dos hijos (su menor divisor y su cociente) hasta obtener números primos en las hojas.

Definir las funciones

tales que

  • (arbolDivisores x) es el árbol binario de los divisores de x. Por ejemplo,

  • (hojasArbolDivisores x) es la lista de las hohas del árbol binario de los divisores de x. Por ejemplo

Soluciones

Pensamiento

Cuando el Ser que se es hizo la nada
y reposó que bien lo merecía,
ya tuvo el día noche, y compañía
tuvo el amante en la ausencia de la amada.

Antonio Machado

Cálculo de pi usando la fórmula de Vieta

La fórmula de Vieta para el cálculo de pi es la siguiente
Calculo_de_pi_usando_la_formula_de_Vieta

Definir las funciones

tales que

  • (aproximacionPi n) es la aproximación de pi usando n factores de la fórmula de Vieta. Por ejemplo,

  • (errorPi x) es el menor número de factores de la fórmula de Vieta necesarios para obtener pi con un error menor que x. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

El tiempo que la barba me platea,
cavó mis ojos y agrandó mi frente,
va siendo en mi recuerdo transparente,
y mientras más al fondo, más clarea.

Antonio Machado