abs – Exercitium

Índices de valores verdaderos

PorJosé A. Alonso 12-abril-202211-abril-2022

Definir la función

   indicesVerdaderos :: [Int] -> [Bool]

1	indicesVerdaderos :: [Int] -> [Bool]

tal que (indicesVerdaderos xs) es la lista infinita de booleanos tal que sólo son verdaderos los elementos cuyos índices pertenecen a la lista estrictamente creciente xs. Por ejemplo,

   λ> take 6 (indicesVerdaderos [1,4])
   [False,True,False,False,True,False]
   λ> take 6 (indicesVerdaderos [0,2..])
   [True,False,True,False,True,False]
   λ> take 3 (indicesVerdaderos [])
   [False,False,False]
   λ> take 6 (indicesVerdaderos [1..])
   [False,True,True,True,True,True]
   λ> last (take (8*10^7) (indicesVerdaderos [0,5..]))
   False

λ> take 6 (indicesVerdaderos [1,4])

[False,True,False,False,True,False]

λ> take 6 (indicesVerdaderos [0,2..])

[True,False,True,False,True,False]

λ> take 3 (indicesVerdaderos [])

[False,False,False]

λ> take 6 (indicesVerdaderos [1..])

[False,True,True,True,True,True]

λ> last (take (8*10^7) (indicesVerdaderos [0,5..]))

False

Soluciones

[schedule expon=’2022-04-19′ expat=»06:00″]

Las soluciones se pueden escribir en los comentarios.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

[/schedule]

[schedule on=’2022-04-19′ at=»06:00″]

import Data.List.Ordered (member)
import Test.QuickCheck

-- 1ª solución
-- ===========

indicesVerdaderos1 :: [Int] -> [Bool]
indicesVerdaderos1 []     = repeat False
indicesVerdaderos1 (x:ys) =
  replicate x False ++ [True] ++ indicesVerdaderos1 [y-x-1 | y <- ys]

-- 2ª solución
-- ===========

indicesVerdaderos2 :: [Int] -> [Bool]
indicesVerdaderos2 = aux 0
  where aux _ []     = repeat False
        aux n (x:xs) | x == n    = True  : aux (n+1) xs
                     | otherwise = False : aux (n+1) (x:xs)

-- 3ª solución
-- ===========

indicesVerdaderos3 :: [Int] -> [Bool]
indicesVerdaderos3 = aux [0..]
  where aux _      []                 = repeat False
        aux (i:is) (x:xs) | i == x    = True  : aux is xs
                          | otherwise = False : aux is (x:xs)

-- 4ª solución
-- ===========

indicesVerdaderos4 :: [Int] -> [Bool]
indicesVerdaderos4 xs = [pertenece x xs | x <- [0..]]

-- (pertenece x ys) se verifica si x pertenece a la lista estrictamente
-- creciente (posiblemente infinita) ys. Por ejemplo,
--    pertenece 9 [1,3..]  ==  True
--    pertenece 6 [1,3..]  ==  False
pertenece :: Int -> [Int] -> Bool
pertenece x ys = x `elem` takeWhile (<=x) ys

-- 5ª solución
-- ===========

indicesVerdaderos5 :: [Int] -> [Bool]
indicesVerdaderos5 xs = map (`pertenece2` xs) [0..]

pertenece2 :: Int -> [Int] -> Bool
pertenece2 x = aux
  where aux [] = False
        aux (y:ys) = case compare x y of
                       LT -> False
                       EQ -> True
                       GT -> aux ys

-- 6ª solución
-- ===========

indicesVerdaderos6 :: [Int] -> [Bool]
indicesVerdaderos6 xs = map (`member` xs) [0..]

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- ListaCreciente es un tipo de dato para generar lista de enteros
-- crecientes arbitrarias.
newtype ListaCreciente = LC [Int]
  deriving Show

-- listaCrecienteArbitraria es un generador de lista de enteros
-- crecientes arbitrarias. Por ejemplo,
--    λ> sample listaCrecienteArbitraria
--    LC []
--    LC [2,5]
--    LC [4,8]
--    LC [6,13]
--    LC [7,15,20,28,33]
--    LC [11,15,20,29,35,40]
--    LC [5,17,25,36,42,50,52,64]
--    LC [9,16,31,33,46,59,74,83,85,89,104,113,118]
--    LC [9,22,29,35,37,49,53,62,68,77,83,100]
--    LC []
--    LC [3,22,25,34,36,51,72,75,89]
listaCrecienteArbitraria :: Gen ListaCreciente
listaCrecienteArbitraria = do
  xs <- arbitrary
  return (LC (listaCreciente xs))

-- (listaCreciente xs) es la lista creciente correspondiente a xs. Por ejemplo,
--    listaCreciente [-1,3,-4,3,0]   ==  [2,6,11,15,16]
listaCreciente :: [Int] -> [Int]
listaCreciente xs =
  scanl1 (+) (map (succ . abs) xs)

-- ListaCreciente está contenida en Arbitrary
instance Arbitrary ListaCreciente where
  arbitrary = listaCrecienteArbitraria

-- La propiedad es
prop_indicesVerdaderos :: ListaCreciente -> Bool
prop_indicesVerdaderos (LC xs) =
  all (== take n (indicesVerdaderos1 xs))
      [take n (f xs) | f <-[indicesVerdaderos2,
                            indicesVerdaderos3,
                            indicesVerdaderos4,
                            indicesVerdaderos5,
                            indicesVerdaderos6]]
  where n = length xs

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_indicesVerdaderos
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> last (take (2*10^4) (indicesVerdaderos1 [0,5..]))
--    False
--    (2.69 secs, 2,611,031,544 bytes)
--    λ> last (take (2*10^4) (indicesVerdaderos2 [0,5..]))
--    False
--    (0.03 secs, 10,228,880 bytes)
--
--    λ> last (take (4*10^6) (indicesVerdaderos2 [0,5..]))
--    False
--    (2.37 secs, 1,946,100,856 bytes)
--    λ> last (take (4*10^6) (indicesVerdaderos3 [0,5..]))
--    False
--    (1.54 secs, 1,434,100,984 bytes)
--
--    λ> last (take (6*10^6) (indicesVerdaderos3 [0,5..]))
--    False
--    (2.30 secs, 2,150,900,984 bytes)
--    λ> last (take (6*10^6) (indicesVerdaderos4 [0,5..]))
--    False
--    (1.55 secs, 1,651,701,184 bytes)
--    λ> last (take (6*10^6) (indicesVerdaderos5 [0,5..]))
--    False
--    (0.58 secs, 1,584,514,304 bytes)
--
--    λ> last (take (3*10^7) (indicesVerdaderos5 [0,5..]))
--    False
--    (2.74 secs, 7,920,514,360 bytes)
--    λ> last (take (3*10^7) (indicesVerdaderos6 [0,5..]))
--    False
--    (0.82 secs, 6,960,514,136 bytes)

--    λ> last (take (2*10^4) (indicesVerdaderos1 [0,5..]))
--    False
--    (2.69 secs, 2,611,031,544 bytes)
--    λ> last (take (2*10^4) (indicesVerdaderos6 [0,5..]))
--    False
--    (0.01 secs, 5,154,040 bytes)

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import Data.List.Ordered (member)

import Test.QuickCheck

-- 1ª solución

-- ===========

indicesVerdaderos1 :: [Int] -> [Bool]

indicesVerdaderos1 [] = repeat False

indicesVerdaderos1 (x:ys) =

replicate x False ++ [True] ++ indicesVerdaderos1 [y-x-1 | y <- ys]

-- 2ª solución

-- ===========

indicesVerdaderos2 :: [Int] -> [Bool]

indicesVerdaderos2 = aux 0

where aux _ [] = repeat False

aux n (x:xs) | x == n = True : aux (n+1) xs

| otherwise = False : aux (n+1) (x:xs)

-- 3ª solución

-- ===========

indicesVerdaderos3 :: [Int] -> [Bool]

indicesVerdaderos3 = aux [0..]

where aux _ [] = repeat False

aux (i:is) (x:xs) | i == x = True : aux is xs

| otherwise = False : aux is (x:xs)

-- 4ª solución

-- ===========

indicesVerdaderos4 :: [Int] -> [Bool]

indicesVerdaderos4 xs = [pertenece x xs | x <- [0..]]

-- (pertenece x ys) se verifica si x pertenece a la lista estrictamente

-- creciente (posiblemente infinita) ys. Por ejemplo,

-- pertenece 9 [1,3..] == True

-- pertenece 6 [1,3..] == False

pertenece :: Int -> [Int] -> Bool

pertenece x ys = x `elem` takeWhile (<=x) ys

-- 5ª solución

-- ===========

indicesVerdaderos5 :: [Int] -> [Bool]

indicesVerdaderos5 xs = map (`pertenece2` xs) [0..]

pertenece2 :: Int -> [Int] -> Bool

pertenece2 x = aux

where aux [] = False

aux (y:ys) = case compare x y of

LT -> False

EQ -> True

GT -> aux ys

-- 6ª solución

-- ===========

indicesVerdaderos6 :: [Int] -> [Bool]

indicesVerdaderos6 xs = map (`member` xs) [0..]

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- ListaCreciente es un tipo de dato para generar lista de enteros

-- crecientes arbitrarias.

newtype ListaCreciente = LC [Int]

deriving Show

-- listaCrecienteArbitraria es un generador de lista de enteros

-- crecientes arbitrarias. Por ejemplo,

-- λ> sample listaCrecienteArbitraria

-- LC []

-- LC [2,5]

-- LC [4,8]

-- LC [6,13]

-- LC [7,15,20,28,33]

-- LC [11,15,20,29,35,40]

-- LC [5,17,25,36,42,50,52,64]

-- LC [9,16,31,33,46,59,74,83,85,89,104,113,118]

-- LC [9,22,29,35,37,49,53,62,68,77,83,100]

-- LC []

-- LC [3,22,25,34,36,51,72,75,89]

listaCrecienteArbitraria :: Gen ListaCreciente

listaCrecienteArbitraria = do

xs <- arbitrary

return (LC (listaCreciente xs))

-- (listaCreciente xs) es la lista creciente correspondiente a xs. Por ejemplo,

-- listaCreciente [-1,3,-4,3,0] == [2,6,11,15,16]

listaCreciente :: [Int] -> [Int]

listaCreciente xs =

scanl1 (+) (map (succ . abs) xs)

-- ListaCreciente está contenida en Arbitrary

instance Arbitrary ListaCreciente where

arbitrary = listaCrecienteArbitraria

-- La propiedad es

prop_indicesVerdaderos :: ListaCreciente -> Bool

prop_indicesVerdaderos (LC xs) =

all (== take n (indicesVerdaderos1 xs))

[take n (f xs) | f <-[indicesVerdaderos2,

indicesVerdaderos3,

indicesVerdaderos4,

indicesVerdaderos5,

indicesVerdaderos6]]

where n = length xs

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_indicesVerdaderos

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> last (take (2*10^4) (indicesVerdaderos1 [0,5..]))

-- False

-- (2.69 secs, 2,611,031,544 bytes)

-- λ> last (take (2*10^4) (indicesVerdaderos2 [0,5..]))

-- False

-- (0.03 secs, 10,228,880 bytes)

-- λ> last (take (4*10^6) (indicesVerdaderos2 [0,5..]))

-- False

-- (2.37 secs, 1,946,100,856 bytes)

-- λ> last (take (4*10^6) (indicesVerdaderos3 [0,5..]))

-- False

-- (1.54 secs, 1,434,100,984 bytes)

-- λ> last (take (6*10^6) (indicesVerdaderos3 [0,5..]))

-- False

-- (2.30 secs, 2,150,900,984 bytes)

-- λ> last (take (6*10^6) (indicesVerdaderos4 [0,5..]))

-- False

-- (1.55 secs, 1,651,701,184 bytes)

-- λ> last (take (6*10^6) (indicesVerdaderos5 [0,5..]))

-- False

-- (0.58 secs, 1,584,514,304 bytes)

-- λ> last (take (3*10^7) (indicesVerdaderos5 [0,5..]))

-- False

-- (2.74 secs, 7,920,514,360 bytes)

-- λ> last (take (3*10^7) (indicesVerdaderos6 [0,5..]))

-- False

-- (0.82 secs, 6,960,514,136 bytes)

-- λ> last (take (2*10^4) (indicesVerdaderos1 [0,5..]))

-- False

-- (2.69 secs, 2,611,031,544 bytes)

-- λ> last (take (2*10^4) (indicesVerdaderos6 [0,5..]))

-- False

-- (0.01 secs, 5,154,040 bytes)

El código se encuentra en [GitHub](https://github.com/jaalonso/Exercitium/blob/main/src/Indices_verdaderos.hs).

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

[/schedule]

Espacio de estados del problema de las N reinas

PorJosé A. Alonso 21-mayo-202028-mayo-2020

El problema de las N reinas consiste en colocar N reinas en tablero rectangular de dimensiones N por N de forma que no se encuentren más de una en la misma línea: horizontal, vertical o diagonal. Por ejemplo, una solución para el problema de las 4 reinas es

   |---|---|---|---|
   |   | R |   |   |
   |---|---|---|---|
   |   |   |   | R |
   |---|---|---|---|
   | R |   |   |   |
   |---|---|---|---|
   |   |   | R |   |
   |---|---|---|---|

|---|---|---|---|

| | R | | |

|---|---|---|---|

| | | | R |

|---|---|---|---|

| R | | | |

|---|---|---|---|

| | | R | |

|---|---|---|---|

Los estados del problema de las N reinas son los tableros con las reinas colocadas. Inicialmente el tablero está vacío y, en cda paso se coloca una reina en la primera columna en la que aún no hay ninguna reina.

Cada estado se representa por una lista de números que indican las filas donde se han colocado las reinas. Por ejemplo, el tablero anterior se representa por [2,4,1,3].

Usando la librería de árboles Data.Tree, definir las funciones

   arbolReinas :: Int -> Tree [Int]
   nEstados    :: Int -> Int
   soluciones  :: Int -> [[Int]]
   nSoluciones :: Int -> Int

arbolReinas :: Int -> Tree [Int]

nEstados :: Int -> Int

soluciones :: Int -> [[Int]]

nSoluciones :: Int -> Int

tales que

(arbolReinas n) es el árbol de estados para el problema de las n reinas. Por ejemplo,

     λ> putStrLn (drawTree (fmap show (arbolReinas 4)))
     []
     |
     +- [1]
     |  |
     |  +- [3,1]
     |  |
     |  `- [4,1]
     |     |
     |     `- [2,4,1]
     |
     +- [2]
     |  |
     |  `- [4,2]
     |     |
     |     `- [1,4,2]
     |        |
     |        `- [3,1,4,2]
     |
     +- [3]
     |  |
     |  `- [1,3]
     |     |
     |     `- [4,1,3]
     |        |
     |        `- [2,4,1,3]
     |
     `- [4]
        |
        +- [1,4]
        |  |
        |  `- [3,1,4]
        |
        `- [2,4]
     
     λ> putStrLn (drawTree (fmap show (arbolReinas 5)))
     []
     |
     +- [1]
     |  |
     |  +- [3,1]
     |  |  |
     |  |  `- [5,3,1]
     |  |     |
     |  |     `- [2,5,3,1]
     |  |        |
     |  |        `- [4,2,5,3,1]
     |  |
     |  +- [4,1]
     |  |  |
     |  |  `- [2,4,1]
     |  |     |
     |  |     `- [5,2,4,1]
     |  |        |
     |  |        `- [3,5,2,4,1]
     |  |
     |  `- [5,1]
     |     |
     |     `- [2,5,1]
     |
     +- [2]
     |  |
     |  +- [4,2]
     |  |  |
     |  |  `- [1,4,2]
     |  |     |
     |  |     `- [3,1,4,2]
     |  |        |
     |  |        `- [5,3,1,4,2]
     |  |
     |  `- [5,2]
     |     |
     |     +- [1,5,2]
     |     |  |
     |     |  `- [4,1,5,2]
     |     |
     |     `- [3,5,2]
     |        |
     |        `- [1,3,5,2]
     |           |
     |           `- [4,1,3,5,2]
     |
     +- [3]
     |  |
     |  +- [1,3]
     |  |  |
     |  |  `- [4,1,3]
     |  |     |
     |  |     `- [2,4,1,3]
     |  |        |
     |  |        `- [5,2,4,1,3]
     |  |
     |  `- [5,3]
     |     |
     |     `- [2,5,3]
     |        |
     |        `- [4,2,5,3]
     |           |
     |           `- [1,4,2,5,3]
     |
     +- [4]
     |  |
     |  +- [1,4]
     |  |  |
     |  |  +- [3,1,4]
     |  |  |  |
     |  |  |  `- [5,3,1,4]
     |  |  |     |
     |  |  |     `- [2,5,3,1,4]
     |  |  |
     |  |  `- [5,1,4]
     |  |     |
     |  |     `- [2,5,1,4]
     |  |
     |  `- [2,4]
     |     |
     |     `- [5,2,4]
     |        |
     |        `- [3,5,2,4]
     |           |
     |           `- [1,3,5,2,4]
     |
     `- [5]
        |
        +- [1,5]
        |  |
        |  `- [4,1,5]
        |
        +- [2,5]
        |  |
        |  `- [4,2,5]
        |     |
        |     `- [1,4,2,5]
        |        |
        |        `- [3,1,4,2,5]
        |
        `- [3,5]
           |
           `- [1,3,5]
              |
              `- [4,1,3,5]
                 |
                 `- [2,4,1,3,5]

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143

λ> putStrLn (drawTree (fmap show (arbolReinas 4)))

[]

+- [1]

| |

| +- [3,1]

| |

| `- [4,1]

| |

| `- [2,4,1]

+- [2]

| |

| `- [4,2]

| |

| `- [1,4,2]

| |

| `- [3,1,4,2]

+- [3]

| |

| `- [1,3]

| |

| `- [4,1,3]

| |

| `- [2,4,1,3]

`- [4]

+- [1,4]

| |

| `- [3,1,4]

`- [2,4]

λ> putStrLn (drawTree (fmap show (arbolReinas 5)))

[]

+- [1]

| |

| +- [3,1]

| | |

| | `- [5,3,1]

| | |

| | `- [2,5,3,1]

| | |

| | `- [4,2,5,3,1]

| |

| +- [4,1]

| | |

| | `- [2,4,1]

| | |

| | `- [5,2,4,1]

| | |

| | `- [3,5,2,4,1]

| |

| `- [5,1]

| |

| `- [2,5,1]

+- [2]

| |

| +- [4,2]

| | |

| | `- [1,4,2]

| | |

| | `- [3,1,4,2]

| | |

| | `- [5,3,1,4,2]

| |

| `- [5,2]

| |

| +- [1,5,2]

| | |

| | `- [4,1,5,2]

| |

| `- [3,5,2]

| |

| `- [1,3,5,2]

| |

| `- [4,1,3,5,2]

+- [3]

| |

| +- [1,3]

| | |

| | `- [4,1,3]

| | |

| | `- [2,4,1,3]

| | |

| | `- [5,2,4,1,3]

| |

| `- [5,3]

| |

| `- [2,5,3]

| |

| `- [4,2,5,3]

| |

| `- [1,4,2,5,3]

+- [4]

| |

| +- [1,4]

| | |

| | +- [3,1,4]

| | | |

| | | `- [5,3,1,4]

| | | |

| | | `- [2,5,3,1,4]

| | |

| | `- [5,1,4]

| | |

| | `- [2,5,1,4]

| |

| `- [2,4]

| |

| `- [5,2,4]

| |

| `- [3,5,2,4]

| |

| `- [1,3,5,2,4]

`- [5]

+- [1,5]

| |

| `- [4,1,5]

+- [2,5]

| |

| `- [4,2,5]

| |

| `- [1,4,2,5]

| |

| `- [3,1,4,2,5]

`- [3,5]

`- [1,3,5]

`- [4,1,3,5]

`- [2,4,1,3,5]

(nEstados n) es el número de estados en el problema de las n reinas. Por ejemplo,

     nEstados 4            ==  17
     nEstados 5            ==  54
     map nEstados [0..10]  ==  [1,2,3,6,17,54,153,552,2057,8394,35539]

nEstados 4 == 17

nEstados 5 == 54

map nEstados [0..10] == [1,2,3,6,17,54,153,552,2057,8394,35539]

(soluciones n) es la lista de estados que son soluciones del problema de las n reinas. Por ejemplo,

     λ> soluciones 4
     [[3,1,4,2],[2,4,1,3]]
     λ> soluciones 5
     [[4,2,5,3,1],[3,5,2,4,1],[5,3,1,4,2],[4,1,3,5,2],[5,2,4,1,3],
      [1,4,2,5,3],[2,5,3,1,4],[1,3,5,2,4],[3,1,4,2,5],[2,4,1,3,5]]

λ> soluciones 4

[[3,1,4,2],[2,4,1,3]]

λ> soluciones 5

[[4,2,5,3,1],[3,5,2,4,1],[5,3,1,4,2],[4,1,3,5,2],[5,2,4,1,3],

[1,4,2,5,3],[2,5,3,1,4],[1,3,5,2,4],[3,1,4,2,5],[2,4,1,3,5]]

(nSoluciones n) es el número de soluciones del problema de las n reinas. Por ejemplo,

     nSoluciones 4            ==  2
     nSoluciones 5            ==  10
     map nSoluciones [0..10]  ==  [1,1,0,0,2,10,4,40,92,352,724]

nSoluciones 4 == 2

nSoluciones 5 == 10

map nSoluciones [0..10] == [1,1,0,0,2,10,4,40,92,352,724]

Soluciones

import Data.List ((\\))
import Data.Tree

-- Definición de arbolReinas
-- =========================

arbolReinas :: Int -> Tree [Int]
arbolReinas n = expansion n []
  where
    expansion m xs = Node xs [expansion (m-1) ys | ys <- sucesores n xs]

-- (sucesores n xs) es la lista de los sucesores del estado xs en el
-- problema de las n reinas. Por ejemplo,
--    sucesores 4 []       ==  [[1],[2],[3],[4]]
--    sucesores 4 [1]      ==  [[3,1],[4,1]]
--    sucesores 4 [4,1]    ==  [[2,4,1]]
--    sucesores 4 [2,4,1]  ==  []
sucesores :: Int -> [Int] -> [[Int]]
sucesores n xs = [y:xs | y <- [1..n] \\ xs
                       , noAtaca y xs 1]

-- (noAtaca y xs d) se verifica si la reina en la fila y no ataca a las
-- colocadas en las filas xs donde d es el número de columnas desde la
-- de la posición de x a la primera de xs.
noAtaca :: Int -> [Int] -> Int -> Bool
noAtaca _ [] _ = True
noAtaca y (x:xs) distH = abs(y-x) /= distH &&
                         noAtaca y xs (distH + 1)               

-- Definición de nEstados
-- ======================

nEstados :: Int -> Int
nEstados = length . arbolReinas

-- Definición de solucionesReinas
-- ==============================

--    λ> soluciones 4
--    [[3,1,4,2],[2,4,1,3]]
--    λ> soluciones 5
--    [[4,2,5,3,1],[3,5,2,4,1],[5,3,1,4,2],[4,1,3,5,2],[5,2,4,1,3],
--     [1,4,2,5,3],[2,5,3,1,4],[1,3,5,2,4],[3,1,4,2,5],[2,4,1,3,5]]
soluciones :: Int -> [[Int]]
soluciones n =
  filter (\xs -> length xs == n) (estados n)

-- (estados n) es la lista de estados del problema de las n reinas. Por
-- ejemplo, 
--   λ> estados 4
--   [[],
--    [1],[2],[3],[4],
--    [3,1],[4,1],[4,2],[1,3],[1,4],[2,4],
--    [2,4,1],[1,4,2],[4,1,3],[3,1,4],
--    [3,1,4,2],[2,4,1,3]]
estados :: Int -> [[Int]]
estados = concat . levels . arbolReinas

-- Definición de nSoluciones
-- =========================

nSoluciones :: Int -> Int
nSoluciones = length . soluciones

import Data.List ((\\))

import Data.Tree

-- Definición de arbolReinas

-- =========================

arbolReinas :: Int -> Tree [Int]

arbolReinas n = expansion n []

where

expansion m xs = Node xs [expansion (m-1) ys | ys <- sucesores n xs]

-- (sucesores n xs) es la lista de los sucesores del estado xs en el

-- problema de las n reinas. Por ejemplo,

-- sucesores 4 [] == [[1],[2],[3],[4]]

-- sucesores 4 [1] == [[3,1],[4,1]]

-- sucesores 4 [4,1] == [[2,4,1]]

-- sucesores 4 [2,4,1] == []

sucesores :: Int -> [Int] -> [[Int]]

sucesores n xs = [y:xs | y <- [1..n] \\ xs

, noAtaca y xs 1]

-- (noAtaca y xs d) se verifica si la reina en la fila y no ataca a las

-- colocadas en las filas xs donde d es el número de columnas desde la

-- de la posición de x a la primera de xs.

noAtaca :: Int -> [Int] -> Int -> Bool

noAtaca _ [] _ = True

noAtaca y (x:xs) distH = abs(y-x) /= distH &&

noAtaca y xs (distH + 1)

-- Definición de nEstados

-- ======================

nEstados :: Int -> Int

nEstados = length . arbolReinas

-- Definición de solucionesReinas

-- ==============================

-- λ> soluciones 4

-- [[3,1,4,2],[2,4,1,3]]

-- λ> soluciones 5

-- [[4,2,5,3,1],[3,5,2,4,1],[5,3,1,4,2],[4,1,3,5,2],[5,2,4,1,3],

-- [1,4,2,5,3],[2,5,3,1,4],[1,3,5,2,4],[3,1,4,2,5],[2,4,1,3,5]]

soluciones :: Int -> [[Int]]

soluciones n =

filter (\xs -> length xs == n) (estados n)

-- (estados n) es la lista de estados del problema de las n reinas. Por

-- ejemplo,

-- λ> estados 4

-- [[],

-- [1],[2],[3],[4],

-- [3,1],[4,1],[4,2],[1,3],[1,4],[2,4],

-- [2,4,1],[1,4,2],[4,1,3],[3,1,4],

-- [3,1,4,2],[2,4,1,3]]

estados :: Int -> [[Int]]

estados = concat . levels . arbolReinas

-- Definición de nSoluciones

-- =========================

nSoluciones :: Int -> Int

nSoluciones = length . soluciones

Matriz de mínimas distancias

PorJosé A. Alonso 22-abril-202029-abril-2020

Definir las funciones

   minimasDistancias             :: Matrix Int -> Matrix Int
   sumaMinimaDistanciasIdentidad :: Int -> Int

1 2	minimasDistancias :: Matrix Int -> Matrix Int sumaMinimaDistanciasIdentidad :: Int -> Int

tales que

(mininasDistancias a) es la matriz de las mínimas distancias de cada elemento de a hasta alcanzar un 1 donde un paso es un movimiento hacia la izquierda, derecha, arriba o abajo. Por ejemplo,

     λ> minimasDistancias (fromLists [[0,1,1],[0,0,1]])
     ( 1 0 0 )
     ( 2 1 0 )
     λ> minimasDistancias (fromLists [[0,0,1],[1,0,0]])
     ( 1 1 0 )
     ( 0 1 1 )
     λ> minimasDistancias (identity 5)
     ( 0 1 2 3 4 )
     ( 1 0 1 2 3 )
     ( 2 1 0 1 2 )
     ( 3 2 1 0 1 )
     ( 4 3 2 1 0 )

λ> minimasDistancias (fromLists [[0,1,1],[0,0,1]])

( 1 0 0 )

( 2 1 0 )

λ> minimasDistancias (fromLists [[0,0,1],[1,0,0]])

( 1 1 0 )

( 0 1 1 )

λ> minimasDistancias (identity 5)

( 0 1 2 3 4 )

( 1 0 1 2 3 )

( 2 1 0 1 2 )

( 3 2 1 0 1 )

( 4 3 2 1 0 )

(sumaMinimaDistanciasIdentidad n) es la suma de los elementos de la matriz de las mínimas distancias correspondiente a la matriz identidad de orden n. Por ejemplo,

     sumaMinimaDistanciasIdentidad 5       ==  40
     sumaMinimaDistanciasIdentidad (10^2)  ==  333300
     sumaMinimaDistanciasIdentidad (10^4)  ==  333333330000
     sumaMinimaDistanciasIdentidad (10^6)  ==  333333333333000000

sumaMinimaDistanciasIdentidad 5 == 40

sumaMinimaDistanciasIdentidad (10^2) == 333300

sumaMinimaDistanciasIdentidad (10^4) == 333333330000

sumaMinimaDistanciasIdentidad (10^6) == 333333333333000000

Soluciones

import Data.Matrix     
import Data.Maybe      
import Test.QuickCheck 

-- 1ª definición de minimasDistancias
-- ==================================

minimasDistancias :: Matrix Int -> Matrix Int
minimasDistancias a = 
  matrix (nrows a) (ncols a) (\(i,j) -> minimaDistancia (i,j) a) 
 
minimaDistancia :: (Int,Int) -> Matrix Int -> Int
minimaDistancia (a,b) p =
  minimum [distancia (a,b) (c,d) | (c,d) <- unos p]
 
unos :: Matrix Int -> [(Int,Int)]
unos p = [(i,j) | i <- [1..nrows p]
                , j <- [1..ncols p]
                , p ! (i,j) == 1]
 
distancia :: (Int,Int) -> (Int,Int) -> Int
distancia (a,b) (c,d) = abs (c - a) + abs (d - b)

-- 2ª definición de minimasDistancias
-- ==================================

minimasDistancias2 :: Matrix Int -> Matrix Int
minimasDistancias2 a = fmap fromJust (aux (matrizInicial a))
  where aux b | Nothing `elem` c = aux c
              | otherwise        = c
          where c = propagacion b

-- (matrizInicial a) es la matriz que tiene (Just 0) en los elementos de
-- a iguales a 1 y Nothing en los restantes. Por ejemplo,
--    λ> matrizInicial (fromLists [[0,0,1],[1,0,0]])
--    ( Nothing Nothing  Just 0 )
--    (  Just 0 Nothing Nothing )
matrizInicial :: Matrix Int -> Matrix (Maybe Int)
matrizInicial a = matrix m n f
  where m = nrows a
        n = ncols a
        f (i,j) | a ! (i,j) == 1 = Just 0
                | otherwise      = Nothing

-- (propagacion a) es la matriz obtenida cambiando los elementos Nothing
-- de a por el siguiente del mínimo de los valores de sus vecinos. Por
-- ejemplo,
--    λ> propagacion (fromLists [[0,1,1],[0,0,1]])
--    (  Just 1  Just 0  Just 0 )
--    ( Nothing  Just 1  Just 0 )
--    
--    λ> propagacion it
--    ( Just 1 Just 0 Just 0 )
--    ( Just 2 Just 1 Just 0 )
propagacion :: Matrix (Maybe Int) -> Matrix (Maybe Int)
propagacion a = matrix m n f
  where
    m = nrows a
    n = ncols a
    f (i,j) | isJust x  = x
            | otherwise = siguiente (minimo (valoresVecinos a (i,j)))
      where x = a ! (i,j)

-- (valoresVecinos a p) es la lista de los valores de los vecinos la
-- posición p en la matriz a. Por ejemplo,             
--    λ> a = fromList 3 4 [1..]
--    λ> a
--    (  1  2  3  4 )
--    (  5  6  7  8 )
--    (  9 10 11 12 )
--    
--    λ> valoresVecinos a (1,1)
--    [5,2]
--    λ> valoresVecinos a (2,3)
--    [3,11,6,8]
--    λ> valoresVecinos a (2,4)
--    [4,12,7]
valoresVecinos :: Matrix a -> (Int,Int) -> [a]
valoresVecinos a (i,j) = [a ! (k,l) | (k,l) <- vecinos m n (i,j)]
  where m = nrows a
        n = ncols a

-- (vecinos m n p) es la lista de las posiciones vecinas de la posición
-- p en la matriz a; es decir, los que se encuentran a su izquierda,
-- derecha, arriba o abajo. por ejemplo,
--    vecinos 3 4 (1,1)  ==  [(2,1),(1,2)]
--    vecinos 3 4 (2,3)  ==  [(1,3),(3,3),(2,2),(2,4)]
--    vecinos 3 4 (2,4)  ==  [(1,4),(3,4),(2,3)]
vecinos :: Int -> Int -> (Int,Int) -> [(Int,Int)]
vecinos m n (i,j) = [(i - 1,j)     | i > 1] ++
                    [(i + 1,j)     | i < m] ++
                    [(i,    j - 1) | j > 1] ++
                    [(i,    j + 1) | j < n]

-- (minimo xs) es el mínimo de la lista de valores opcionales xs
-- (considerando Nothing como el mayor elemento). Por ejemplo,
--    minimo [Just 3, Nothing, Just 2]  ==  Just 2
minimo :: [Maybe Int] -> Maybe Int
minimo = foldr1 minimo2

-- (minimo2 x y) es el mínimo de los valores opcionales x e y
-- (considerando Nothing como el mayor elemento). Por ejemplo,
--    minimo2 (Just 3) (Just 2)  ==  Just 2
--    minimo2 (Just 1) (Just 2)  ==  Just 1
--    minimo2 (Just 1) Nothing   ==  Just 1
--    minimo2 Nothing (Just 2)   ==  Just 2
--    minimo2 Nothing Nothing    ==  Nothing
minimo2 :: Maybe Int -> Maybe Int -> Maybe Int
minimo2 (Just x) (Just y) = Just (min x y)
minimo2 Nothing  (Just y) = Just y
minimo2 (Just x) Nothing  = Just x
minimo2 Nothing  Nothing  = Nothing

-- (siguiente x) es el siguiente elemento del opcional x (considerando
-- Nothing como el infinito). Por ejemplo, 
--    siguiente (Just 3)  ==  Just 4
--    siguiente Nothing  ==  Nothing
siguiente :: Maybe Int -> Maybe Int
siguiente (Just x) = Just (1 + x)
siguiente Nothing  = Nothing

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> maximum (minimasDistancias (identity 40))
--    39
--    (3.85 secs, 654,473,496 bytes)
--    λ> maximum (minimasDistancias2 (identity 40))
--    39
--    (0.50 secs, 75,079,912 bytes)

-- 1ª definición de sumaMinimaDistanciasIdentidad
-- ==============================================

sumaMinimaDistanciasIdentidad :: Int -> Int
sumaMinimaDistanciasIdentidad n =
  sum (minimasDistancias (identity n))

-- 2ª definición de sumaMinimaDistanciasIdentidad
-- ==============================================

sumaMinimaDistanciasIdentidad2 :: Int -> Int
sumaMinimaDistanciasIdentidad2 n =
  n*(n^2-1) `div` 3

-- Equivalencia de las definiciones de sumaMinimaDistanciasIdentidad
-- =================================================================

-- La propiedad es
prop_MinimaDistanciasIdentidad :: Positive Int -> Bool
prop_MinimaDistanciasIdentidad (Positive n) =
  sumaMinimaDistanciasIdentidad n == sumaMinimaDistanciasIdentidad2 n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=50}) prop_MinimaDistanciasIdentidad
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia de sumaMinimaDistanciasIdentidad
-- ==========================================================

-- La comparación es
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad 50
--    41650
--    (0.24 secs, 149,395,744 bytes)
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad 100
--    333300
--    (1.98 secs, 1,294,676,272 bytes)
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad 200
--    2666600
--    (17.96 secs, 11,094,515,016 bytes)
--    
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad2 50
--    41650
--    (0.00 secs, 126,944 bytes)
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad2 100
--    333300
--    (0.00 secs, 126,872 bytes)
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad2 200
--    2666600
--    (0.00 secs, 131,240 bytes)
--
-- Resumidamente, el tiempo es
--
--    +-----+---------+--------+
--    |   n | 1ª def. | 2ª def |
--    +-----+---------+--------+
--    |  50 |  0.24   | 0.00   |
--    | 100 |  1.98   | 0.00   |
--    | 200 | 17.96   | 0.00   | 
--    +-----+---------+--------+

100

101

102

103

104

105

106

107

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109

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180

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184

185

186

187

188

189

190

191

import Data.Matrix

import Data.Maybe

import Test.QuickCheck

-- 1ª definición de minimasDistancias

-- ==================================

minimasDistancias :: Matrix Int -> Matrix Int

minimasDistancias a =

matrix (nrows a) (ncols a) (\(i,j) -> minimaDistancia (i,j) a)

minimaDistancia :: (Int,Int) -> Matrix Int -> Int

minimaDistancia (a,b) p =

minimum [distancia (a,b) (c,d) | (c,d) <- unos p]

unos :: Matrix Int -> [(Int,Int)]

unos p = [(i,j) | i <- [1..nrows p]

, j <- [1..ncols p]

, p ! (i,j) == 1]

distancia :: (Int,Int) -> (Int,Int) -> Int

distancia (a,b) (c,d) = abs (c - a) + abs (d - b)

-- 2ª definición de minimasDistancias

-- ==================================

minimasDistancias2 :: Matrix Int -> Matrix Int

minimasDistancias2 a = fmap fromJust (aux (matrizInicial a))

where aux b | Nothing `elem` c = aux c

| otherwise = c

where c = propagacion b

-- (matrizInicial a) es la matriz que tiene (Just 0) en los elementos de

-- a iguales a 1 y Nothing en los restantes. Por ejemplo,

-- λ> matrizInicial (fromLists [[0,0,1],[1,0,0]])

-- ( Nothing Nothing Just 0 )

-- ( Just 0 Nothing Nothing )

matrizInicial :: Matrix Int -> Matrix (Maybe Int)

matrizInicial a = matrix m n f

where m = nrows a

n = ncols a

f (i,j) | a ! (i,j) == 1 = Just 0

| otherwise = Nothing

-- (propagacion a) es la matriz obtenida cambiando los elementos Nothing

-- de a por el siguiente del mínimo de los valores de sus vecinos. Por

-- ejemplo,

-- λ> propagacion (fromLists [[0,1,1],[0,0,1]])

-- ( Just 1 Just 0 Just 0 )

-- ( Nothing Just 1 Just 0 )

-- λ> propagacion it

-- ( Just 1 Just 0 Just 0 )

-- ( Just 2 Just 1 Just 0 )

propagacion :: Matrix (Maybe Int) -> Matrix (Maybe Int)

propagacion a = matrix m n f

where

m = nrows a

n = ncols a

f (i,j) | isJust x = x

| otherwise = siguiente (minimo (valoresVecinos a (i,j)))

where x = a ! (i,j)

-- (valoresVecinos a p) es la lista de los valores de los vecinos la

-- posición p en la matriz a. Por ejemplo,

-- λ> a = fromList 3 4 [1..]

-- λ> a

-- ( 1 2 3 4 )

-- ( 5 6 7 8 )

-- ( 9 10 11 12 )

-- λ> valoresVecinos a (1,1)

-- [5,2]

-- λ> valoresVecinos a (2,3)

-- [3,11,6,8]

-- λ> valoresVecinos a (2,4)

-- [4,12,7]

valoresVecinos :: Matrix a -> (Int,Int) -> [a]

valoresVecinos a (i,j) = [a ! (k,l) | (k,l) <- vecinos m n (i,j)]

where m = nrows a

n = ncols a

-- (vecinos m n p) es la lista de las posiciones vecinas de la posición

-- p en la matriz a; es decir, los que se encuentran a su izquierda,

-- derecha, arriba o abajo. por ejemplo,

-- vecinos 3 4 (1,1) == [(2,1),(1,2)]

-- vecinos 3 4 (2,3) == [(1,3),(3,3),(2,2),(2,4)]

-- vecinos 3 4 (2,4) == [(1,4),(3,4),(2,3)]

vecinos :: Int -> Int -> (Int,Int) -> [(Int,Int)]

vecinos m n (i,j) = [(i - 1,j) | i > 1] ++

[(i + 1,j) | i < m] ++

[(i, j - 1) | j > 1] ++

[(i, j + 1) | j < n]

-- (minimo xs) es el mínimo de la lista de valores opcionales xs

-- (considerando Nothing como el mayor elemento). Por ejemplo,

-- minimo [Just 3, Nothing, Just 2] == Just 2

minimo :: [Maybe Int] -> Maybe Int

minimo = foldr1 minimo2

-- (minimo2 x y) es el mínimo de los valores opcionales x e y

-- (considerando Nothing como el mayor elemento). Por ejemplo,

-- minimo2 (Just 3) (Just 2) == Just 2

-- minimo2 (Just 1) (Just 2) == Just 1

-- minimo2 (Just 1) Nothing == Just 1

-- minimo2 Nothing (Just 2) == Just 2

-- minimo2 Nothing Nothing == Nothing

minimo2 :: Maybe Int -> Maybe Int -> Maybe Int

minimo2 (Just x) (Just y) = Just (min x y)

minimo2 Nothing (Just y) = Just y

minimo2 (Just x) Nothing = Just x

minimo2 Nothing Nothing = Nothing

-- (siguiente x) es el siguiente elemento del opcional x (considerando

-- Nothing como el infinito). Por ejemplo,

-- siguiente (Just 3) == Just 4

-- siguiente Nothing == Nothing

siguiente :: Maybe Int -> Maybe Int

siguiente (Just x) = Just (1 + x)

siguiente Nothing = Nothing

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> maximum (minimasDistancias (identity 40))

-- 39

-- (3.85 secs, 654,473,496 bytes)

-- λ> maximum (minimasDistancias2 (identity 40))

-- 39

-- (0.50 secs, 75,079,912 bytes)

-- 1ª definición de sumaMinimaDistanciasIdentidad

-- ==============================================

sumaMinimaDistanciasIdentidad :: Int -> Int

sumaMinimaDistanciasIdentidad n =

sum (minimasDistancias (identity n))

-- 2ª definición de sumaMinimaDistanciasIdentidad

-- ==============================================

sumaMinimaDistanciasIdentidad2 :: Int -> Int

sumaMinimaDistanciasIdentidad2 n =

n*(n^2-1) `div` 3

-- Equivalencia de las definiciones de sumaMinimaDistanciasIdentidad

-- =================================================================

-- La propiedad es

prop_MinimaDistanciasIdentidad :: Positive Int -> Bool

prop_MinimaDistanciasIdentidad (Positive n) =

sumaMinimaDistanciasIdentidad n == sumaMinimaDistanciasIdentidad2 n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=50}) prop_MinimaDistanciasIdentidad

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia de sumaMinimaDistanciasIdentidad

-- ==========================================================

-- La comparación es

-- λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad 50

-- 41650

-- (0.24 secs, 149,395,744 bytes)

-- λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad 100

-- 333300

-- (1.98 secs, 1,294,676,272 bytes)

-- λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad 200

-- 2666600

-- (17.96 secs, 11,094,515,016 bytes)

-- λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad2 50

-- 41650

-- (0.00 secs, 126,944 bytes)

-- λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad2 100

-- 333300

-- (0.00 secs, 126,872 bytes)

-- λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad2 200

-- 2666600

-- (0.00 secs, 131,240 bytes)

-- Resumidamente, el tiempo es

-- +-----+---------+--------+

-- | n | 1ª def. | 2ª def |

-- +-----+---------+--------+

-- | 50 | 0.24 | 0.00 |

-- | 100 | 1.98 | 0.00 |

-- | 200 | 17.96 | 0.00 |

-- +-----+---------+--------+

Otras soluciones

Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Cálculo de pi con el producto de Wallis

PorJosé A. Alonso 6-abril-202013-abril-2020

El producto de Wallis es una expresión, descubierta por John Wallis en 1655, para representar el valor de π y que establece que:

    π     2     2     4     4     6     6     8     8
   --- = --- · --- · --- · --- · --- · --- · --- · --- ···
    2     1     3     3     5     5     7     7     9

π 2 2 4 4 6 6 8 8

--- = --- · --- · --- · --- · --- · --- · --- · --- ···

2 1 3 3 5 5 7 7 9

Definir las funciones

   factoresWallis  :: [Rational]
   productosWallis :: [Rational]
   aproximacionPi  :: Int -> Double
   errorPi         :: Double -> Int

factoresWallis :: [Rational]

productosWallis :: [Rational]

aproximacionPi :: Int -> Double

errorPi :: Double -> Int

tales que

factoresWallis es la sucesión de los factores del productos de Wallis. Por ejemplo,

     λ> take 10 factoresWallis
     [2 % 1,2 % 3,4 % 3,4 % 5,6 % 5,6 % 7,8 % 7,8 % 9,10 % 9,10 % 11]

1 2	λ> take 10 factoresWallis [2 % 1,2 % 3,4 % 3,4 % 5,6 % 5,6 % 7,8 % 7,8 % 9,10 % 9,10 % 11]

productosWallis es la sucesión de los productos de los primeros factores de Wallis. Por ejemplo,

     λ> take 7 productosWallis
     [2 % 1,4 % 3,16 % 9,64 % 45,128 % 75,256 % 175,2048 % 1225]

1 2	λ> take 7 productosWallis [2 % 1,4 % 3,16 % 9,64 % 45,128 % 75,256 % 175,2048 % 1225]

(aproximacionPi n) es la aproximación de pi obtenida multiplicando los n primeros factores de Wallis. Por ejemplo,

     aproximacionPi 20     ==  3.2137849402931895
     aproximacionPi 200    ==  3.1493784731686008
     aproximacionPi 2000   ==  3.142377365093878
     aproximacionPi 20000  ==  3.141671186534396

aproximacionPi 20 == 3.2137849402931895

aproximacionPi 200 == 3.1493784731686008

aproximacionPi 2000 == 3.142377365093878

aproximacionPi 20000 == 3.141671186534396

(errorPi x) es el menor número de factores de Wallis necesarios para obtener pi con un error menor que x. Por ejemplo,

     errorPi 0.1     ==  14
     errorPi 0.01    ==  155
     errorPi 0.001   ==  1569
     errorPi 0.0001  ==  15707

errorPi 0.1 == 14

errorPi 0.01 == 155

errorPi 0.001 == 1569

errorPi 0.0001 == 15707

Soluciones

import Data.Ratio

factoresWallis :: [Rational]
factoresWallis =
  concat [[y%(y-1),  y%(y+1)] | x <- [1..], let y = 2*x]

productosWallis :: [Rational]
productosWallis = scanl1 (*) factoresWallis

aproximacionPi :: Int -> Double
aproximacionPi n =
  fromRational (2 * productosWallis !! n)

errorPi :: Double -> Int
errorPi x = head [n | n <- [1..]
                    , abs (pi - aproximacionPi n) < x]

-- 2ª definición de errorPi
errorPi2 :: Double -> Int
errorPi2 x =
  length (takeWhile (>=x) [abs (pi - 2 * fromRational y)
                          | y <- productosWallis])

-- 2ª definición de aproximacionPi
aproximacionPi2 :: Int -> Double
aproximacionPi2 n =
  2 * productosWallis2 !! n

productosWallis2 :: [Double]
productosWallis2 = scanl1 (*) factoresWallis2

factoresWallis2 :: [Double]
factoresWallis2 =
  concat [[y/(y-1),  y/(y+1)] | x <- [1..], let y = 2*x]

-- 3ª definición de errorPi
errorPi3 :: Double -> Int
errorPi3 x = head [n | n <- [1..]
                     , abs (pi - aproximacionPi2 n) < x]

-- Comparación de eficiencia
--    λ> errorPi 0.001
--    1569
--    (0.82 secs, 374,495,816 bytes)
--
--    λ> errorPi2 0.001
--    1569
--    (0.79 secs, 369,282,320 bytes)
--
--    λ> errorPi3 0.001
--    1569
--    (0.04 secs, 0 bytes)

import Data.Ratio

factoresWallis :: [Rational]

factoresWallis =

concat [[y%(y-1), y%(y+1)] | x <- [1..], let y = 2*x]

productosWallis :: [Rational]

productosWallis = scanl1 (*) factoresWallis

aproximacionPi :: Int -> Double

aproximacionPi n =

fromRational (2 * productosWallis !! n)

errorPi :: Double -> Int

errorPi x = head [n | n <- [1..]

, abs (pi - aproximacionPi n) < x]

-- 2ª definición de errorPi

errorPi2 :: Double -> Int

errorPi2 x =

length (takeWhile (>=x) [abs (pi - 2 * fromRational y)

| y <- productosWallis])

-- 2ª definición de aproximacionPi

aproximacionPi2 :: Int -> Double

aproximacionPi2 n =

2 * productosWallis2 !! n

productosWallis2 :: [Double]

productosWallis2 = scanl1 (*) factoresWallis2

factoresWallis2 :: [Double]

factoresWallis2 =

concat [[y/(y-1), y/(y+1)] | x <- [1..], let y = 2*x]

-- 3ª definición de errorPi

errorPi3 :: Double -> Int

errorPi3 x = head [n | n <- [1..]

, abs (pi - aproximacionPi2 n) < x]

-- Comparación de eficiencia

-- λ> errorPi 0.001

-- 1569

-- (0.82 secs, 374,495,816 bytes)

-- λ> errorPi2 0.001

-- 1569

-- (0.79 secs, 369,282,320 bytes)

-- λ> errorPi3 0.001

-- 1569

-- (0.04 secs, 0 bytes)

Otras soluciones

Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Pensamiento

«¿Por qué son hermosos los números? Es como preguntar por qué es bella la Novena Sinfonía de Beethoven. Si no ves por qué, alguien no puede decírtelo. Yo sé que los números son hermosos. Si no son hermosos, nada lo es.»

Paul Erdös.

La conjetura de Levy

PorJosé A. Alonso 31-marzo-20208-abril-2020

Hyman Levy observó que

    7 = 3 + 2 x 2
    9 = 3 + 2 x 3 =  5 + 2 x 2
   11 = 5 + 2 x 3 =  7 + 2 x 2
   13 = 3 + 2 x 5 =  7 + 2 x 3
   15 = 3 + 2 x 5 = 11 + 2 x 2
   17 = 3 + 2 x 7 =  7 + 2 x 5 = 11 + 2 x 3 = 13 + 2 x 2
   19 = 5 + 2 x 7 = 13 + 2 x 3

7 = 3 + 2 x 2

9 = 3 + 2 x 3 = 5 + 2 x 2

11 = 5 + 2 x 3 = 7 + 2 x 2

13 = 3 + 2 x 5 = 7 + 2 x 3

15 = 3 + 2 x 5 = 11 + 2 x 2

17 = 3 + 2 x 7 = 7 + 2 x 5 = 11 + 2 x 3 = 13 + 2 x 2

19 = 5 + 2 x 7 = 13 + 2 x 3

y conjeturó que todos los número impares mayores o iguales que 7 se pueden escribir como la suma de un primo y el doble de un primo. El objetivo de los siguientes ejercicios es comprobar la conjetura de Levy.

Definir las siguientes funciones

   descomposicionesLevy :: Integer -> [(Integer,Integer)]
   graficaLevy          :: Integer -> IO ()

1 2	descomposicionesLevy :: Integer -> [(Integer,Integer)] graficaLevy :: Integer -> IO ()

tales que

(descomposicionesLevy x) es la lista de pares de primos (p,q) tales que x = p + 2q. Por ejemplo,

     descomposicionesLevy  7  ==  [(3,2)]
     descomposicionesLevy  9  ==  [(3,3),(5,2)]
     descomposicionesLevy 17  ==  [(3,7),(7,5),(11,3),(13,2)]

descomposicionesLevy 7 == [(3,2)]

descomposicionesLevy 9 == [(3,3),(5,2)]

descomposicionesLevy 17 == [(3,7),(7,5),(11,3),(13,2)]

(graficaLevy n) dibuja los puntos (x,y) tales que x pertenece a [7,9..7+2x(n-1)] e y es el número de descomposiciones de Levy de x. Por ejemplo, (graficaLevy 200) dibuja

Comprobar con QuickCheck la conjetura de Levy.

Soluciones

import Data.Numbers.Primes
import Test.QuickCheck
import Graphics.Gnuplot.Simple

descomposicionesLevy :: Integer -> [(Integer,Integer)]
descomposicionesLevy x =
  [(p,q) | p <- takeWhile (< x) (tail primes)
         , let q = (x - p) `div` 2
         , isPrime q]

graficaLevy :: Integer -> IO ()
graficaLevy n =
  plotList [ Key Nothing
           , XRange (7,fromIntegral (7+2*(n-1)))
           , PNG ("La_conjetura_de_Levy-" ++ show n ++ ".png")
           ]
           [(x, length (descomposicionesLevy x)) | x <- [7,9..7+2*(n-1)]] 

-- La propiedad es
prop_Levy :: Integer -> Bool
prop_Levy x =
  not (null (descomposicionesLevy (7 + 2 * abs x)))

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_Levy
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Data.Numbers.Primes

import Test.QuickCheck

import Graphics.Gnuplot.Simple

descomposicionesLevy :: Integer -> [(Integer,Integer)]

descomposicionesLevy x =

[(p,q) | p <- takeWhile (< x) (tail primes)

, let q = (x - p) `div` 2

, isPrime q]

graficaLevy :: Integer -> IO ()

graficaLevy n =

plotList [ Key Nothing

, XRange (7,fromIntegral (7+2*(n-1)))

, PNG ("La_conjetura_de_Levy-" ++ show n ++ ".png")

]

[(x, length (descomposicionesLevy x)) | x <- [7,9..7+2*(n-1)]]

-- La propiedad es

prop_Levy :: Integer -> Bool

prop_Levy x =

not (null (descomposicionesLevy (7 + 2 * abs x)))

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_Levy

-- +++ OK, passed 100 tests.

Otras soluciones

Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
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Pensamiento

«Dios creó el número natural, y todo el resto es obra del hombre.»

Leopold Kronecker

La conjetura de Gilbreath

PorJosé A. Alonso 30-marzo-20206-abril-2020

Partiendo de los 5 primeros números primos y calculando el valor absoluto de la diferencia de cada dos números consecutivos hasta quedarse con un único número se obtiene la siguiente tabla:

   2, 3, 5, 7, 11
   1, 2, 2, 4 
   1, 0, 2
   1, 2 
   1

2, 3, 5, 7, 11

1, 2, 2, 4

1, 0, 2

1, 2

Se observa que todas las filas, salvo la inicial, comienzan con el número 1.

Repitiendo el proceso pero empezando con los 8 primeros números primos se obtiene la siguiente tabla:

   2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 
   1, 2, 2, 4,  2,  4,  2  
   1, 0, 2, 2,  2,  2 
   1, 2, 0, 0,  0 
   1, 2, 0, 0 
   1, 2, 0 
   1, 2 
   1

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2

1, 0, 2, 2, 2, 2

1, 2, 0, 0, 0

1, 2, 0, 0

1, 2, 0

1, 2

Se observa que, de nuevo, todas las filas, salvo la inicial, comienza con el número 1.

La conjetura de Gilbreath afirma que si escribimos la sucesión de números primos completa y después construimos las correspondientes sucesiones formadas por el valor absoluto de la resta de cada pareja de números consecutivos, entonces todas esas filas que obtenemos comienzan siempre por 1.

El objetivo de este ejercicio es comprobar experimentalmente dicha conjetura.

Para la representación, usaremos la simétrica de la que hemos comentado anteriormente; es decir,

    2
    3, 1
    5, 2, 1
    7, 2, 0, 1
   11, 4, 2, 2, 1
   13, 2, 2, 0, 2, 1
   17, 4, 2, 0, 0, 2, 1
   19, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 1

3, 1

5, 2, 1

7, 2, 0, 1

11, 4, 2, 2, 1

13, 2, 2, 0, 2, 1

17, 4, 2, 0, 0, 2, 1

19, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 1

en la que la primera columna son los números primos y el elemento de la fila i y columna j (con i, j > 1) es el valor absoluto de la diferencia de los elementos (i,j-1) e (i-1,j-1).

Definir las siguientes funciones

   siguiente           :: Integer -> [Integer] -> [Integer]
   triangulo           :: [[Integer]]
   conjeturaGilbreath  :: Int -> Bool

siguiente :: Integer -> [Integer] -> [Integer]

triangulo :: [[Integer]]

conjeturaGilbreath :: Int -> Bool

tales que

(siguiente x ys) es la línea siguiente de la ys que empieza por x en la tabla de Gilbreath; es decir, si ys es [y1,y2,…,yn], entonces (siguiente x ys) es [x,|y1-x|,|y2-|y1-x||,…]. Por ejemplo,

     siguiente  7 [5,2,1]               ==  [7,2,0,1]
     siguiente 29 [23,4,2,0,0,0,0,2,1]  ==  [29,6,2,0,0,0,0,0,2,1]

1 2	siguiente 7 [5,2,1] == [7,2,0,1] siguiente 29 [23,4,2,0,0,0,0,2,1] == [29,6,2,0,0,0,0,0,2,1]

triangulo es el triángulo de Gilbreath. Por ejemplo,

     λ> take 10 triangulo
     [[ 2],
      [ 3,1],
      [ 5,2,1],
      [ 7,2,0,1],
      [11,4,2,2,1],
      [13,2,2,0,2,1],
      [17,4,2,0,0,2,1],
      [19,2,2,0,0,0,2,1],
      [23,4,2,0,0,0,0,2,1],
      [29,6,2,0,0,0,0,0,2,1]]

λ> take 10 triangulo

[[ 2],

[ 3,1],

[ 5,2,1],

[ 7,2,0,1],

[11,4,2,2,1],

[13,2,2,0,2,1],

[17,4,2,0,0,2,1],

[19,2,2,0,0,0,2,1],

[23,4,2,0,0,0,0,2,1],

[29,6,2,0,0,0,0,0,2,1]]

(conjeturaGilbreath n) se verifica si se cumple la conjetura de Gilbreath para los n primeros números primos; es decir, en el triángulo de Gilbreath cuya primera columna son los n primeros números primos, todas las filas a partir de la segunda terminan en 1. Por ejemplo,

     λ> conjeturaGilbreath 1000
     True

1 2	λ> conjeturaGilbreath 1000 True

Soluciones

import Data.Numbers.Primes

siguiente :: Integer -> [Integer] -> [Integer]
siguiente x ys = scanl (\m n -> abs (m-n)) x ys 

triangulo :: [[Integer]]
triangulo = 
  [2] : [siguiente x ys | (x,ys) <- zip (tail primes) triangulo]

conjeturaGilbreath :: Int -> Bool
conjeturaGilbreath n = all p (tail (take n triangulo))
  where p xs = last xs == 1

import Data.Numbers.Primes

siguiente :: Integer -> [Integer] -> [Integer]

siguiente x ys = scanl (\m n -> abs (m-n)) x ys

triangulo :: [[Integer]]

triangulo =

[2] : [siguiente x ys | (x,ys) <- zip (tail primes) triangulo]

conjeturaGilbreath :: Int -> Bool

conjeturaGilbreath n = all p (tail (take n triangulo))

where p xs = last xs == 1

Otras soluciones

Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Pensamiento

«La simplicidad es la última sofisticación.»

Leonardo da Vinci.

Cálculo de pi mediante la serie de Nilakantha

PorJosé A. Alonso 12-marzo-202025-marzo-2022

Una serie infinita para el cálculo de pi, publicada por Nilakantha en el siglo XV, es

Definir las funciones

   aproximacionPi :: Int -> Double
   tabla          :: FilePath -> [Int] -> IO ()

1 2	aproximacionPi :: Int -> Double tabla :: FilePath -> [Int] -> IO ()

tales que

(aproximacionPi n) es la n-ésima aproximación de pi obtenido sumando los n primeros términos de la serie de Nilakantha. Por ejemplo,

     aproximacionPi 0        ==  3.0
     aproximacionPi 1        ==  3.1666666666666665
     aproximacionPi 2        ==  3.1333333333333333
     aproximacionPi 3        ==  3.145238095238095
     aproximacionPi 4        ==  3.1396825396825396
     aproximacionPi 5        ==  3.1427128427128426
     aproximacionPi 10       ==  3.1414067184965018
     aproximacionPi 100      ==  3.1415924109719824
     aproximacionPi 1000     ==  3.141592653340544
     aproximacionPi 10000    ==  3.141592653589538
     aproximacionPi 100000   ==  3.1415926535897865
     aproximacionPi 1000000  ==  3.141592653589787
     pi                      ==  3.141592653589793

aproximacionPi 0 == 3.0

aproximacionPi 1 == 3.1666666666666665

aproximacionPi 2 == 3.1333333333333333

aproximacionPi 3 == 3.145238095238095

aproximacionPi 4 == 3.1396825396825396

aproximacionPi 5 == 3.1427128427128426

aproximacionPi 10 == 3.1414067184965018

aproximacionPi 100 == 3.1415924109719824

aproximacionPi 1000 == 3.141592653340544

aproximacionPi 10000 == 3.141592653589538

aproximacionPi 100000 == 3.1415926535897865

aproximacionPi 1000000 == 3.141592653589787

pi == 3.141592653589793

(tabla f ns) escribe en el fichero f las n-ésimas aproximaciones de pi, donde n toma los valores de la lista ns, junto con sus errores. Por ejemplo, al evaluar la expresión

     tabla "AproximacionesPi.txt" [0,10..100]

1	tabla "AproximacionesPi.txt" [0,10..100]

hace que el contenido del fichero «AproximacionesPi.txt» sea

+------+----------------+----------------+
| n    | Aproximación   | Error          |
+------+----------------+----------------+
|    0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |
|   10 | 3.141406718497 | 0.000185935093 |
|   20 | 3.141565734659 | 0.000026918931 |
|   30 | 3.141584272675 | 0.000008380915 |
|   40 | 3.141589028941 | 0.000003624649 |
|   50 | 3.141590769850 | 0.000001883740 |
|   60 | 3.141591552546 | 0.000001101044 |
|   70 | 3.141591955265 | 0.000000698325 |
|   80 | 3.141592183260 | 0.000000470330 |
|   90 | 3.141592321886 | 0.000000331704 |
|  100 | 3.141592410972 | 0.000000242618 |
+------+----------------+----------------+

+------+----------------+----------------+

| n | Aproximación | Error |

+------+----------------+----------------+

| 0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |

| 10 | 3.141406718497 | 0.000185935093 |

| 20 | 3.141565734659 | 0.000026918931 |

| 30 | 3.141584272675 | 0.000008380915 |

| 40 | 3.141589028941 | 0.000003624649 |

| 50 | 3.141590769850 | 0.000001883740 |

| 60 | 3.141591552546 | 0.000001101044 |

| 70 | 3.141591955265 | 0.000000698325 |

| 80 | 3.141592183260 | 0.000000470330 |

| 90 | 3.141592321886 | 0.000000331704 |

| 100 | 3.141592410972 | 0.000000242618 |

+------+----------------+----------------+

al evaluar la expresión

     tabla "AproximacionesPi.txt" [0,500..5000]

1	tabla "AproximacionesPi.txt" [0,500..5000]

hace que el contenido del fichero «AproximacionesPi.txt» sea

+------+----------------+----------------+
| n    | Aproximación   | Error          |
+------+----------------+----------------+
|    0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |
|  500 | 3.141592651602 | 0.000000001988 |
| 1000 | 3.141592653341 | 0.000000000249 |
| 1500 | 3.141592653516 | 0.000000000074 |
| 2000 | 3.141592653559 | 0.000000000031 |
| 2500 | 3.141592653574 | 0.000000000016 |
| 3000 | 3.141592653581 | 0.000000000009 |
| 3500 | 3.141592653584 | 0.000000000006 |
| 4000 | 3.141592653586 | 0.000000000004 |
| 4500 | 3.141592653587 | 0.000000000003 |
| 5000 | 3.141592653588 | 0.000000000002 |
+------+----------------+----------------+

+------+----------------+----------------+

| n | Aproximación | Error |

+------+----------------+----------------+

| 0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |

| 500 | 3.141592651602 | 0.000000001988 |

| 1000 | 3.141592653341 | 0.000000000249 |

| 1500 | 3.141592653516 | 0.000000000074 |

| 2000 | 3.141592653559 | 0.000000000031 |

| 2500 | 3.141592653574 | 0.000000000016 |

| 3000 | 3.141592653581 | 0.000000000009 |

| 3500 | 3.141592653584 | 0.000000000006 |

| 4000 | 3.141592653586 | 0.000000000004 |

| 4500 | 3.141592653587 | 0.000000000003 |

| 5000 | 3.141592653588 | 0.000000000002 |

+------+----------------+----------------+

Soluciones

import Text.Printf

-- 1ª solución
-- ===========

aproximacionPi :: Int -> Double
aproximacionPi n = serieNilakantha !! n

serieNilakantha :: [Double]
serieNilakantha = scanl1 (+) terminosNilakantha

terminosNilakantha :: [Double]
terminosNilakantha = zipWith (/) numeradores denominadores
  where numeradores   = 3 : cycle [4,-4]
        denominadores = 1 : [n*(n+1)*(n+2) | n <- [2,4..]]

-- 2ª solución
-- ===========

aproximacionPi2 :: Int -> Double
aproximacionPi2 = aux 3 2 1
  where aux x _ _ 0 = x
        aux x y z m =
          aux (x+4/product[y..y+2]*z) (y+2) (negate z) (m-1)

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> aproximacionPi (2*10^5)
--    3.141592653589787
--    (0.82 secs, 145,964,728 bytes)
--    λ> aproximacionPi2 (2*10^5)
--    3.141592653589787
--    (2.27 secs, 432,463,496 bytes)
--    λ> aproximacionPi (3*10^5)
--    3.141592653589787
--    (0.34 secs, 73,056,488 bytes)
--    λ> aproximacionPi2 (3*10^5)
--    3.141592653589787
--    (3.24 secs, 648,603,824 bytes)

-- Definicioń de tabla
-- ===================

tabla :: FilePath -> [Int] -> IO ()
tabla f ns = do
  writeFile f (tablaAux ns)

tablaAux :: [Int] -> String
tablaAux ns =
     linea
  ++ cabecera
  ++ linea
  ++ concat [printf "| %4d | %.12f | %.12f |\n" n a e
            | n <- ns
            , let a = aproximacionPi n
            , let e = abs (pi - a)]
  ++ linea

linea :: String
linea = "+------+----------------+----------------+\n"

cabecera :: String
cabecera = "| n    | Aproximación   | Error          |\n"

import Text.Printf

-- 1ª solución

-- ===========

aproximacionPi :: Int -> Double

aproximacionPi n = serieNilakantha !! n

serieNilakantha :: [Double]

serieNilakantha = scanl1 (+) terminosNilakantha

terminosNilakantha :: [Double]

terminosNilakantha = zipWith (/) numeradores denominadores

where numeradores = 3 : cycle [4,-4]

denominadores = 1 : [n*(n+1)*(n+2) | n <- [2,4..]]

-- 2ª solución

-- ===========

aproximacionPi2 :: Int -> Double

aproximacionPi2 = aux 3 2 1

where aux x _ _ 0 = x

aux x y z m =

aux (x+4/product[y..y+2]*z) (y+2) (negate z) (m-1)

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> aproximacionPi (2*10^5)

-- 3.141592653589787

-- (0.82 secs, 145,964,728 bytes)

-- λ> aproximacionPi2 (2*10^5)

-- 3.141592653589787

-- (2.27 secs, 432,463,496 bytes)

-- λ> aproximacionPi (3*10^5)

-- 3.141592653589787

-- (0.34 secs, 73,056,488 bytes)

-- λ> aproximacionPi2 (3*10^5)

-- 3.141592653589787

-- (3.24 secs, 648,603,824 bytes)

-- Definicioń de tabla

-- ===================

tabla :: FilePath -> [Int] -> IO ()

tabla f ns = do

writeFile f (tablaAux ns)

tablaAux :: [Int] -> String

tablaAux ns =

linea

++ cabecera

++ linea

++ concat [printf "| %4d | %.12f | %.12f |\n" n a e

| n <- ns

, let a = aproximacionPi n

, let e = abs (pi - a)]

++ linea

linea :: String

linea = "+------+----------------+----------------+\n"

cabecera :: String

cabecera = "| n | Aproximación | Error |\n"

Conjetura de Lemoine

PorJosé A. Alonso 11-febrero-202026-marzo-2022

La conjetura de Lemoine afirma que

Todos los números impares mayores que 5 se pueden escribir de la forma p + 2q donde p y q son números primos. Por ejemplo, 47 = 13 + 2 x 17

Definir las funciones

   descomposicionesLemoine :: Integer -> [(Integer,Integer)]
   graficaLemoine :: Integer -> IO ()

1 2	descomposicionesLemoine :: Integer -> [(Integer,Integer)] graficaLemoine :: Integer -> IO ()

tales que

(descomposicionesLemoine n) es la lista de pares de primos (p,q) tales que n = p + 2q. Por ejemplo,

     descomposicionesLemoine 5   ==  []
     descomposicionesLemoine 7   ==  [(3,2)]
     descomposicionesLemoine 9   ==  [(5,2),(3,3)]
     descomposicionesLemoine 21  ==  [(17,2),(11,5),(7,7)]
     descomposicionesLemoine 47  ==  [(43,2),(41,3),(37,5),(13,17)]
     descomposicionesLemoine 33  ==  [(29,2),(23,5),(19,7),(11,11),(7,13)]
     length (descomposicionesLemoine 2625)  ==  133

descomposicionesLemoine 5 == []

descomposicionesLemoine 7 == [(3,2)]

descomposicionesLemoine 9 == [(5,2),(3,3)]

descomposicionesLemoine 21 == [(17,2),(11,5),(7,7)]

descomposicionesLemoine 47 == [(43,2),(41,3),(37,5),(13,17)]

descomposicionesLemoine 33 == [(29,2),(23,5),(19,7),(11,11),(7,13)]

length (descomposicionesLemoine 2625) == 133

(graficaLemoine n) dibuja la gráfica de los números de descomposiciones de Lemoine para los números impares menores o iguales que n. Por ejemplo, (graficaLemoine n 400) dibuja

Comprobar con QuickCheck la conjetura de Lemoine.

Nota: Basado en Lemoine’s conjecture

Soluciones

import Data.Numbers.Primes (isPrime, primes)
import Graphics.Gnuplot.Simple
import Test.QuickCheck

descomposicionesLemoine :: Integer -> [(Integer,Integer)]
descomposicionesLemoine n =
  [(p,q) | q <- takeWhile (<=(n-2) `div` 2) primes
         , let p = n - 2 * q
         , isPrime p]

graficaLemoine :: Integer -> IO ()
graficaLemoine n = do
  plotList [ Key Nothing
           , Title "Conjetura de Lemoine"
           , PNG "Conjetura_de_Lemoine.png"
           ]
           [(k,length (descomposicionesLemoine k)) | k <- [1,3..n]]

-- La conjetura es
prop_conjeturaLemoine :: Integer -> Bool
prop_conjeturaLemoine n =
  not (null (descomposicionesLemoine n'))
  where n' = 7 + 2 * abs n

-- Su comprobación es
--    λ> quickCheck prop_conjeturaLemoine
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Data.Numbers.Primes (isPrime, primes)

import Graphics.Gnuplot.Simple

import Test.QuickCheck

descomposicionesLemoine :: Integer -> [(Integer,Integer)]

descomposicionesLemoine n =

[(p,q) | q <- takeWhile (<=(n-2) `div` 2) primes

, let p = n - 2 * q

, isPrime p]

graficaLemoine :: Integer -> IO ()

graficaLemoine n = do

plotList [ Key Nothing

, Title "Conjetura de Lemoine"

, PNG "Conjetura_de_Lemoine.png"

]

[(k,length (descomposicionesLemoine k)) | k <- [1,3..n]]

-- La conjetura es

prop_conjeturaLemoine :: Integer -> Bool

prop_conjeturaLemoine n =

not (null (descomposicionesLemoine n'))

where n' = 7 + 2 * abs n

-- Su comprobación es

-- λ> quickCheck prop_conjeturaLemoine

-- +++ OK, passed 100 tests.

Otras soluciones

Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=»haskell»> y otra con </pre>

Pensamiento

«Todo el mundo sabe lo que es una curva, hasta que ha estudiado suficientes matemáticas para confundirse a través del incontable número de posibles excepciones.»

Felix Klein.

La conjetura de Mertens

PorJosé A. Alonso 27-enero-20203-febrero-2020

Un número entero n es libre de cuadrados si no existe un número primo p tal que p² divide a n; es decir, los factores primos de n son todos distintos.

La función de Möbius μ(n) está definida para todos los enteros positivos como sigue:

μ(n) = 1 si n es libre de cuadrados y tiene un número par de factores primos.
μ(n) = -1 si n es libre de cuadrados y tiene un número impar de factores primos.
μ(n) = 0 si n no es libre de cuadrados.

Sus primeros valores son 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, …

La función de Mertens M(n) está definida para todos los enteros positivos como la suma de μ(k) para 1 ≤ k ≤ n. Sus primeros valores son 1, 0, -1, -1, -2, -1, -2, -2, …

La conjetura de Mertens afirma que

Para todo entero x mayor que 1, el valor absoluto de la función de Mertens en x es menor que la raíz cuadrada de x.

La conjetura fue planteada por Franz Mertens en 1897. Riele Odlyzko, demostraronen 1985 que la conjetura de Mertens deja de ser cierta más o menos a partir de $10^{10^{64}}$ , cifra que luego de algunos refinamientos se redujo a $10^{10^{40}}$ .

Definir las funciones

   mobius :: Integer -> Integer
   mertens :: Integer -> Integer
   graficaMertens :: Integer -> IO ()

mobius :: Integer -> Integer

mertens :: Integer -> Integer

graficaMertens :: Integer -> IO ()

tales que

(mobius n) es el valor de la función de Möbius en n. Por ejemplo,

     mobius 6   ==  1
     mobius 30  ==  -1
     mobius 12  ==  0

mobius 6 == 1

mobius 30 == -1

mobius 12 == 0

(mertens n) es el valor de la función de Mertens en n. Por ejemplo,

     mertens 1     ==  1
     mertens 2     ==  0
     mertens 3     ==  -1
     mertens 5     ==  -2
     mertens 661   ==  -11
     mertens 1403  ==  11

mertens 1 == 1

mertens 2 == 0

mertens 3 == -1

mertens 5 == -2

mertens 661 == -11

mertens 1403 == 11

(graficaMertens n) dibuja la gráfica de la función de Mertens, la raíz cuadrada y el opuestos de la raíz cuadrada para los n primeros n enteros positivos. Por ejemplo, (graficaMertens 1000) dibuja

Comprobar con QuickCheck la conjetura de Mertens.

Nota: El ejercicio está basado en La conjetura de Merterns y su relación con un número tan raro como extremada y colosalmente grande publicado por @Alvy la semana pasada en Microsiervos.

Soluciones

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)
import Test.QuickCheck
import Graphics.Gnuplot.Simple

mobius :: Integer -> Integer
mobius n | tieneRepetidos xs = 0
         | otherwise         = (-1)^(length xs)
  where xs = primeFactors n

tieneRepetidos :: [Integer] -> Bool
tieneRepetidos xs =
  or [x == y | (x,y) <- zip xs (tail xs)]
        
mertens :: Integer -> Integer
mertens n = sum (map mobius [1..n])

-- Definición de graficaMertens
-- ============================

graficaMertens :: Integer -> IO ()
graficaMertens n = do
  plotLists [ Key Nothing
            , Title "Conjetura de Mertens"
            , PNG "La_conjetura_de_Mertens.png"
            ]
            [ [mertens k | k <- [1..n]]
            , raices
            , map negate raices
            ]
    
  where
    raices = [ceiling (sqrt k) | k <- [1..fromIntegral n]]

-- Conjetura de Mertens
-- ====================

-- La conjetura es
conjeturaDeMertens :: Integer -> Property
conjeturaDeMertens n =
  n > 1
  ==>
  abs (mertens n) < ceiling (sqrt n')
  where n' = fromIntegral n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck conjeturaDeMertens
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

import Test.QuickCheck

import Graphics.Gnuplot.Simple

mobius :: Integer -> Integer

mobius n | tieneRepetidos xs = 0

| otherwise = (-1)^(length xs)

where xs = primeFactors n

tieneRepetidos :: [Integer] -> Bool

tieneRepetidos xs =

or [x == y | (x,y) <- zip xs (tail xs)]

mertens :: Integer -> Integer

mertens n = sum (map mobius [1..n])

-- Definición de graficaMertens

-- ============================

graficaMertens :: Integer -> IO ()

graficaMertens n = do

plotLists [ Key Nothing

, Title "Conjetura de Mertens"

, PNG "La_conjetura_de_Mertens.png"

]

[ [mertens k | k <- [1..n]]

, raices

, map negate raices

]

where

raices = [ceiling (sqrt k) | k <- [1..fromIntegral n]]

-- Conjetura de Mertens

-- ====================

-- La conjetura es

conjeturaDeMertens :: Integer -> Property

conjeturaDeMertens n =

n > 1

==>

abs (mertens n) < ceiling (sqrt n')

where n' = fromIntegral n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck conjeturaDeMertens

-- +++ OK, passed 100 tests.

Otras soluciones

Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=»haskell»> y otra con </pre>

Pensamiento

«El control de la complejidad es la esencia de la programación informática.»

Brian Kernighan.

Productos de sumas de cuatro cuadrados

PorJosé A. Alonso 24-enero-202031-enero-2020

Definir la función

   productoSuma4Cuadrados :: Integral a => [a] -> [a] -> [a] -> [a] -> a

1	productoSuma4Cuadrados :: Integral a => [a] -> [a] -> [a] -> [a] -> a

tal que (productoSuma4Cuadrados as bs cs ds) es el producto de las sumas de los cuadrados de cada una de las listas que ocupan la misma posición (hasta que alguna se acaba). Por ejemplo,

   productoSuma4Cuadrados [2,3] [1,5] [4,6] [0,3,9]
   = (2² + 1² + 4² + 0²) * (3² + 5² + 6² + 3²)
   = (4 +  1 + 16  + 0)  * (9 + 25 + 36  + 9)
   = 1659

productoSuma4Cuadrados [2,3] [1,5] [4,6] [0,3,9]

= (2² + 1² + 4² + 0²) * (3² + 5² + 6² + 3²)

= (4 + 1 + 16 + 0) * (9 + 25 + 36 + 9)

= 1659

Comprobar con QuickCheckWith que si as, bs cs y ds son listas no vacías de enteros positivos, entonces (productoSuma4Cuadrados as bs cs ds) se puede escribir como la suma de los cuadrados de cuatro enteros positivos.

Soluciones

import Data.List (zip4)
import Test.QuickCheck

-- 1ª solución
-- ===========

productoSuma4Cuadrados :: Integral a => [a] -> [a] -> [a] -> [a] -> a
productoSuma4Cuadrados (a:as) (b:bs) (c:cs) (d:ds) =
  (a^2+b^2+c^2+d^2) * productoSuma4Cuadrados as bs cs ds
productoSuma4Cuadrados _ _ _ _ = 1

-- 2ª solución
-- ===========

productoSuma4Cuadrados2 :: Integral a => [a] -> [a] -> [a] -> [a] -> a
productoSuma4Cuadrados2 as bs cs ds =
  product [a^2 + b^2 + c^2 + d^2 | (a,b,c,d) <- zip4 as bs cs ds]

-- Propiedad
-- =========

-- La propiedad es
prop_productoSuma4Cuadrados ::
  [Integer] -> [Integer] -> [Integer] -> [Integer] -> Property
prop_productoSuma4Cuadrados as bs cs ds =
  all (not . null) [as, bs, cs, ds]
  ==> 
  esSuma4Cuadrados (productoSuma4Cuadrados as' bs' cs' ds')
  where as' = [1 + abs a | a <- as]
        bs' = [1 + abs b | b <- bs]
        cs' = [1 + abs c | c <- cs]
        ds' = [1 + abs d | d <- ds]

-- (esSuma4Cuadrados n) se verifica si n es la suma de 4 cuadrados. Por
-- ejemplo, 
--    esSuma4Cuadrados 42  ==  True
--    esSuma4Cuadrados 11  ==  False
--    esSuma4Cuadrados 41  ==  False
esSuma4Cuadrados :: Integer -> Bool
esSuma4Cuadrados = not . null . sumas4Cuadrados

-- (sumas4Cuadrados n) es la lista de las descomposiciones de n como
-- sumas de 4 cuadrados. Por ejemplo,
--    sumas4Cuadrados 42  ==  [(16,16,9,1),(25,9,4,4),(36,4,1,1)]
sumas4Cuadrados :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer,Integer)]
sumas4Cuadrados n =
  [(a^2,b^2,c^2,d) | a <- [1 .. floor (sqrt (fromIntegral n / 4))]
                   , b <- [a .. floor (sqrt (fromIntegral (n-a^2) / 3))]
                   , c <- [b .. floor (sqrt (fromIntegral (n-a^2-b^2) / 2))]
                   , let d = n - a^2 - b^2 - c^2
                   , c^2 <= d 
                   , esCuadrado d]

-- (esCuadrado x) se verifica si x es un número al cuadrado. Por
-- ejemplo,
--    esCuadrado 25  ==  True
--    esCuadrado 26  ==  False
esCuadrado :: Integer -> Bool
esCuadrado x = x == y * y
  where y = raiz x

-- (raiz x) es la raíz cuadrada entera de x. Por ejemplo,
--    raiz 25  ==  5
--    raiz 24  ==  4
--    raiz 26  ==  5
raiz :: Integer -> Integer
raiz x = floor (sqrt (fromIntegral x))

-- La comprobación es
--    λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=5}) prop_productoSuma4Cuadrados
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Data.List (zip4)

import Test.QuickCheck

-- 1ª solución

-- ===========

productoSuma4Cuadrados :: Integral a => [a] -> [a] -> [a] -> [a] -> a

productoSuma4Cuadrados (a:as) (b:bs) (c:cs) (d:ds) =

(a^2+b^2+c^2+d^2) * productoSuma4Cuadrados as bs cs ds

productoSuma4Cuadrados _ _ _ _ = 1

-- 2ª solución

-- ===========

productoSuma4Cuadrados2 :: Integral a => [a] -> [a] -> [a] -> [a] -> a

productoSuma4Cuadrados2 as bs cs ds =

product [a^2 + b^2 + c^2 + d^2 | (a,b,c,d) <- zip4 as bs cs ds]

-- Propiedad

-- =========

-- La propiedad es

prop_productoSuma4Cuadrados ::

[Integer] -> [Integer] -> [Integer] -> [Integer] -> Property

prop_productoSuma4Cuadrados as bs cs ds =

all (not . null) [as, bs, cs, ds]

==>

esSuma4Cuadrados (productoSuma4Cuadrados as' bs' cs' ds')

where as' = [1 + abs a | a <- as]

bs' = [1 + abs b | b <- bs]

cs' = [1 + abs c | c <- cs]

ds' = [1 + abs d | d <- ds]

-- (esSuma4Cuadrados n) se verifica si n es la suma de 4 cuadrados. Por

-- ejemplo,

-- esSuma4Cuadrados 42 == True

-- esSuma4Cuadrados 11 == False

-- esSuma4Cuadrados 41 == False

esSuma4Cuadrados :: Integer -> Bool

esSuma4Cuadrados = not . null . sumas4Cuadrados

-- (sumas4Cuadrados n) es la lista de las descomposiciones de n como

-- sumas de 4 cuadrados. Por ejemplo,

-- sumas4Cuadrados 42 == [(16,16,9,1),(25,9,4,4),(36,4,1,1)]

sumas4Cuadrados :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer,Integer)]

sumas4Cuadrados n =

[(a^2,b^2,c^2,d) | a <- [1 .. floor (sqrt (fromIntegral n / 4))]

, b <- [a .. floor (sqrt (fromIntegral (n-a^2) / 3))]

, c <- [b .. floor (sqrt (fromIntegral (n-a^2-b^2) / 2))]

, let d = n - a^2 - b^2 - c^2

, c^2 <= d

, esCuadrado d]

-- (esCuadrado x) se verifica si x es un número al cuadrado. Por

-- ejemplo,

-- esCuadrado 25 == True

-- esCuadrado 26 == False

esCuadrado :: Integer -> Bool

esCuadrado x = x == y * y

where y = raiz x

-- (raiz x) es la raíz cuadrada entera de x. Por ejemplo,

-- raiz 25 == 5

-- raiz 24 == 4

-- raiz 26 == 5

raiz :: Integer -> Integer

raiz x = floor (sqrt (fromIntegral x))

-- La comprobación es

-- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=5}) prop_productoSuma4Cuadrados

-- +++ OK, passed 100 tests.

Otras soluciones

Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=»haskell»> y otra con </pre>

Pensamiento

¿Vivir? Sencillamente:
la sed y el agua cerca …
o el agua lejos, más, la sed y el agua,
un poco de cansancio ¡y a beberla!.

Antonio Machado

Teorema de existencia de divisores

PorJosé A. Alonso 10-enero-20206-junio-2022

El teorema de existencia de divisores afirma que

En cualquier subconjunto de {1, 2, …, 2m} con al menos m+1 elementos existen números distintos a, b tales que a divide a b.

Un conjunto de números naturales xs es mayoritario si existe un m tal que la lista de xs es un subconjunto de {1,2,…,2m} con al menos m+1 elementos. Por ejemplo, {2,3,5,6} porque es un subconjunto de {1,2,…,6} con más de 3 elementos.

Definir las funciones

   divisoresMultiplos :: [Integer] -> [(Integer,Integer)]
   esMayoritario :: [Integer] -> Bool

1 2	divisoresMultiplos :: [Integer] -> [(Integer,Integer)] esMayoritario :: [Integer] -> Bool

tales que

(divisores xs) es la lista de pares de elementos distintos de (a,b) tales que a divide a b. Por ejemplo,

     divisoresMultiplos [2,3,5,6]  ==  [(2,6),(3,6)]
     divisoresMultiplos [2,3,5]    ==  []
     divisoresMultiplos [4..8]     ==  [(4,8)]

divisoresMultiplos [2,3,5,6] == [(2,6),(3,6)]

divisoresMultiplos [2,3,5] == []

divisoresMultiplos [4..8] == [(4,8)]

(esMayoritario xs) se verifica xs es mayoritario. Por ejemplo,

     esMayoritario [2,3,5,6]  ==  True
     esMayoritario [2,3,5]    ==  False

1 2	esMayoritario [2,3,5,6] == True esMayoritario [2,3,5] == False

Comprobar con QuickCheck el teorema de existencia de divisores; es decir, en cualquier conjunto mayoritario existen números distintos a, b tales que a divide a b. Para la comprobación se puede usar el siguiente generador de conjuntos mayoritarios

   mayoritario :: Gen [Integer]
   mayoritario = do
     m' <- arbitrary
     let m = 1 + abs m'
     xs' <- sublistOf [1..2*m] `suchThat` (\ys -> genericLength ys > m)
     return xs'

mayoritario :: Gen [Integer]

mayoritario = do

m' <- arbitrary

let m = 1 + abs m'

xs' <- sublistOf [1..2*m] `suchThat` (\ys -> genericLength ys > m)

return xs'

con lo que la propiedad que hay que comprobar con QuickCheck es

   teorema_de_existencia_de_divisores :: Property
   teorema_de_existencia_de_divisores =
     forAll mayoritario (not . null . divisoresMultiplos)

teorema_de_existencia_de_divisores :: Property

teorema_de_existencia_de_divisores =

forAll mayoritario (not . null . divisoresMultiplos)

Soluciones

import Data.List (genericLength)
import Test.QuickCheck

divisoresMultiplos :: [Integer] -> [(Integer,Integer)]
divisoresMultiplos xs =
  [(x,y) | x <- xs
         , y <- xs
         , y /= x
         , y `mod` x == 0]

esMayoritario :: [Integer] -> Bool
esMayoritario xs =
  not (null xs) && length xs > ceiling (n / 2) 
  where n = fromIntegral (maximum xs)

-- Comprobación del teorema
-- ========================

-- La propiedad es
teorema_de_existencia_de_divisores :: Property
teorema_de_existencia_de_divisores =
  forAll mayoritario (not . null . divisoresMultiplos)

-- mayoritario es un generador de conjuntos mayoritarios. Por ejemplo, 
--    λ> sample mayoritario
--    [1,2]
--    [2,5,7,8]
--    [1,2,8,10,14]
--    [3,8,11,12,13,15,18,19,22,23,25,26]
--    [1,3,4,6]
--    [3,6,9,11,12,14,17,19]
mayoritario :: Gen [Integer]
mayoritario = do
  m' <- arbitrary
  let m = 1 + abs m'
  xs' <- sublistOf [1..2*m] `suchThat` (\ys -> genericLength ys > m)
  return xs'

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck teorema_de_existencia_de_divisores
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Data.List (genericLength)

import Test.QuickCheck

divisoresMultiplos :: [Integer] -> [(Integer,Integer)]

divisoresMultiplos xs =

[(x,y) | x <- xs

, y <- xs

, y /= x

, y `mod` x == 0]

esMayoritario :: [Integer] -> Bool

esMayoritario xs =

not (null xs) && length xs > ceiling (n / 2)

where n = fromIntegral (maximum xs)

-- Comprobación del teorema

-- ========================

-- La propiedad es

teorema_de_existencia_de_divisores :: Property

teorema_de_existencia_de_divisores =

forAll mayoritario (not . null . divisoresMultiplos)

-- mayoritario es un generador de conjuntos mayoritarios. Por ejemplo,

-- λ> sample mayoritario

-- [1,2]

-- [2,5,7,8]

-- [1,2,8,10,14]

-- [3,8,11,12,13,15,18,19,22,23,25,26]

-- [1,3,4,6]

-- [3,6,9,11,12,14,17,19]

mayoritario :: Gen [Integer]

mayoritario = do

m' <- arbitrary

let m = 1 + abs m'

xs' <- sublistOf [1..2*m] `suchThat` (\ys -> genericLength ys > m)

return xs'

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck teorema_de_existencia_de_divisores

-- +++ OK, passed 100 tests.

Pensamiento

Guiomar, Guiomar,
mírame en ti castigado:
reo de haberte creado,
ya no te puedo olvidar.

Antonio Machado

Teorema de Carmichael

PorJosé A. Alonso 1-enero-20208-enero-2020

La sucesión de Fibonacci, F(n), es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

   0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...

1	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...

La sucesión comieanza con los números 0 y 1. A partir de estos, cada término es la suma de los dos anteriores.

El teorema de Carmichael establece que para todo n mayor que 12, el n-ésimo número de Fibonacci F(n) tiene al menos un factor primo que no es factor de ninguno de los términos anteriores de la sucesión.

Si un número primo p es un factor de F(n) y no es factor de ningún F(m) con m < n, entonces se dice que p es un factor característico o un divisor primitivo de F(n).

Definir la función

   factoresCaracteristicos :: Int -> [Integer]

1	factoresCaracteristicos :: Int -> [Integer]

tal que (factoresCaracteristicos n) es la lista de los factores característicos de F(n). Por ejemplo,

   factoresCaracteristicos  4  ==  [3]
   factoresCaracteristicos  6  ==  []
   factoresCaracteristicos 19  ==  [37,113]
   factoresCaracteristicos 20  ==  [41]
   factoresCaracteristicos 37  ==  [73,149,2221]

factoresCaracteristicos 4 == [3]

factoresCaracteristicos 6 == []

factoresCaracteristicos 19 == [37,113]

factoresCaracteristicos 20 == [41]

factoresCaracteristicos 37 == [73,149,2221]

Comprobar con QuickCheck el teorema de Carmichael; es decir, para todo número entero (factoresCaracteristicos (13 + abs n)) es una lista no vacía.

Soluciones

import Data.List (nub)
import Data.Numbers.Primes
import Test.QuickCheck

factoresCaracteristicos :: Int -> [Integer]
factoresCaracteristicos n =
  [x | x <- factoresPrimos (fib n)
     , and [fib m `mod` x /= 0 | m <- [1..n-1]]]

-- (fib n) es el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci. Por
-- ejemplo,
--    fib 6  ==  8
fib :: Int -> Integer
fib n = fibs !! n

-- fibs es la lista de términos de la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo,
--    λ> take 20 fibs
--    [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181]
fibs :: [Integer]
fibs = 0 : 1 : zipWith (+) fibs (tail fibs)

-- (factoresPrimos n) es la lista de los factores primos de n. Por
-- ejemplo, 
--    factoresPrimos 600  ==  [2,3,5]
factoresPrimos :: Integer -> [Integer]
factoresPrimos 0 = []
factoresPrimos n = nub (primeFactors n)

-- Teorema
-- =======

-- El teorema es
teorema_de_Carmichael :: Int -> Bool
teorema_de_Carmichael n =
  not (null (factoresCaracteristicos n'))
  where n' = 13 + abs n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=50}) teorema_de_Carmichael
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Data.List (nub)

import Data.Numbers.Primes

import Test.QuickCheck

factoresCaracteristicos :: Int -> [Integer]

factoresCaracteristicos n =

[x | x <- factoresPrimos (fib n)

, and [fib m `mod` x /= 0 | m <- [1..n-1]]]

-- (fib n) es el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci. Por

-- ejemplo,

-- fib 6 == 8

fib :: Int -> Integer

fib n = fibs !! n

-- fibs es la lista de términos de la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo,

-- λ> take 20 fibs

-- [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181]

fibs :: [Integer]

fibs = 0 : 1 : zipWith (+) fibs (tail fibs)

-- (factoresPrimos n) es la lista de los factores primos de n. Por

-- ejemplo,

-- factoresPrimos 600 == [2,3,5]

factoresPrimos :: Integer -> [Integer]

factoresPrimos 0 = []

factoresPrimos n = nub (primeFactors n)

-- Teorema

-- =======

-- El teorema es

teorema_de_Carmichael :: Int -> Bool

teorema_de_Carmichael n =

not (null (factoresCaracteristicos n'))

where n' = 13 + abs n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=50}) teorema_de_Carmichael

-- +++ OK, passed 100 tests.

Pensamiento

No puede ser
amor de tanta fortuna:
dos soledades en una.

Antonio Machado

Cálculo de pi usando la fórmula de Vieta

PorJosé A. Alonso 16-diciembre-201923-diciembre-2019

La fórmula de Vieta para el cálculo de pi es la siguiente

Definir las funciones

   aproximacionPi :: Int -> Double
   errorPi :: Double -> Int

1 2	aproximacionPi :: Int -> Double errorPi :: Double -> Int

tales que

(aproximacionPi n) es la aproximación de pi usando n factores de la fórmula de Vieta. Por ejemplo,

     aproximacionPi  5  ==  3.140331156954753
     aproximacionPi 10  ==  3.1415914215112
     aproximacionPi 15  ==  3.141592652386592
     aproximacionPi 20  ==  3.1415926535886207
     aproximacionPi 25  ==  3.141592653589795

aproximacionPi 5 == 3.140331156954753

aproximacionPi 10 == 3.1415914215112

aproximacionPi 15 == 3.141592652386592

aproximacionPi 20 == 3.1415926535886207

aproximacionPi 25 == 3.141592653589795

(errorPi x) es el menor número de factores de la fórmula de Vieta necesarios para obtener pi con un error menor que x. Por ejemplo,

     errorPi 0.1        ==  2
     errorPi 0.01       ==  4
     errorPi 0.001      ==  6
     errorPi 0.0001     ==  7
     errorPi 1e-4       ==  7
     errorPi 1e-14      ==  24
     pi                 ==  3.141592653589793
     aproximacionPi 24  ==  3.1415926535897913

errorPi 0.1 == 2

errorPi 0.01 == 4

errorPi 0.001 == 6

errorPi 0.0001 == 7

errorPi 1e-4 == 7

errorPi 1e-14 == 24

pi == 3.141592653589793

aproximacionPi 24 == 3.1415926535897913

Soluciones

-- 1ª definición de aproximacionPi
aproximacionPi :: Int -> Double
aproximacionPi n = product [2 / aux x | x <- [0..n]]
  where
    aux 0 = 1
    aux 1 = sqrt 2
    aux n = sqrt (2 + aux (n-1))

-- 2ª definición de aproximacionPi
aproximacionPi2 :: Int -> Double
aproximacionPi2 n = product [2/x | x <- 1 : xs] 
  where xs = take n $ iterate (\x -> sqrt (2+x)) (sqrt 2)

-- 3ª definición de aproximaxionPi
aproximacionPi3 :: Int -> Double
aproximacionPi3 n =  product (2 : take n (map (2/) xs))
  where xs = sqrt 2 : [sqrt (2 + x) | x <- xs]

-- 1ª definición de errorPi
errorPi :: Double -> Int
errorPi x = head [n | n <- [1..]
                    , abs (pi - aproximacionPi n) < x]

-- 2ª definición de errorPi
errorPi2 :: Double -> Int
errorPi2 x = until aceptable (+1) 1
  where aceptable n = abs (pi - aproximacionPi n) < x

-- 1ª definición de aproximacionPi

aproximacionPi :: Int -> Double

aproximacionPi n = product [2 / aux x | x <- [0..n]]

where

aux 0 = 1

aux 1 = sqrt 2

aux n = sqrt (2 + aux (n-1))

-- 2ª definición de aproximacionPi

aproximacionPi2 :: Int -> Double

aproximacionPi2 n = product [2/x | x <- 1 : xs]

where xs = take n $ iterate (\x -> sqrt (2+x)) (sqrt 2)

-- 3ª definición de aproximaxionPi

aproximacionPi3 :: Int -> Double

aproximacionPi3 n = product (2 : take n (map (2/) xs))

where xs = sqrt 2 : [sqrt (2 + x) | x <- xs]

-- 1ª definición de errorPi

errorPi :: Double -> Int

errorPi x = head [n | n <- [1..]

, abs (pi - aproximacionPi n) < x]

-- 2ª definición de errorPi

errorPi2 :: Double -> Int

errorPi2 x = until aceptable (+1) 1

where aceptable n = abs (pi - aproximacionPi n) < x

Pensamiento

El tiempo que la barba me platea,
cavó mis ojos y agrandó mi frente,
va siendo en mi recuerdo transparente,
y mientras más al fondo, más clarea.

Antonio Machado

Matriz dodecafónica

PorJosé A. Alonso 10-abril-201925-abril-2019

Como se explica en Create a Twelve-Tone Melody With a Twelve-Tone Matrix una matriz dodecafónica es una matriz de 12 filas y 12 columnas construidas siguiendo los siguientes pasos:

Se escribe en la primera fila una permutación de los números del 1 al 12. Por ejemplo,

     (  3  1  9  5  4  6  8  7 12 10 11  2 )
     (                                     )
     (                                     )
     (                                     )
     (                                     )
     (                                     )
     (                                     )
     (                                     )
     (                                     )
     (                                     )
     (                                     )
     (                                     )

( 3 1 9 5 4 6 8 7 12 10 11 2 )

( )

Escribir la primera columna de forma que, para todo i (entre 2 y 12), a(i,1) es el número entre 1 y 12 que verifica la siguiente condición

     (a(1,1) - a(i,1)) = (a(1,i) - a(1,1)) (módulo 12)

1	(a(1,1) - a(i,1)) = (a(1,i) - a(1,1)) (módulo 12)

Siguiendo con el ejemplo anterior, la matriz con la 1ª fila y la 1ª columna es

     (  3  1  9  5  4  6  8  7 12 10 11  2 )
     (  5                                  )
     (  9                                  )
     (  1                                  )
     (  2                                  )
     ( 12                                  )
     ( 10                                  )
     ( 11                                  )
     (  6                                  )
     (  8                                  )
     (  7                                  )
     (  4                                  )

( 3 1 9 5 4 6 8 7 12 10 11 2 )

( 5 )

( 9 )

( 1 )

( 2 )

( 12 )

( 10 )

( 11 )

( 6 )

( 8 )

( 7 )

( 4 )

Escribir la segunda fila de forma que, para todo j (entre 2 y 12), a(j,2) es el número entre 1 y 12 que verifica la siguiente condición

     (a(2,j) - a(1,j)) = (a(2,1) - a(1,1)) (módulo 12)

1	(a(2,j) - a(1,j)) = (a(2,1) - a(1,1)) (módulo 12)

Siguiendo con el ejemplo anterior, la matriz con la 1ª fila, 1ª columna y 2ª fila es

     (  3  1  9  5  4  6  8  7 12 10 11  2 )
     (  5  3 11  7  6  8 10  9  2 12  1  4 )
     (  9                                  )
     (  1                                  )
     (  2                                  )
     ( 12                                  )
     ( 10                                  )
     ( 11                                  )
     (  6                                  )
     (  8                                  )
     (  7                                  )
     (  4                                  )

( 3 1 9 5 4 6 8 7 12 10 11 2 )

( 5 3 11 7 6 8 10 9 2 12 1 4 )

( 9 )

( 1 )

( 2 )

( 12 )

( 10 )

( 11 )

( 6 )

( 8 )

( 7 )

( 4 )

Las restantes filas se completan como la 2ª; es decir, para todo i (entre 3 y 12) y todo j (entre 2 y 12), a(i,j) es el número entre 1 y 12 que verifica la siguiente relación.

     (a(i,j) - a(1,j)) = (a(i,1) - a(1,1)) (módulo 12)

1	(a(i,j) - a(1,j)) = (a(i,1) - a(1,1)) (módulo 12)

Siguiendo con el ejemplo anterior, la matriz dodecafónica es

     (  3  1  9  5  4  6  8  7 12 10 11  2 )
     (  5  3 11  7  6  8 10  9  2 12  1  4 )
     (  9  7  3 11 10 12  2  1  6  4  5  8 )
     (  1 11  7  3  2  4  6  5 10  8  9 12 )
     (  2 12  8  4  3  5  7  6 11  9 10  1 )
     ( 12 10  6  2  1  3  5  4  9  7  8 11 )
     ( 10  8  4 12 11  1  3  2  7  5  6  9 )
     ( 11  9  5  1 12  2  4  3  8  6  7 10 )
     (  6  4 12  8  7  9 11 10  3  1  2  5 )
     (  8  6  2 10  9 11  1 12  5  3  4  7 )
     (  7  5  1  9  8 10 12 11  4  2  3  6 )
     (  4  2 10  6  5  7  9  8  1 11 12  3 )

( 3 1 9 5 4 6 8 7 12 10 11 2 )

( 5 3 11 7 6 8 10 9 2 12 1 4 )

( 9 7 3 11 10 12 2 1 6 4 5 8 )

( 1 11 7 3 2 4 6 5 10 8 9 12 )

( 2 12 8 4 3 5 7 6 11 9 10 1 )

( 12 10 6 2 1 3 5 4 9 7 8 11 )

( 10 8 4 12 11 1 3 2 7 5 6 9 )

( 11 9 5 1 12 2 4 3 8 6 7 10 )

( 6 4 12 8 7 9 11 10 3 1 2 5 )

( 8 6 2 10 9 11 1 12 5 3 4 7 )

( 7 5 1 9 8 10 12 11 4 2 3 6 )

( 4 2 10 6 5 7 9 8 1 11 12 3 )

Definir la función

   matrizDodecafonica :: [Int] -> Matrix Int

1	matrizDodecafonica :: [Int] -> Matrix Int

tal que (matrizDodecafonica xs) es la matriz dodecafónica cuya primera fila es xs (que se supone que es una permutación de los números del 1 al 12). Por ejemplo,

   λ> matrizDodecafonica [3,1,9,5,4,6,8,7,12,10,11,2]
   (  3  1  9  5  4  6  8  7 12 10 11  2 )
   (  5  3 11  7  6  8 10  9  2 12  1  4 )
   (  9  7  3 11 10 12  2  1  6  4  5  8 )
   (  1 11  7  3  2  4  6  5 10  8  9 12 )
   (  2 12  8  4  3  5  7  6 11  9 10  1 )
   ( 12 10  6  2  1  3  5  4  9  7  8 11 )
   ( 10  8  4 12 11  1  3  2  7  5  6  9 )
   ( 11  9  5  1 12  2  4  3  8  6  7 10 )
   (  6  4 12  8  7  9 11 10  3  1  2  5 )
   (  8  6  2 10  9 11  1 12  5  3  4  7 )
   (  7  5  1  9  8 10 12 11  4  2  3  6 )
   (  4  2 10  6  5  7  9  8  1 11 12  3 )

λ> matrizDodecafonica [3,1,9,5,4,6,8,7,12,10,11,2]

( 3 1 9 5 4 6 8 7 12 10 11 2 )

( 5 3 11 7 6 8 10 9 2 12 1 4 )

( 9 7 3 11 10 12 2 1 6 4 5 8 )

( 1 11 7 3 2 4 6 5 10 8 9 12 )

( 2 12 8 4 3 5 7 6 11 9 10 1 )

( 12 10 6 2 1 3 5 4 9 7 8 11 )

( 10 8 4 12 11 1 3 2 7 5 6 9 )

( 11 9 5 1 12 2 4 3 8 6 7 10 )

( 6 4 12 8 7 9 11 10 3 1 2 5 )

( 8 6 2 10 9 11 1 12 5 3 4 7 )

( 7 5 1 9 8 10 12 11 4 2 3 6 )

( 4 2 10 6 5 7 9 8 1 11 12 3 )

Comprobar con QuickCheck para toda matriz dodecafónica D se verifican las siguientes propiedades:

todas las filas de D son permutaciones de los números 1 a 12,
todos los elementos de la diagonal de D son iguales y
la suma de todos los elementos de D es 936.

Nota: Este ejercicio ha sido propuesto por Francisco J. Hidalgo.

Soluciones

import Data.List
import Test.QuickCheck
import Data.Matrix

-- 1ª solución
-- ===========

matrizDodecafonica :: [Int] -> Matrix Int
matrizDodecafonica xs = matrix 12 12 f
  where f (1,j) = xs !! (j-1)
        f (i,1) = modulo12 (2 * f (1,1) - f (1,i)) 
        f (i,j) = modulo12 (f (1,j) + f (i,1) - f (1,1)) 
        modulo12 0  = 12
        modulo12 12 = 12
        modulo12 x  = x `mod` 12
  
-- 2ª solución
-- ===========

matrizDodecafonica2 :: [Int] -> Matrix Int
matrizDodecafonica2 xs = fromLists (secuencias xs)

secuencias :: [Int] -> [[Int]]
secuencias xs = [secuencia a xs | a <- inversa xs]

inversa :: [Int] -> [Int]
inversa xs = map conv (map (\x -> (-x) + 2* (abs a)) xs)
  where a = head xs
        
secuencia :: Int -> [Int] -> [Int]
secuencia n xs = [conv (a+(n-b)) | a <- xs] 
  where b = head xs

conv :: Int -> Int
conv n | n == 0 = 12
       | n < 0 = conv (n+12)
       | n > 11 = conv (mod n 12)
       | otherwise = n          

-- Propiedades
-- ===========

-- Las propiedades son
prop_dodecafonica :: Int -> Property
prop_dodecafonica n = 
  n >= 0 ==>
  all esPermutacion (toLists d)
  && all (== d!(1,1)) [d!(i,i) | i <- [2..12]]
  && sum d == 936
  where xss = permutations [1..12]
        k   = n `mod` product [1..12]
        d   = matrizDodecafonica (xss !! k)
        esPermutacion ys = sort ys == [1..12]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_dodecafonica
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Data.List

import Test.QuickCheck

import Data.Matrix

-- 1ª solución

-- ===========

matrizDodecafonica :: [Int] -> Matrix Int

matrizDodecafonica xs = matrix 12 12 f

where f (1,j) = xs !! (j-1)

f (i,1) = modulo12 (2 * f (1,1) - f (1,i))

f (i,j) = modulo12 (f (1,j) + f (i,1) - f (1,1))

modulo12 0 = 12

modulo12 12 = 12

modulo12 x = x `mod` 12

-- 2ª solución

-- ===========

matrizDodecafonica2 :: [Int] -> Matrix Int

matrizDodecafonica2 xs = fromLists (secuencias xs)

secuencias :: [Int] -> [[Int]]

secuencias xs = [secuencia a xs | a <- inversa xs]

inversa :: [Int] -> [Int]

inversa xs = map conv (map (\x -> (-x) + 2* (abs a)) xs)

where a = head xs

secuencia :: Int -> [Int] -> [Int]

secuencia n xs = [conv (a+(n-b)) | a <- xs]

where b = head xs

conv :: Int -> Int

conv n | n == 0 = 12

| n < 0 = conv (n+12)

| n > 11 = conv (mod n 12)

| otherwise = n

-- Propiedades

-- ===========

-- Las propiedades son

prop_dodecafonica :: Int -> Property

prop_dodecafonica n =

n >= 0 ==>

all esPermutacion (toLists d)

&& all (== d!(1,1)) [d!(i,i) | i <- [2..12]]

&& sum d == 936

where xss = permutations [1..12]

k = n `mod` product [1..12]

d = matrizDodecafonica (xss !! k)

esPermutacion ys = sort ys == [1..12]

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_dodecafonica

-- +++ OK, passed 100 tests.

Pensamiento

Como el olivar,
mucho fruto lleva,
poca sombra da.

Antonio Machado

El problema del número perdido

PorJosé A. Alonso 25-marzo-201926-marzo-2022

Sea xs una lista de números consecutivos (creciente o decreciente), en la que puede faltar algún número. El problema del número perdido en xs consiste en lo siguiente:

si falta un único número z, devolver Just z
si no falta ninguno, devolver Nothing

Definir la función

   numeroPerdido :: [Int] -> Maybe Int

1	numeroPerdido :: [Int] -> Maybe Int

tal que (numeroPerdido xs) es el resultado del problema del número perdidio en xs. Por ejemplo,

   numeroPerdido [7,6,4,3]                     == Just 5
   numeroPerdido [1,2,4,5,6]                   == Just 3
   numeroPerdido [6,5..3]                      == Nothing
   numeroPerdido [1..6]                        == Nothing
   numeroPerdido ([5..10^6] ++ [10^6+2..10^7]) == Just 1000001

numeroPerdido [7,6,4,3] == Just 5

numeroPerdido [1,2,4,5,6] == Just 3

numeroPerdido [6,5..3] == Nothing

numeroPerdido [1..6] == Nothing

numeroPerdido ([5..10^6] ++ [10^6+2..10^7]) == Just 1000001

Soluciones

import Data.List (tails, sort)
import Data.Maybe (listToMaybe)

-- 1ª solución
numeroPerdido :: [Int] -> Maybe Int
numeroPerdido (x:y:xs)
  | abs (y - x) == 1 = numeroPerdido (y:xs)
  | otherwise        = Just (div (x+y) 2)
numeroPerdido _      = Nothing

-- 2ª solución
numeroPerdido2 :: [Int] -> Maybe Int
numeroPerdido2 xs = aux z (z:zs) 
  where (z:zs) = sort xs
        aux _ [] = Nothing
        aux y (x:xs) | y == x    = aux (y+1) xs
                     | otherwise = Just y

-- 3ª solución
-- ===========

numeroPerdido3 :: [Int] -> Maybe Int
numeroPerdido3 xs =
  listToMaybe [(a+b) `div` 2 | (a:b:_) <- tails xs, abs(a-b) /= 1]

import Data.List (tails, sort)

import Data.Maybe (listToMaybe)

-- 1ª solución

numeroPerdido :: [Int] -> Maybe Int

numeroPerdido (x:y:xs)

| abs (y - x) == 1 = numeroPerdido (y:xs)

| otherwise = Just (div (x+y) 2)

numeroPerdido _ = Nothing

-- 2ª solución

numeroPerdido2 :: [Int] -> Maybe Int

numeroPerdido2 xs = aux z (z:zs)

where (z:zs) = sort xs

aux _ [] = Nothing

aux y (x:xs) | y == x = aux (y+1) xs

| otherwise = Just y

-- 3ª solución

-- ===========

numeroPerdido3 :: [Int] -> Maybe Int

numeroPerdido3 xs =

listToMaybe [(a+b) `div` 2 | (a:b:_) <- tails xs, abs(a-b) /= 1]

Pensamiento

¡Reventó de risa!
¡Un hombre tan serio!
… Nadie lo diría.

Antonio Machado

Matriz de mínimas distancias

PorJosé A. Alonso 22-marzo-201925-abril-2021

Definir las funciones

   minimasDistancias             :: Matrix Int -> Matrix Int
   sumaMinimaDistanciasIdentidad :: Int -> Int

1 2	minimasDistancias :: Matrix Int -> Matrix Int sumaMinimaDistanciasIdentidad :: Int -> Int

tales que

(mininasDistancias a) es la matriz de las mínimas distancias de cada elemento de a hasta alcanzar un 1 donde un paso es un movimiento hacia la izquierda, derecha, arriba o abajo. Por ejemplo,

     λ> minimasDistancias (fromLists [[0,1,1],[0,0,1]])
     ( 1 0 0 )
     ( 2 1 0 )
     λ> minimasDistancias (fromLists [[0,0,1],[1,0,0]])
     ( 1 1 0 )
     ( 0 1 1 )
     λ> minimasDistancias (identity 5)
     ( 0 1 2 3 4 )
     ( 1 0 1 2 3 )
     ( 2 1 0 1 2 )
     ( 3 2 1 0 1 )
     ( 4 3 2 1 0 )

λ> minimasDistancias (fromLists [[0,1,1],[0,0,1]])

( 1 0 0 )

( 2 1 0 )

λ> minimasDistancias (fromLists [[0,0,1],[1,0,0]])

( 1 1 0 )

( 0 1 1 )

λ> minimasDistancias (identity 5)

( 0 1 2 3 4 )

( 1 0 1 2 3 )

( 2 1 0 1 2 )

( 3 2 1 0 1 )

( 4 3 2 1 0 )

(sumaMinimaDistanciasIdentidad n) es la suma de los elementos de la matriz de las mínimas distancias correspondiente a la matriz identidad de orden n. Por ejemplo,

     sumaMinimaDistanciasIdentidad 5       ==  40
     sumaMinimaDistanciasIdentidad (10^2)  ==  333300
     sumaMinimaDistanciasIdentidad (10^4)  ==  333333330000
     sumaMinimaDistanciasIdentidad (10^6)  ==  333333333333000000

sumaMinimaDistanciasIdentidad 5 == 40

sumaMinimaDistanciasIdentidad (10^2) == 333300

sumaMinimaDistanciasIdentidad (10^4) == 333333330000

sumaMinimaDistanciasIdentidad (10^6) == 333333333333000000

Soluciones

import Data.Matrix
import Data.Maybe (isJust, fromJust)
import Test.QuickCheck

-- Definición de minimasDistancias
-- ===============================

minimasDistancias :: Matrix Int -> Matrix Int
minimasDistancias a = fmap fromJust (aux (matrizInicial a))
  where aux b | Nothing `elem` c = aux c
              | otherwise        = c
          where c = propagacion b

-- (matrizInicial a) es la matriz que tiene (Just 0) en los elementos de
-- a iguales a 1 y Nothing en los restantes. Por ejemplo,
--    λ> matrizInicial (fromLists [[0,0,1],[1,0,0]])
--    ( Nothing Nothing  Just 0 )
--    (  Just 0 Nothing Nothing )
matrizInicial :: Matrix Int -> Matrix (Maybe Int)
matrizInicial a = matrix m n f
  where m = nrows a
        n = ncols a
        f (i,j) | a ! (i,j) == 1 = Just 0
                | otherwise      = Nothing

-- (propagacion a) es la matriz obtenida cambiando los elementos Nothing
-- de a por el sigiente del mínomo de los valores de sus vecinos. Por
-- ejemplo,
--    λ> propagacion (fromLists [[0,1,1],[0,0,1]])
--    (  Just 1  Just 0  Just 0 )
--    ( Nothing  Just 1  Just 0 )
--    
--    λ> propagacion it
--    ( Just 1 Just 0 Just 0 )
--    ( Just 2 Just 1 Just 0 )
propagacion :: Matrix (Maybe Int) -> Matrix (Maybe Int)
propagacion a = matrix m n f
  where
    m = nrows a
    n = ncols a
    f (i,j) | isJust x  = x
            | otherwise = siguiente (minimo (valoresVecinos a (i,j)))
      where x = a ! (i,j)

-- (valoresVecinos a p) es la lista de los valores de los vecinos la
-- posición p en la matriz a. Por ejemplo,             
--    λ> a = fromList 3 4 [1..]
--    λ> a
--    (  1  2  3  4 )
--    (  5  6  7  8 )
--    (  9 10 11 12 )
--    
--    λ> valoresVecinos a (1,1)
--    [5,2]
--    λ> valoresVecinos a (2,3)
--    [3,11,6,8]
--    λ> valoresVecinos a (2,4)
--    [4,12,7]
valoresVecinos :: Matrix a -> (Int,Int) -> [a]
valoresVecinos a (i,j) = [a ! (k,l) | (k,l) <- vecinos m n (i,j)]
  where m = nrows a
        n = ncols a

-- (vecinos m n p) es la lista de las posiciones vecinas de la posición
-- p en la matriz a; es decir, los que se encuentran a su izquierda,
-- derecha, arriba o abajo. por ejemplo,
--    vecinos 3 4 (1,1)  ==  [(2,1),(1,2)]
--    vecinos 3 4 (2,3)  ==  [(1,3),(3,3),(2,2),(2,4)]
--    vecinos 3 4 (2,4)  ==  [(1,4),(3,4),(2,3)]
vecinos :: Int -> Int -> (Int,Int) -> [(Int,Int)]
vecinos m n (i,j) = [(i - 1,j)     | i > 1] ++
                    [(i + 1,j)     | i < m] ++
                    [(i,    j - 1) | j > 1] ++
                    [(i,    j + 1) | j < n]

-- (minimo xs) es el mínimo de la lista de valores opcionales xs
-- (considerando Nothing como el mayor elemento). Por ejemplo,
--    minimo [Just 3, Nothing, Just 2]  ==  Just 2
minimo :: [Maybe Int] -> Maybe Int
minimo = foldr1 minimo2

-- (minimo2 x y) es el mínimo de los valores opcionales x e y
-- (considerando Nothing como el mayor elemento). Por ejemplo,
--    minimo2 (Just 3) (Just 2)  ==  Just 2
--    minimo2 (Just 1) (Just 2)  ==  Just 1
--    minimo2 (Just 1) Nothing   ==  Just 1
--    minimo2 Nothing (Just 2)   ==  Just 2
--    minimo2 Nothing Nothing    ==  Nothing
minimo2 :: Maybe Int -> Maybe Int -> Maybe Int
minimo2 (Just x) (Just y) = Just (min x y)
minimo2 Nothing  (Just y) = Just y
minimo2 (Just x) Nothing  = Just x
minimo2 Nothing  Nothing  = Nothing

-- (siguiente x) es el siguiente elemento del opcional x (considerando
-- Nothing como el infinito). Por ejemplo, 
--    siguiente (Just 3)  ==  Just 4
--    siguiente Nothing  ==  Nothing
siguiente :: Maybe Int -> Maybe Int
siguiente (Just x) = Just (1 + x)
siguiente Nothing  = Nothing

-- 1ª definición de sumaMinimaDistanciasIdentidad
-- ==============================================

sumaMinimaDistanciasIdentidad :: Int -> Int
sumaMinimaDistanciasIdentidad n =
  sum (minimasDistancias (identity n))

-- 2ª definición de sumaMinimaDistanciasIdentidad
-- ==============================================

sumaMinimaDistanciasIdentidad2 :: Int -> Int
sumaMinimaDistanciasIdentidad2 n =
  n*(n^2-1) `div` 3

-- Equivalencia de las definiciones de sumaMinimaDistanciasIdentidad
-- =================================================================

-- La propiedad es
prop_MinimaDistanciasIdentidad :: Positive Int -> Bool
prop_MinimaDistanciasIdentidad (Positive n) =
  sumaMinimaDistanciasIdentidad n == sumaMinimaDistanciasIdentidad2 n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=50}) prop_MinimaDistanciasIdentidad
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad 50
--    41650
--    (0.24 secs, 149,395,744 bytes)
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad 100
--    333300
--    (1.98 secs, 1,294,676,272 bytes)
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad 200
--    2666600
--    (17.96 secs, 11,094,515,016 bytes)
--    
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad2 50
--    41650
--    (0.00 secs, 126,944 bytes)
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad2 100
--    333300
--    (0.00 secs, 126,872 bytes)
--    λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad2 200
--    2666600
--    (0.00 secs, 131,240 bytes)
--
-- Resumidamente, el tiempo es
--
--    +-----+---------+--------+
--    |   n | 1ª def. | 2ª def |
--    +-----+---------+--------+
--    |  50 |  0.24   | 0.00   |
--    | 100 |  1.98   | 0.00   |
--    | 200 | 17.96   | 0.00   | 
--    +-----+---------+--------+

100

101

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160

161

import Data.Matrix

import Data.Maybe (isJust, fromJust)

import Test.QuickCheck

-- Definición de minimasDistancias

-- ===============================

minimasDistancias :: Matrix Int -> Matrix Int

minimasDistancias a = fmap fromJust (aux (matrizInicial a))

where aux b | Nothing `elem` c = aux c

| otherwise = c

where c = propagacion b

-- (matrizInicial a) es la matriz que tiene (Just 0) en los elementos de

-- a iguales a 1 y Nothing en los restantes. Por ejemplo,

-- λ> matrizInicial (fromLists [[0,0,1],[1,0,0]])

-- ( Nothing Nothing Just 0 )

-- ( Just 0 Nothing Nothing )

matrizInicial :: Matrix Int -> Matrix (Maybe Int)

matrizInicial a = matrix m n f

where m = nrows a

n = ncols a

f (i,j) | a ! (i,j) == 1 = Just 0

| otherwise = Nothing

-- (propagacion a) es la matriz obtenida cambiando los elementos Nothing

-- de a por el sigiente del mínomo de los valores de sus vecinos. Por

-- ejemplo,

-- λ> propagacion (fromLists [[0,1,1],[0,0,1]])

-- ( Just 1 Just 0 Just 0 )

-- ( Nothing Just 1 Just 0 )

-- λ> propagacion it

-- ( Just 1 Just 0 Just 0 )

-- ( Just 2 Just 1 Just 0 )

propagacion :: Matrix (Maybe Int) -> Matrix (Maybe Int)

propagacion a = matrix m n f

where

m = nrows a

n = ncols a

f (i,j) | isJust x = x

| otherwise = siguiente (minimo (valoresVecinos a (i,j)))

where x = a ! (i,j)

-- (valoresVecinos a p) es la lista de los valores de los vecinos la

-- posición p en la matriz a. Por ejemplo,

-- λ> a = fromList 3 4 [1..]

-- λ> a

-- ( 1 2 3 4 )

-- ( 5 6 7 8 )

-- ( 9 10 11 12 )

-- λ> valoresVecinos a (1,1)

-- [5,2]

-- λ> valoresVecinos a (2,3)

-- [3,11,6,8]

-- λ> valoresVecinos a (2,4)

-- [4,12,7]

valoresVecinos :: Matrix a -> (Int,Int) -> [a]

valoresVecinos a (i,j) = [a ! (k,l) | (k,l) <- vecinos m n (i,j)]

where m = nrows a

n = ncols a

-- (vecinos m n p) es la lista de las posiciones vecinas de la posición

-- p en la matriz a; es decir, los que se encuentran a su izquierda,

-- derecha, arriba o abajo. por ejemplo,

-- vecinos 3 4 (1,1) == [(2,1),(1,2)]

-- vecinos 3 4 (2,3) == [(1,3),(3,3),(2,2),(2,4)]

-- vecinos 3 4 (2,4) == [(1,4),(3,4),(2,3)]

vecinos :: Int -> Int -> (Int,Int) -> [(Int,Int)]

vecinos m n (i,j) = [(i - 1,j) | i > 1] ++

[(i + 1,j) | i < m] ++

[(i, j - 1) | j > 1] ++

[(i, j + 1) | j < n]

-- (minimo xs) es el mínimo de la lista de valores opcionales xs

-- (considerando Nothing como el mayor elemento). Por ejemplo,

-- minimo [Just 3, Nothing, Just 2] == Just 2

minimo :: [Maybe Int] -> Maybe Int

minimo = foldr1 minimo2

-- (minimo2 x y) es el mínimo de los valores opcionales x e y

-- (considerando Nothing como el mayor elemento). Por ejemplo,

-- minimo2 (Just 3) (Just 2) == Just 2

-- minimo2 (Just 1) (Just 2) == Just 1

-- minimo2 (Just 1) Nothing == Just 1

-- minimo2 Nothing (Just 2) == Just 2

-- minimo2 Nothing Nothing == Nothing

minimo2 :: Maybe Int -> Maybe Int -> Maybe Int

minimo2 (Just x) (Just y) = Just (min x y)

minimo2 Nothing (Just y) = Just y

minimo2 (Just x) Nothing = Just x

minimo2 Nothing Nothing = Nothing

-- (siguiente x) es el siguiente elemento del opcional x (considerando

-- Nothing como el infinito). Por ejemplo,

-- siguiente (Just 3) == Just 4

-- siguiente Nothing == Nothing

siguiente :: Maybe Int -> Maybe Int

siguiente (Just x) = Just (1 + x)

siguiente Nothing = Nothing

-- 1ª definición de sumaMinimaDistanciasIdentidad

-- ==============================================

sumaMinimaDistanciasIdentidad :: Int -> Int

sumaMinimaDistanciasIdentidad n =

sum (minimasDistancias (identity n))

-- 2ª definición de sumaMinimaDistanciasIdentidad

-- ==============================================

sumaMinimaDistanciasIdentidad2 :: Int -> Int

sumaMinimaDistanciasIdentidad2 n =

n*(n^2-1) `div` 3

-- Equivalencia de las definiciones de sumaMinimaDistanciasIdentidad

-- =================================================================

-- La propiedad es

prop_MinimaDistanciasIdentidad :: Positive Int -> Bool

prop_MinimaDistanciasIdentidad (Positive n) =

sumaMinimaDistanciasIdentidad n == sumaMinimaDistanciasIdentidad2 n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=50}) prop_MinimaDistanciasIdentidad

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad 50

-- 41650

-- (0.24 secs, 149,395,744 bytes)

-- λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad 100

-- 333300

-- (1.98 secs, 1,294,676,272 bytes)

-- λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad 200

-- 2666600

-- (17.96 secs, 11,094,515,016 bytes)

-- λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad2 50

-- 41650

-- (0.00 secs, 126,944 bytes)

-- λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad2 100

-- 333300

-- (0.00 secs, 126,872 bytes)

-- λ> sumaMinimaDistanciasIdentidad2 200

-- 2666600

-- (0.00 secs, 131,240 bytes)

-- Resumidamente, el tiempo es

-- +-----+---------+--------+

-- | n | 1ª def. | 2ª def |

-- +-----+---------+--------+

-- | 50 | 0.24 | 0.00 |

-- | 100 | 1.98 | 0.00 |

-- | 200 | 17.96 | 0.00 |

-- +-----+---------+--------+

Pensamiento

La primavera ha venido.
Nadie sabe como ha sido.

Antonio Machado

Cálculo de pi mediante la serie de Nilakantha

PorJosé A. Alonso 13-febrero-201925-marzo-2022

Una serie infinita para el cálculo de pi, publicada por Nilakantha en el siglo XV, es

Definir las funciones

   aproximacionPi :: Int -> Double
   tabla          :: FilePath -> [Int] -> IO ()

1 2	aproximacionPi :: Int -> Double tabla :: FilePath -> [Int] -> IO ()

tales que

(aproximacionPi n) es la n-ésima aproximación de pi obtenido sumando los n primeros términos de la serie de Nilakantha. Por ejemplo,

     aproximacionPi 0        ==  3.0
     aproximacionPi 1        ==  3.1666666666666665
     aproximacionPi 2        ==  3.1333333333333333
     aproximacionPi 3        ==  3.145238095238095
     aproximacionPi 4        ==  3.1396825396825396
     aproximacionPi 5        ==  3.1427128427128426
     aproximacionPi 10       ==  3.1414067184965018
     aproximacionPi 100      ==  3.1415924109719824
     aproximacionPi 1000     ==  3.141592653340544
     aproximacionPi 10000    ==  3.141592653589538
     aproximacionPi 100000   ==  3.1415926535897865
     aproximacionPi 1000000  ==  3.141592653589787
     pi                      ==  3.141592653589793

aproximacionPi 0 == 3.0

aproximacionPi 1 == 3.1666666666666665

aproximacionPi 2 == 3.1333333333333333

aproximacionPi 3 == 3.145238095238095

aproximacionPi 4 == 3.1396825396825396

aproximacionPi 5 == 3.1427128427128426

aproximacionPi 10 == 3.1414067184965018

aproximacionPi 100 == 3.1415924109719824

aproximacionPi 1000 == 3.141592653340544

aproximacionPi 10000 == 3.141592653589538

aproximacionPi 100000 == 3.1415926535897865

aproximacionPi 1000000 == 3.141592653589787

pi == 3.141592653589793

(tabla f ns) escribe en el fichero f las n-ésimas aproximaciones de pi, donde n toma los valores de la lista ns, junto con sus errores. Por ejemplo, al evaluar la expresión

     tabla "AproximacionesPi.txt" [0,10..100]

1	tabla "AproximacionesPi.txt" [0,10..100]

hace que el contenido del fichero «AproximacionesPi.txt» sea

+------+----------------+----------------+
| n    | Aproximación   | Error          |
+------+----------------+----------------+
|    0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |
|   10 | 3.141406718497 | 0.000185935093 |
|   20 | 3.141565734659 | 0.000026918931 |
|   30 | 3.141584272675 | 0.000008380915 |
|   40 | 3.141589028941 | 0.000003624649 |
|   50 | 3.141590769850 | 0.000001883740 |
|   60 | 3.141591552546 | 0.000001101044 |
|   70 | 3.141591955265 | 0.000000698325 |
|   80 | 3.141592183260 | 0.000000470330 |
|   90 | 3.141592321886 | 0.000000331704 |
|  100 | 3.141592410972 | 0.000000242618 |
+------+----------------+----------------+

+------+----------------+----------------+

| n | Aproximación | Error |

+------+----------------+----------------+

| 0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |

| 10 | 3.141406718497 | 0.000185935093 |

| 20 | 3.141565734659 | 0.000026918931 |

| 30 | 3.141584272675 | 0.000008380915 |

| 40 | 3.141589028941 | 0.000003624649 |

| 50 | 3.141590769850 | 0.000001883740 |

| 60 | 3.141591552546 | 0.000001101044 |

| 70 | 3.141591955265 | 0.000000698325 |

| 80 | 3.141592183260 | 0.000000470330 |

| 90 | 3.141592321886 | 0.000000331704 |

| 100 | 3.141592410972 | 0.000000242618 |

+------+----------------+----------------+

al evaluar la expresión

     tabla "AproximacionesPi.txt" [0,500..5000]

1	tabla "AproximacionesPi.txt" [0,500..5000]

hace que el contenido del fichero «AproximacionesPi.txt» sea

+------+----------------+----------------+
| n    | Aproximación   | Error          |
+------+----------------+----------------+
|    0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |
|  500 | 3.141592651602 | 0.000000001988 |
| 1000 | 3.141592653341 | 0.000000000249 |
| 1500 | 3.141592653516 | 0.000000000074 |
| 2000 | 3.141592653559 | 0.000000000031 |
| 2500 | 3.141592653574 | 0.000000000016 |
| 3000 | 3.141592653581 | 0.000000000009 |
| 3500 | 3.141592653584 | 0.000000000006 |
| 4000 | 3.141592653586 | 0.000000000004 |
| 4500 | 3.141592653587 | 0.000000000003 |
| 5000 | 3.141592653588 | 0.000000000002 |
+------+----------------+----------------+

+------+----------------+----------------+

| n | Aproximación | Error |

+------+----------------+----------------+

| 0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |

| 500 | 3.141592651602 | 0.000000001988 |

| 1000 | 3.141592653341 | 0.000000000249 |

| 1500 | 3.141592653516 | 0.000000000074 |

| 2000 | 3.141592653559 | 0.000000000031 |

| 2500 | 3.141592653574 | 0.000000000016 |

| 3000 | 3.141592653581 | 0.000000000009 |

| 3500 | 3.141592653584 | 0.000000000006 |

| 4000 | 3.141592653586 | 0.000000000004 |

| 4500 | 3.141592653587 | 0.000000000003 |

| 5000 | 3.141592653588 | 0.000000000002 |

+------+----------------+----------------+

Soluciones

import Text.Printf

-- 1ª solución
-- ===========

aproximacionPi :: Int -> Double
aproximacionPi n = serieNilakantha !! n

serieNilakantha :: [Double]
serieNilakantha = scanl1 (+) terminosNilakantha

terminosNilakantha :: [Double]
terminosNilakantha = zipWith (/) numeradores denominadores
  where numeradores   = 3 : cycle [4,-4]
        denominadores = 1 : [n*(n+1)*(n+2) | n <- [2,4..]]

-- 2ª solución
-- ===========

aproximacionPi2 :: Int -> Double
aproximacionPi2 = aux 3 2 1
  where aux x _ _ 0 = x
        aux x y z m =
          aux (x+4/product[y..y+2]*z) (y+2) (negate z) (m-1)

-- 3ª solución
-- ===========

aproximacionPi3 :: Int -> Double
aproximacionPi3 x =
  3 + sum [(((-1)**(n+1))*4)/(2*n*(2*n+1)*(2*n+2))
          | n <- [1..fromIntegral x]]


-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> aproximacionPi (10^6)
--    3.141592653589787
--    (1.35 secs, 729,373,160 bytes)
--    λ> aproximacionPi2 (10^6)
--    3.141592653589787
--    (2.96 secs, 2,161,766,096 bytes)
--    λ> aproximacionPi3 (10^6)
--    3.1415926535897913
--    (2.02 secs, 1,121,372,536 bytes)

-- Definicioń de tabla
-- ===================

tabla :: FilePath -> [Int] -> IO ()
tabla f ns = writeFile f (tablaAux ns)

tablaAux :: [Int] -> String
tablaAux ns =
     linea
  ++ cabecera
  ++ linea
  ++ concat [printf "| %4d | %.12f | %.12f |\n" n a e
            | n <- ns
            , let a = aproximacionPi n
            , let e = abs (pi - a)]
  ++ linea

linea :: String
linea = "+------+----------------+----------------+\n"

cabecera :: String
cabecera = "| n    | Aproximación   | Error          |\n"

import Text.Printf

-- 1ª solución

-- ===========

aproximacionPi :: Int -> Double

aproximacionPi n = serieNilakantha !! n

serieNilakantha :: [Double]

serieNilakantha = scanl1 (+) terminosNilakantha

terminosNilakantha :: [Double]

terminosNilakantha = zipWith (/) numeradores denominadores

where numeradores = 3 : cycle [4,-4]

denominadores = 1 : [n*(n+1)*(n+2) | n <- [2,4..]]

-- 2ª solución

-- ===========

aproximacionPi2 :: Int -> Double

aproximacionPi2 = aux 3 2 1

where aux x _ _ 0 = x

aux x y z m =

aux (x+4/product[y..y+2]*z) (y+2) (negate z) (m-1)

-- 3ª solución

-- ===========

aproximacionPi3 :: Int -> Double

aproximacionPi3 x =

3 + sum [(((-1)**(n+1))*4)/(2*n*(2*n+1)*(2*n+2))

| n <- [1..fromIntegral x]]

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> aproximacionPi (10^6)

-- 3.141592653589787

-- (1.35 secs, 729,373,160 bytes)

-- λ> aproximacionPi2 (10^6)

-- 3.141592653589787

-- (2.96 secs, 2,161,766,096 bytes)

-- λ> aproximacionPi3 (10^6)

-- 3.1415926535897913

-- (2.02 secs, 1,121,372,536 bytes)

-- Definicioń de tabla

-- ===================

tabla :: FilePath -> [Int] -> IO ()

tabla f ns = writeFile f (tablaAux ns)

tablaAux :: [Int] -> String

tablaAux ns =

linea

++ cabecera

++ linea

++ concat [printf "| %4d | %.12f | %.12f |\n" n a e

| n <- ns

, let a = aproximacionPi n

, let e = abs (pi - a)]

++ linea

linea :: String

linea = "+------+----------------+----------------+\n"

cabecera :: String

cabecera = "| n | Aproximación | Error |\n"

Pensamiento

Bueno es saber que los vasos
nos sirven para beber;
lo malo es que no sabemos
para que sirve la sed.

Antonio Machado

Límites de sucesiones

PorJosé A. Alonso 4-febrero-201911-febrero-2019

El límite de una sucesión, con una aproximación a y una amplitud n, es el primer término x de la sucesión tal que el valor absoluto de x y cualquiera de sus n siguentes elementos es menor que a.

Definir la función

   limite :: [Double] -> Double -> Int -> Double

1	limite :: [Double] -> Double -> Int -> Double

tal que (limite xs a n) es el límite de xs xon aproximación a y amplitud n. Por ejemplo,

   λ> limite [(2*n+1)/(n+5) | n <- [1..]] 0.001 300
   1.993991989319092
   λ> limite [(2*n+1)/(n+5) | n <- [1..]] 1e-6 300
   1.9998260062637745
   λ> limite [(1+1/n)**n | n <- [1..]] 0.001 300
   2.7155953364173175

λ> limite [(2*n+1)/(n+5) | n <- [1..]] 0.001 300

1.993991989319092

λ> limite [(2*n+1)/(n+5) | n <- [1..]] 1e-6 300

1.9998260062637745

λ> limite [(1+1/n)**n | n <- [1..]] 0.001 300

2.7155953364173175

Soluciones

import Data.List (tails)

limite :: [Double] -> Double -> Int -> Double
limite xs a n = 
  head [ x | (x:ys) <- segmentos xs n
       , all (\y ->  abs (y - x) < a) ys]

-- (segmentos xs n) es la lista de los segmentos de la lista infinita xs
-- con n elementos. Por ejemplo,   
--    λ> take 5 (segmentos [1..] 3)
--    [[1,2,3],[2,3,4],[3,4,5],[4,5,6],[5,6,7]]
segmentos :: [a] -> Int -> [[a]]
segmentos xs n = map (take n) (tails xs)

import Data.List (tails)

limite :: [Double] -> Double -> Int -> Double

limite xs a n =

head [ x | (x:ys) <- segmentos xs n

, all (\y -> abs (y - x) < a) ys]

-- (segmentos xs n) es la lista de los segmentos de la lista infinita xs

-- con n elementos. Por ejemplo,

-- λ> take 5 (segmentos [1..] 3)

-- [[1,2,3],[2,3,4],[3,4,5],[4,5,6],[5,6,7]]

segmentos :: [a] -> Int -> [[a]]

segmentos xs n = map (take n) (tails xs)

Pensamiento

De diez cabezas, nueve
embisten y una piensa.
Nunca extrañéis que un bruto
se descuerne luchando por la idea.

Antonio Machado

Aproximación entre pi y e

PorJosé A. Alonso 7-diciembre-201817-enero-2019

El día 11 de noviembre, se publicó en la cuenta de Twitter de Fermat’s Library la siguiente curiosa identidad que relaciona los números e y pi:

Definir las siguientes funciones:

   sumaTerminos :: Int -> Double
   aproximacion :: Double -> Int

1 2	sumaTerminos :: Int -> Double aproximacion :: Double -> Int

tales que

(sumaTerminos n) es la suma de los primeros n términos de la serie 1/(π²+ 1) + 1/(4π²+1) + 1/(9π²+1) + 1/(16π²+ ) + … Por ejemplo,

     sumaTerminos 10     ==  0.14687821811081034
     sumaTerminos 100    ==  0.15550948345688423
     sumaTerminos 1000   ==  0.15641637221314514
     sumaTerminos 10000  ==  0.15650751113789382

sumaTerminos 10 == 0.14687821811081034

sumaTerminos 100 == 0.15550948345688423

sumaTerminos 1000 == 0.15641637221314514

sumaTerminos 10000 == 0.15650751113789382

(aproximación x) es el menor número de términos que hay que sumar de la serie anterior para que se diferencie (en valor absoluto) de 1/(e²-1) menos que x. Por ejemplo,

     aproximacion 0.1     ==  1
     aproximacion 0.01    ==  10
     aproximacion 0.001   ==  101
     aproximacion 0.0001  ==  1013

aproximacion 0.1 == 1

aproximacion 0.01 == 10

aproximacion 0.001 == 101

aproximacion 0.0001 == 1013

Soluciones

-- 1ª definición de sumaTerminos
sumaTerminos :: Int -> Double
sumaTerminos n =
  sum [1 / (((x ^ 2) * (pi ^ 2)) + 1) | x <- [1 .. fromIntegral n]]

-- 2ª definición de sumaTerminos
sumaTerminos2 :: Int -> Double
sumaTerminos2 0 = 0
sumaTerminos2 n = 1 / (m^2 * pi^2 + 1) + sumaTerminos2 (n-1)
  where m = fromIntegral n

-- Definición de aproximacion
aproximacion :: Double -> Int
aproximacion x =
  head [n | n <- [0..]
          , abs (sumaTerminos n - 1 / (e^2 - 1)) < x]
  where e = exp 1

-- 1ª definición de sumaTerminos

sumaTerminos :: Int -> Double

sumaTerminos n =

sum [1 / (((x ^ 2) * (pi ^ 2)) + 1) | x <- [1 .. fromIntegral n]]

-- 2ª definición de sumaTerminos

sumaTerminos2 :: Int -> Double

sumaTerminos2 0 = 0

sumaTerminos2 n = 1 / (m^2 * pi^2 + 1) + sumaTerminos2 (n-1)

where m = fromIntegral n

-- Definición de aproximacion

aproximacion :: Double -> Int

aproximacion x =

head [n | n <- [0..]

, abs (sumaTerminos n - 1 / (e^2 - 1)) < x]

where e = exp 1

Pensamiento

«Sólo sé que no se nada» contenía la jactancia de un excesivo saber, puesto que olvidó añadir: y aun de esto mismo no estoy completamente seguro.

Antonio Machado

Suma de inversos de potencias de cuatro

PorJosé A. Alonso 27-noviembre-201819-enero-2019

Esta semana se ha publicado en Twitter una demostración visual de la suma de inversos de potencias de 4:

   1/4 + 1/4² + 1/4³ + ... = 1/3

1	1/4 + 1/4² + 1/4³ + ... = 1/3

Definir las funciones

   sumaInversosPotenciasDeCuatro :: [Double]
   aproximacion :: Double -> Int

1 2	sumaInversosPotenciasDeCuatro :: [Double] aproximacion :: Double -> Int

tales que

sumaInversosPotenciasDeCuatro es la lista de las suma de la serie de los inversos de las potencias de cuatro. Por ejemplo,

   λ> take 6 sumaInversosPotenciasDeCuatro
   [0.25,0.3125,0.328125,0.33203125,0.3330078125,0.333251953125]

1 2	λ> take 6 sumaInversosPotenciasDeCuatro [0.25,0.3125,0.328125,0.33203125,0.3330078125,0.333251953125]

(aproximacion e) es el menor número de términos de la serie anterior que hay que sumar para que el valor absoluto de su diferencia con 1/3 sea menor que e. Por ejemplo,

   aproximacion 0.001  ==  4
   aproximacion 1e-3   ==  4
   aproximacion 1e-6   ==  9
   aproximacion 1e-20  ==  26
   sumaInversosPotenciasDeCuatro !! 26  ==  0.3333333333333333

aproximacion 0.001 == 4

aproximacion 1e-3 == 4

aproximacion 1e-6 == 9

aproximacion 1e-20 == 26

sumaInversosPotenciasDeCuatro !! 26 == 0.3333333333333333

Soluciones

-- 1ª definición
sumaInversosPotenciasDeCuatro :: [Double]
sumaInversosPotenciasDeCuatro =
  [sum [1 / (4^k) | k <- [1..n]] | n <- [1..]]

-- 2ª definición
sumaInversosPotenciasDeCuatro2 :: [Double]
sumaInversosPotenciasDeCuatro2 =
  [1/4*((1/4)^n-1)/(1/4-1) | n <- [1..]]

-- 3ª definición
sumaInversosPotenciasDeCuatro3 :: [Double]
sumaInversosPotenciasDeCuatro3 =
  [(1 - 0.25^n)/3 | n <- [1..]]

-- 1ª solución  
aproximacion :: Double -> Int
aproximacion e =
  length (takeWhile (>=e) es)
  where es = [abs (1/3 - x) | x <- sumaInversosPotenciasDeCuatro3]

-- 2ª solución  
aproximacion2 :: Double -> Int
aproximacion2 e =
  head [n | (x,n) <- zip es [0..]
          , x < e]
  where es = [abs (1/3 - x) | x <- sumaInversosPotenciasDeCuatro2]

-- 1ª definición

sumaInversosPotenciasDeCuatro :: [Double]

sumaInversosPotenciasDeCuatro =

[sum [1 / (4^k) | k <- [1..n]] | n <- [1..]]

-- 2ª definición

sumaInversosPotenciasDeCuatro2 :: [Double]

sumaInversosPotenciasDeCuatro2 =

[1/4*((1/4)^n-1)/(1/4-1) | n <- [1..]]

-- 3ª definición

sumaInversosPotenciasDeCuatro3 :: [Double]

sumaInversosPotenciasDeCuatro3 =

[(1 - 0.25^n)/3 | n <- [1..]]

-- 1ª solución

aproximacion :: Double -> Int

aproximacion e =

length (takeWhile (>=e) es)

where es = [abs (1/3 - x) | x <- sumaInversosPotenciasDeCuatro3]

-- 2ª solución

aproximacion2 :: Double -> Int

aproximacion2 e =

head [n | (x,n) <- zip es [0..]

, x < e]

where es = [abs (1/3 - x) | x <- sumaInversosPotenciasDeCuatro2]

Pensamiento

Confiamos
en que no será verdad
nada de lo que pensamos.

Antonio Machado

Cálculo de pi mediante la serie de Nilakantha

PorJosé A. Alonso 11-abril-201825-marzo-2022

Una serie infinita para el cálculo de pi, publicada por Nilakantha en el siglo XV, es

Definir las funciones

   aproximacionPi :: Int -> Double
   tabla          :: FilePath -> [Int] -> IO ()

1 2	aproximacionPi :: Int -> Double tabla :: FilePath -> [Int] -> IO ()

tales que

(aproximacionPi n) es la n-ésima aproximación de pi obtenido sumando los n primeros términos de la serie de Nilakantha. Por ejemplo,

     aproximacionPi 0        ==  3.0
     aproximacionPi 1        ==  3.1666666666666665
     aproximacionPi 2        ==  3.1333333333333333
     aproximacionPi 3        ==  3.145238095238095
     aproximacionPi 4        ==  3.1396825396825396
     aproximacionPi 5        ==  3.1427128427128426
     aproximacionPi 10       ==  3.1414067184965018
     aproximacionPi 100      ==  3.1415924109719824
     aproximacionPi 1000     ==  3.141592653340544
     aproximacionPi 10000    ==  3.141592653589538
     aproximacionPi 100000   ==  3.1415926535897865
     aproximacionPi 1000000  ==  3.141592653589787
     pi                      ==  3.141592653589793

aproximacionPi 0 == 3.0

aproximacionPi 1 == 3.1666666666666665

aproximacionPi 2 == 3.1333333333333333

aproximacionPi 3 == 3.145238095238095

aproximacionPi 4 == 3.1396825396825396

aproximacionPi 5 == 3.1427128427128426

aproximacionPi 10 == 3.1414067184965018

aproximacionPi 100 == 3.1415924109719824

aproximacionPi 1000 == 3.141592653340544

aproximacionPi 10000 == 3.141592653589538

aproximacionPi 100000 == 3.1415926535897865

aproximacionPi 1000000 == 3.141592653589787

pi == 3.141592653589793

(tabla f ns) escribe en el fichero f las n-ésimas aproximaciones de pi, donde n toma los valores de la lista ns, junto con sus errores. Por ejemplo, al evaluar la expresión

     tabla "AproximacionesPi.txt" [0,10..100]

1	tabla "AproximacionesPi.txt" [0,10..100]

hace que el contenido del fichero «AproximacionesPi.txt» sea

+------+----------------+----------------+
| n    | Aproximación   | Error          |
+------+----------------+----------------+
|    0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |
|   10 | 3.141406718497 | 0.000185935093 |
|   20 | 3.141565734659 | 0.000026918931 |
|   30 | 3.141584272675 | 0.000008380915 |
|   40 | 3.141589028941 | 0.000003624649 |
|   50 | 3.141590769850 | 0.000001883740 |
|   60 | 3.141591552546 | 0.000001101044 |
|   70 | 3.141591955265 | 0.000000698325 |
|   80 | 3.141592183260 | 0.000000470330 |
|   90 | 3.141592321886 | 0.000000331704 |
|  100 | 3.141592410972 | 0.000000242618 |
+------+----------------+----------------+

+------+----------------+----------------+

| n | Aproximación | Error |

+------+----------------+----------------+

| 0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |

| 10 | 3.141406718497 | 0.000185935093 |

| 20 | 3.141565734659 | 0.000026918931 |

| 30 | 3.141584272675 | 0.000008380915 |

| 40 | 3.141589028941 | 0.000003624649 |

| 50 | 3.141590769850 | 0.000001883740 |

| 60 | 3.141591552546 | 0.000001101044 |

| 70 | 3.141591955265 | 0.000000698325 |

| 80 | 3.141592183260 | 0.000000470330 |

| 90 | 3.141592321886 | 0.000000331704 |

| 100 | 3.141592410972 | 0.000000242618 |

+------+----------------+----------------+

al evaluar la expresión

     tabla "AproximacionesPi.txt" [0,500..5000]

1	tabla "AproximacionesPi.txt" [0,500..5000]

hace que el contenido del fichero «AproximacionesPi.txt» sea

+------+----------------+----------------+
| n    | Aproximación   | Error          |
+------+----------------+----------------+
|    0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |
|  500 | 3.141592651602 | 0.000000001988 |
| 1000 | 3.141592653341 | 0.000000000249 |
| 1500 | 3.141592653516 | 0.000000000074 |
| 2000 | 3.141592653559 | 0.000000000031 |
| 2500 | 3.141592653574 | 0.000000000016 |
| 3000 | 3.141592653581 | 0.000000000009 |
| 3500 | 3.141592653584 | 0.000000000006 |
| 4000 | 3.141592653586 | 0.000000000004 |
| 4500 | 3.141592653587 | 0.000000000003 |
| 5000 | 3.141592653588 | 0.000000000002 |
+------+----------------+----------------+

+------+----------------+----------------+

| n | Aproximación | Error |

+------+----------------+----------------+

| 0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |

| 500 | 3.141592651602 | 0.000000001988 |

| 1000 | 3.141592653341 | 0.000000000249 |

| 1500 | 3.141592653516 | 0.000000000074 |

| 2000 | 3.141592653559 | 0.000000000031 |

| 2500 | 3.141592653574 | 0.000000000016 |

| 3000 | 3.141592653581 | 0.000000000009 |

| 3500 | 3.141592653584 | 0.000000000006 |

| 4000 | 3.141592653586 | 0.000000000004 |

| 4500 | 3.141592653587 | 0.000000000003 |

| 5000 | 3.141592653588 | 0.000000000002 |

+------+----------------+----------------+

Soluciones

import Text.Printf

-- 1ª solución
-- ===========

aproximacionPi :: Int -> Double
aproximacionPi n = serieNilakantha !! n

serieNilakantha :: [Double]
serieNilakantha = scanl1 (+) terminosNilakantha

terminosNilakantha :: [Double]
terminosNilakantha = zipWith (/) numeradores denominadores
  where numeradores   = 3 : cycle [4,-4]
        denominadores = 1 : [n*(n+1)*(n+2) | n <- [2,4..]]

-- 2ª solución
-- ===========

aproximacionPi2 :: Int -> Double
aproximacionPi2 = aux 3 2 1
  where aux x _ _ 0 = x
        aux x y z m =
          aux (x+4/product[y..y+2]*z) (y+2) (negate z) (m-1)

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> aproximacionPi (2*10^5)
--    3.141592653589787
--    (0.82 secs, 145,964,728 bytes)
--    λ> aproximacionPi2 (2*10^5)
--    3.141592653589787
--    (2.27 secs, 432,463,496 bytes)
--    λ> aproximacionPi (3*10^5)
--    3.141592653589787
--    (0.34 secs, 73,056,488 bytes)
--    λ> aproximacionPi2 (3*10^5)
--    3.141592653589787
--    (3.24 secs, 648,603,824 bytes)

-- Definicioń de tabla
-- ===================

tabla :: FilePath -> [Int] -> IO ()
tabla f ns = do
  writeFile f (tablaAux ns)

tablaAux :: [Int] -> String
tablaAux ns =
     linea
  ++ cabecera
  ++ linea
  ++ concat [printf "| %4d | %.12f | %.12f |\n" n a e
            | n <- ns
            , let a = aproximacionPi n
            , let e = abs (pi - a)]
  ++ linea

linea :: String
linea = "+------+----------------+----------------+\n"

cabecera :: String
cabecera = "| n    | Aproximación   | Error          |\n"

import Text.Printf

-- 1ª solución

-- ===========

aproximacionPi :: Int -> Double

aproximacionPi n = serieNilakantha !! n

serieNilakantha :: [Double]

serieNilakantha = scanl1 (+) terminosNilakantha

terminosNilakantha :: [Double]

terminosNilakantha = zipWith (/) numeradores denominadores

where numeradores = 3 : cycle [4,-4]

denominadores = 1 : [n*(n+1)*(n+2) | n <- [2,4..]]

-- 2ª solución

-- ===========

aproximacionPi2 :: Int -> Double

aproximacionPi2 = aux 3 2 1

where aux x _ _ 0 = x

aux x y z m =

aux (x+4/product[y..y+2]*z) (y+2) (negate z) (m-1)

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> aproximacionPi (2*10^5)

-- 3.141592653589787

-- (0.82 secs, 145,964,728 bytes)

-- λ> aproximacionPi2 (2*10^5)

-- 3.141592653589787

-- (2.27 secs, 432,463,496 bytes)

-- λ> aproximacionPi (3*10^5)

-- 3.141592653589787

-- (0.34 secs, 73,056,488 bytes)

-- λ> aproximacionPi2 (3*10^5)

-- 3.141592653589787

-- (3.24 secs, 648,603,824 bytes)

-- Definicioń de tabla

-- ===================

tabla :: FilePath -> [Int] -> IO ()

tabla f ns = do

writeFile f (tablaAux ns)

tablaAux :: [Int] -> String

tablaAux ns =

linea

++ cabecera

++ linea

++ concat [printf "| %4d | %.12f | %.12f |\n" n a e

| n <- ns

, let a = aproximacionPi n

, let e = abs (pi - a)]

++ linea

linea :: String

linea = "+------+----------------+----------------+\n"

cabecera :: String

cabecera = "| n | Aproximación | Error |\n"

La conjetura de Levy

PorJosé A. Alonso 12-marzo-201825-abril-2021

Hyman Levy observó que

    7 = 3 + 2 x 2
    9 = 3 + 2 x 3 =  5 + 2 x 2
   11 = 5 + 2 x 3 =  7 + 2 x 2
   13 = 3 + 2 x 5 =  7 + 2 x 3
   15 = 3 + 2 x 5 = 11 + 2 x 2
   17 = 3 + 2 x 7 =  7 + 2 x 5 = 11 + 2 x 3 = 13 + 2 x 2
   19 = 5 + 2 x 7 = 13 + 2 x 3

7 = 3 + 2 x 2

9 = 3 + 2 x 3 = 5 + 2 x 2

11 = 5 + 2 x 3 = 7 + 2 x 2

13 = 3 + 2 x 5 = 7 + 2 x 3

15 = 3 + 2 x 5 = 11 + 2 x 2

17 = 3 + 2 x 7 = 7 + 2 x 5 = 11 + 2 x 3 = 13 + 2 x 2

19 = 5 + 2 x 7 = 13 + 2 x 3

Definir las siguientes funciones

   descomposicionesLevy :: Integer -> [(Integer,Integer)]
   graficaLevy          :: Integer -> IO ()

1 2	descomposicionesLevy :: Integer -> [(Integer,Integer)] graficaLevy :: Integer -> IO ()

tales que

(descomposicionesLevy x) es la lista de pares de primos (p,q) tales que x = p + 2q. Por ejemplo,

     descomposicionesLevy  7  ==  [(3,2)]
     descomposicionesLevy  9  ==  [(3,3),(5,2)]
     descomposicionesLevy 17  ==  [(3,7),(7,5),(11,3),(13,2)]

descomposicionesLevy 7 == [(3,2)]

descomposicionesLevy 9 == [(3,3),(5,2)]

descomposicionesLevy 17 == [(3,7),(7,5),(11,3),(13,2)]

(graficaLevy n) dibuja los puntos (x,y) tales que x pertenece a [7,9..7+2x(n-1)] e y es el número de descomposiciones de Levy de x. Por ejemplo, (graficaLevy 200) dibuja

Comprobar con QuickCheck la conjetura de Levy.

Soluciones

[schedule on=’2018-03-19′ at=»06:00″]

import Data.Numbers.Primes
import Test.QuickCheck
import Graphics.Gnuplot.Simple

descomposicionesLevy :: Integer -> [(Integer,Integer)]
descomposicionesLevy x =
  [(p,q) | p <- takeWhile (< x) (tail primes)
         , let q = (x - p) `div` 2
         , isPrime q]

-- graficaLevy 300
graficaLevy :: Integer -> IO ()
graficaLevy n =
  plotList [ Key Nothing
           , XRange (7,fromIntegral (7+2*(n-1)))
           , PNG ("La_conjetura_de_Levy-" ++ show n ++ ".png")
           ]
           [(x, length (descomposicionesLevy x)) | x <- [7,9..7+2*(n-1)]] 

-- La propiedad es
prop_Levy :: Integer -> Bool
prop_Levy x =
  not (null (descomposicionesLevy (7 + 2 * abs x)))

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_Levy
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Data.Numbers.Primes

import Test.QuickCheck

import Graphics.Gnuplot.Simple

descomposicionesLevy :: Integer -> [(Integer,Integer)]

descomposicionesLevy x =

[(p,q) | p <- takeWhile (< x) (tail primes)

, let q = (x - p) `div` 2

, isPrime q]

-- graficaLevy 300

graficaLevy :: Integer -> IO ()

graficaLevy n =

plotList [ Key Nothing

, XRange (7,fromIntegral (7+2*(n-1)))

, PNG ("La_conjetura_de_Levy-" ++ show n ++ ".png")

]

[(x, length (descomposicionesLevy x)) | x <- [7,9..7+2*(n-1)]]

-- La propiedad es

prop_Levy :: Integer -> Bool

prop_Levy x =

not (null (descomposicionesLevy (7 + 2 * abs x)))

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_Levy

-- +++ OK, passed 100 tests.

La conjetura de Gilbreath

PorJosé A. Alonso 8-marzo-201825-abril-2021

Partiendo de los 5 primeros números primos y calculando el valor absoluto de la diferencia de cada dos números consecutivos hasta quedarse con un único número se obtiene la siguiente tabla:

   2, 3, 5, 7, 11
   1, 2, 2, 4 
   1, 0, 2
   1, 2 
   1

2, 3, 5, 7, 11

1, 2, 2, 4

1, 0, 2

1, 2

Se observa que todas las filas, salvo la inicial, comienzan con el número 1.

Repitiendo el proceso pero empezando con los 8 primeros números primos se obtiene la siguiente tabla:

   2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 
   1, 2, 2, 4,  2,  4,  2  
   1, 0, 2, 2,  2,  2 
   1, 2, 0, 0,  0 
   1, 2, 0, 0 
   1, 2, 0 
   1, 2 
   1

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2

1, 0, 2, 2, 2, 2

1, 2, 0, 0, 0

1, 2, 0, 0

1, 2, 0

1, 2

Se observa que, de nuevo, todas las filas, salvo la inicial, comienza con el número 1.

El objetivo de este ejercicio es comprobar experimentalmente dicha conjetura.

Para la representación, usaremos la simétrica de la que hemos comentado anteriormente; es decir,

    2
    3, 1
    5, 2, 1
    7, 2, 0, 1
   11, 4, 2, 2, 1
   13, 2, 2, 0, 2, 1
   17, 4, 2, 0, 0, 2, 1
   19, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 1

3, 1

5, 2, 1

7, 2, 0, 1

11, 4, 2, 2, 1

13, 2, 2, 0, 2, 1

17, 4, 2, 0, 0, 2, 1

19, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 1

en la que la primera columna son los números primos y el elemento de la fila i y columna j (con i, j > 1) es el valor absoluto de la diferencia de los elementos (i,j-1) e (i-1,j-1).

Definir las siguientes funciones

   siguiente           :: Integer -> [Integer] -> [Integer]
   triangulo           :: [[Integer]]
   conjetura_Gilbreath :: Int -> Bool

siguiente :: Integer -> [Integer] -> [Integer]

triangulo :: [[Integer]]

conjetura_Gilbreath :: Int -> Bool

tales que

(siguiente x ys) es la línea siguiente de la ys que empieza por x en la tabla de Gilbreath; es decir, si ys es [y1,y2,…,yn], entonces (siguiente x ys) es [x,|y1-x|,|y2-|y1-x||,…] Por ejemplo,

     siguiente  7 [5,2,1]               ==  [7,2,0,1]
     siguiente 29 [23,4,2,0,0,0,0,2,1]  ==  [29,6,2,0,0,0,0,0,2,1]

1 2	siguiente 7 [5,2,1] == [7,2,0,1] siguiente 29 [23,4,2,0,0,0,0,2,1] == [29,6,2,0,0,0,0,0,2,1]

triangulo es el triángulo de Gilbreath. Por ejemplo,

     ghci> take 10 triangulo
     [[ 2],
      [ 3,1],
      [ 5,2,1],
      [ 7,2,0,1],
      [11,4,2,2,1],
      [13,2,2,0,2,1],
      [17,4,2,0,0,2,1],
      [19,2,2,0,0,0,2,1],
      [23,4,2,0,0,0,0,2,1],
      [29,6,2,0,0,0,0,0,2,1]]

ghci> take 10 triangulo

[[ 2],

[ 3,1],

[ 5,2,1],

[ 7,2,0,1],

[11,4,2,2,1],

[13,2,2,0,2,1],

[17,4,2,0,0,2,1],

[19,2,2,0,0,0,2,1],

[23,4,2,0,0,0,0,2,1],

[29,6,2,0,0,0,0,0,2,1]]

(conjeturaGilbreath n) se verifica si se cumple la conjetura de Gilbreath para los n primeros números primos; es decir, en el triángulo de Gilbreath cuya primera columna son los n primeros números primos, todas las filas a partir de la segunda terminan en 1. Por ejemplo,

     ghci> conjeturaGilbreath 1000
     True

1 2	ghci> conjeturaGilbreath 1000 True

Soluciones

import Data.Numbers.Primes

siguiente :: Integer -> [Integer] -> [Integer]
siguiente x ys = scanl (\m n -> abs (m-n)) x ys 

triangulo :: [[Integer]]
triangulo = 
    [2] : [siguiente x ys | (x,ys) <- zip (tail primes) triangulo]

conjeturaGilbreath :: Int -> Bool
conjeturaGilbreath n = all p (tail (take n triangulo))
  where p xs = last xs == 1

import Data.Numbers.Primes

siguiente :: Integer -> [Integer] -> [Integer]

siguiente x ys = scanl (\m n -> abs (m-n)) x ys

triangulo :: [[Integer]]

triangulo =

[2] : [siguiente x ys | (x,ys) <- zip (tail primes) triangulo]

conjeturaGilbreath :: Int -> Bool

conjeturaGilbreath n = all p (tail (take n triangulo))

where p xs = last xs == 1

Máxima distancia en árbol

PorJosé A. Alonso 29-enero-20185-febrero-2018

Los árboles binarios con valores en las hojas y en los nodos se definen por

   data Arbol a = H a
                | N a (Arbol a) (Arbol a) 
     deriving (Eq, Show)

data Arbol a = H a

| N a (Arbol a) (Arbol a)

deriving (Eq, Show)

Por ejemplo, el árbol

         10
        /  \
       /    \
      8      1
     / \    / \
    3   9  2   6

/ \

8 1

/ \ / \

3 9 2 6

se puede representar por

   ejArbol :: Arbol Int
   ejArbol = N 10 (N 8 (H 3) (H 9))
                  (N 1 (H 2) (H 6))

ejArbol :: Arbol Int

ejArbol = N 10 (N 8 (H 3) (H 9))

(N 1 (H 2) (H 6))

La distancia entre un padre y un hijo en el árbol es el valor absoluto de la diferencia de sus valores. Por ejemplo, la distancia de 10 a 8 es 2 y de 1 a 6 es 5.

Definir la función

   maximaDistancia :: (Num a, Ord a) => Arbol a -> a

1	maximaDistancia :: (Num a, Ord a) => Arbol a -> a

tal que (maximaDistancia a) es la máxima distancia entre un padre y un hijo del árbol a. Por ejemplo,

   maximaDistancia ejArbol                                     ==  9
   maximaDistancia (N 1 (N 8 (H 3) (H 9)) (N 1  (H 2) (H 6)))  ==  7
   maximaDistancia (N 8 (N 8 (H 3) (H 9)) (N 10 (H 2) (H 6)))  ==  8

maximaDistancia ejArbol == 9

maximaDistancia (N 1 (N 8 (H 3) (H 9)) (N 1 (H 2) (H 6))) == 7

maximaDistancia (N 8 (N 8 (H 3) (H 9)) (N 10 (H 2) (H 6))) == 8

Soluciones

[schedule expon=’2018-02-05′ expat=»06:00″]

Las soluciones se pueden escribir en los comentarios hasta el 05 de febrero.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=»haskell»> y otra con </pre>

[/schedule]

[schedule on=’2018-02-05′ at=»06:00″]

data Arbol a = H a
             | N a (Arbol a) (Arbol a)
  deriving Show

ejArbol :: Arbol Int
ejArbol = N 10 (N 8 (H 3) (H 9))
               (N 1 (H 2) (H 6))


maximaDistancia :: (Num a, Ord a) => Arbol a -> a
maximaDistancia (H _)     = 0
maximaDistancia (N x i d) = maximum [abs (x - raiz i)
                                    , maximaDistancia i
                                    , abs (x - raiz d)
                                    , maximaDistancia d]
                             
raiz :: Arbol a -> a
raiz (H x)     = x
raiz (N x _ _) = x

data Arbol a = H a

| N a (Arbol a) (Arbol a)

deriving Show

ejArbol :: Arbol Int

ejArbol = N 10 (N 8 (H 3) (H 9))

(N 1 (H 2) (H 6))

maximaDistancia :: (Num a, Ord a) => Arbol a -> a

maximaDistancia (H _) = 0

maximaDistancia (N x i d) = maximum [abs (x - raiz i)

, maximaDistancia i

, abs (x - raiz d)

, maximaDistancia d]

raiz :: Arbol a -> a

raiz (H x) = x

raiz (N x _ _) = x

[/schedule]

Cadenas opuestas

PorJosé A. Alonso 18-diciembre-201725-diciembre-2017

La opuesta de una cadena de letras es la cadena obtenida cambiando las minúsculas por mayúsculas y las minúsculas por mayúsculas. Por ejemplo, la opuesta de «SeViLLa» es «sEvIllA».

Definir la función

   esOpuesta :: String -> String -> Bool

1	esOpuesta :: String -> String -> Bool

tal que (esOpuesta s1 s2) se verifica si las cadenas de letras s1 y s2 son opuestas. Por ejemplo,

   esOpuesta "ab" "AB"      `== True
   esOpuesta "aB" "Ab"      `== True
   esOpuesta "aBcd" "AbCD"  `== True
   esOpuesta "aBcde" "AbCD" `== False
   esOpuesta "AB" "Ab"      `== False
   esOpuesta "" ""          `== True

esOpuesta "ab" "AB" `== True

esOpuesta "aB" "Ab" `== True

esOpuesta "aBcd" "AbCD" `== True

esOpuesta "aBcde" "AbCD" `== False

esOpuesta "AB" "Ab" `== False

esOpuesta "" "" `== True

Soluciones

import Data.Char (isLower, isUpper, ord, toLower, toUpper)

-- 1ª solución (por comprensión)
-- =============================

esOpuesta1 :: String -> String -> Bool
esOpuesta1 s1 s2 = [opuesto c | c <- s1] == s2

opuesto :: Char -> Char
opuesto c
  | isLower c = toUpper c
  | otherwise = toLower c

-- 2ª solución (con map)
-- =====================

esOpuesta2 :: String -> String -> Bool
esOpuesta2 s1 s2 = map opuesto s1 == s2

-- 3ª solución (por recursión)
-- ===========================

esOpuesta3 :: String -> String -> Bool
esOpuesta3 "" ""           = True
esOpuesta3 (c1:s1) (c2:s2) = esOpuesto c1 c2 && esOpuesta3 s1 s2
esOpuesta3 _ _             = False

esOpuesto :: Char -> Char -> Bool
esOpuesto c1 c2 = abs (ord c1 - ord c2) == 32

import Data.Char (isLower, isUpper, ord, toLower, toUpper)

-- 1ª solución (por comprensión)

-- =============================

esOpuesta1 :: String -> String -> Bool

esOpuesta1 s1 s2 = [opuesto c | c <- s1] == s2

opuesto :: Char -> Char

opuesto c

| isLower c = toUpper c

| otherwise = toLower c

-- 2ª solución (con map)

-- =====================

esOpuesta2 :: String -> String -> Bool

esOpuesta2 s1 s2 = map opuesto s1 == s2

-- 3ª solución (por recursión)

-- ===========================

esOpuesta3 :: String -> String -> Bool

esOpuesta3 "" "" = True

esOpuesta3 (c1:s1) (c2:s2) = esOpuesto c1 c2 && esOpuesta3 s1 s2

esOpuesta3 _ _ = False

esOpuesto :: Char -> Char -> Bool

esOpuesto c1 c2 = abs (ord c1 - ord c2) == 32

Distancias entre primos consecutivos

PorJosé A. Alonso 4-abril-201711-abril-2017

Los 15 primeros números primos son

   2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Las distancias entre los elementos consecutivos son

   1, 2, 2, 4, 2,  4,  2,  4,  6,  2,  6,  4,  2,  4

1	1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4

La distribución de las distancias es

   (1,1), (2,6), (4,5), (6,2)

1	(1,1), (2,6), (4,5), (6,2)

(es decir, el 1 aparece una vez, el 2 aparece 6 veces, etc.) La frecuencia de las distancias es

   (1,7.142857), (2,42.857143), (4,35.714287), (6,14.285714)

1	(1,7.142857), (2,42.857143), (4,35.714287), (6,14.285714)

(es decir, el 1 aparece el 7.142857%, el 2 el 42.857143% etc.)

Definir las funciones

  cuentaDistancias        :: Int -> [(Int,Int)]
  frecuenciasDistancias   :: Int -> [(Int,Float)]
  graficas                :: [Int] -> IO ()
  distanciasMasFrecuentes :: Int -> [Int]

cuentaDistancias :: Int -> [(Int,Int)]

frecuenciasDistancias :: Int -> [(Int,Float)]

graficas :: [Int] -> IO ()

distanciasMasFrecuentes :: Int -> [Int]

tales que

(cuentaDistancias n) es la distribución de distancias entre los n primeros primos consecutivos. Por ejemplo,

     λ> cuentaDistancias 15
     [(1,1),(2,6),(4,5),(6,2)]
     λ> cuentaDistancias 100
     [(1,1),(2,25),(4,26),(6,25),(8,7),(10,7),(12,4),(14,3),(18,1)]

λ> cuentaDistancias 15

[(1,1),(2,6),(4,5),(6,2)]

λ> cuentaDistancias 100

[(1,1),(2,25),(4,26),(6,25),(8,7),(10,7),(12,4),(14,3),(18,1)]

(frecuenciasDistancias n) es la frecuencia de distancias entre los n primeros primos consecutivos. Por ejemplo,

     λ> frecuenciasDistancias 15
     [(1,7.142857),(2,42.857143),(4,35.714287),(6,14.285714)]
     λ> frecuenciasDistancias 30
     [(1,3.4482758),(2,34.482758),(4,34.482758),(6,24.137932),(8,3.4482758)]

λ> frecuenciasDistancias 15

[(1,7.142857),(2,42.857143),(4,35.714287),(6,14.285714)]

λ> frecuenciasDistancias 30

[(1,3.4482758),(2,34.482758),(4,34.482758),(6,24.137932),(8,3.4482758)]

(graficas ns) dibuja las gráficas de (frecuenciasDistancias k) para k en ns. Por ejemplo, (graficas [10,20,30]) dibuja

(graficas [1000,2000,3000]) dibuja

y (graficas [100000,200000,300000]) dibuja
(distanciasMasFrecuentes n) es la lista de las distancias más frecuentes entre los elementos consecutivos de la lista de los n primeros primos. Por ejemplo,

     distanciasMasFrecuentes 15     ==  [2]
     distanciasMasFrecuentes 26     ==  [2,4]
     distanciasMasFrecuentes 32     ==  [4]
     distanciasMasFrecuentes 41     ==  [2,4,6]
     distanciasMasFrecuentes 77     ==  [6]
     distanciasMasFrecuentes 160    ==  [4,6]
     distanciasMasFrecuentes (10^6) == [6]

distanciasMasFrecuentes 15 == [2]

distanciasMasFrecuentes 26 == [2,4]

distanciasMasFrecuentes 32 == [4]

distanciasMasFrecuentes 41 == [2,4,6]

distanciasMasFrecuentes 77 == [6]

distanciasMasFrecuentes 160 == [4,6]

distanciasMasFrecuentes (10^6) == [6]

Comprobar con QuickCheck si para todo n > 160 se verifica que (distanciasMasFrecuentes n) es [6].

Soluciones

import Data.Numbers.Primes
import qualified Data.Map as M 
import Graphics.Gnuplot.Simple
import Test.QuickCheck

cuentaDistancias :: Int -> [(Int,Int)]
cuentaDistancias = M.toList . dicDistancias

dicDistancias :: Int -> M.Map Int Int
dicDistancias n =
  M.fromListWith (+) (zip (distancias n) (repeat 1))

distancias :: Int -> [Int]
distancias n =
  zipWith (-) (tail xs) xs
  where xs = take n primes

frecuenciasDistancias :: Int -> [(Int,Float)]
frecuenciasDistancias n =
  [(k,(100 * fromIntegral x) / n1) | (k,x) <- cuentaDistancias n]
  where n1 = fromIntegral (n-1)

graficas :: [Int] -> IO ()
graficas ns =
  plotLists [Key Nothing]
            (map frecuenciasDistancias ns)

distanciasMasFrecuentes :: Int -> [Int]
distanciasMasFrecuentes n =
  M.keys (M.filter (==m) d)
  where d = dicDistancias n
        m = maximum (M.elems d)

-- La propiedad es
prop_distanciasMasFrecuentes :: Int -> Bool
prop_distanciasMasFrecuentes n =
  distanciasMasFrecuentes (161 + abs n) == [6]

import Data.Numbers.Primes

import qualified Data.Map as M

import Graphics.Gnuplot.Simple

import Test.QuickCheck

cuentaDistancias :: Int -> [(Int,Int)]

cuentaDistancias = M.toList . dicDistancias

dicDistancias :: Int -> M.Map Int Int

dicDistancias n =

M.fromListWith (+) (zip (distancias n) (repeat 1))

distancias :: Int -> [Int]

distancias n =

zipWith (-) (tail xs) xs

where xs = take n primes

frecuenciasDistancias :: Int -> [(Int,Float)]

frecuenciasDistancias n =

[(k,(100 * fromIntegral x) / n1) | (k,x) <- cuentaDistancias n]

where n1 = fromIntegral (n-1)

graficas :: [Int] -> IO ()

graficas ns =

plotLists [Key Nothing]

(map frecuenciasDistancias ns)

distanciasMasFrecuentes :: Int -> [Int]

distanciasMasFrecuentes n =

M.keys (M.filter (==m) d)

where d = dicDistancias n

m = maximum (M.elems d)

-- La propiedad es

prop_distanciasMasFrecuentes :: Int -> Bool

prop_distanciasMasFrecuentes n =

distanciasMasFrecuentes (161 + abs n) == [6]

Cálculo de pi mediante la serie de Nilakantha

PorJosé A. Alonso 1-marzo-201726-marzo-2022

Una serie infinita para el cálculo de pi, publicada por Nilakantha en el siglo XV, es

Definir las funciones

   aproximacionPi :: Int -> Double
   tabla          :: FilePath -> [Int] -> IO ()

1 2	aproximacionPi :: Int -> Double tabla :: FilePath -> [Int] -> IO ()

tales que

(aproximacionPi n) es la n-ésima aproximación de pi obtenido sumando los n primeros términos de la serie de Nilakantha. Por ejemplo,

     aproximacionPi 0        ==  3.0
     aproximacionPi 1        ==  3.1666666666666665
     aproximacionPi 2        ==  3.1333333333333333
     aproximacionPi 3        ==  3.145238095238095
     aproximacionPi 4        ==  3.1396825396825396
     aproximacionPi 5        ==  3.1427128427128426
     aproximacionPi 10       ==  3.1414067184965018
     aproximacionPi 100      ==  3.1415924109719824
     aproximacionPi 1000     ==  3.141592653340544
     aproximacionPi 10000    ==  3.141592653589538
     aproximacionPi 100000   ==  3.1415926535897865
     aproximacionPi 1000000  ==  3.141592653589787
     pi                      ==  3.141592653589793

aproximacionPi 0 == 3.0

aproximacionPi 1 == 3.1666666666666665

aproximacionPi 2 == 3.1333333333333333

aproximacionPi 3 == 3.145238095238095

aproximacionPi 4 == 3.1396825396825396

aproximacionPi 5 == 3.1427128427128426

aproximacionPi 10 == 3.1414067184965018

aproximacionPi 100 == 3.1415924109719824

aproximacionPi 1000 == 3.141592653340544

aproximacionPi 10000 == 3.141592653589538

aproximacionPi 100000 == 3.1415926535897865

aproximacionPi 1000000 == 3.141592653589787

pi == 3.141592653589793

(tabla f ns) escribe en el fichero f las n-ésimas aproximaciones de pi, donde n toma los valores de la lista ns, junto con sus errores. Por ejemplo, al evaluar la expresión

     tabla "AproximacionesPi.txt" [0,10..100]

1	tabla "AproximacionesPi.txt" [0,10..100]

hace que el contenido del fichero «AproximacionesPi.txt» sea

+------+----------------+----------------+
| n    | Aproximación   | Error          |
+------+----------------+----------------+
|    0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |
|   10 | 3.141406718497 | 0.000185935093 |
|   20 | 3.141565734659 | 0.000026918931 |
|   30 | 3.141584272675 | 0.000008380915 |
|   40 | 3.141589028941 | 0.000003624649 |
|   50 | 3.141590769850 | 0.000001883740 |
|   60 | 3.141591552546 | 0.000001101044 |
|   70 | 3.141591955265 | 0.000000698325 |
|   80 | 3.141592183260 | 0.000000470330 |
|   90 | 3.141592321886 | 0.000000331704 |
|  100 | 3.141592410972 | 0.000000242618 |
+------+----------------+----------------+

+------+----------------+----------------+

| n | Aproximación | Error |

+------+----------------+----------------+

| 0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |

| 10 | 3.141406718497 | 0.000185935093 |

| 20 | 3.141565734659 | 0.000026918931 |

| 30 | 3.141584272675 | 0.000008380915 |

| 40 | 3.141589028941 | 0.000003624649 |

| 50 | 3.141590769850 | 0.000001883740 |

| 60 | 3.141591552546 | 0.000001101044 |

| 70 | 3.141591955265 | 0.000000698325 |

| 80 | 3.141592183260 | 0.000000470330 |

| 90 | 3.141592321886 | 0.000000331704 |

| 100 | 3.141592410972 | 0.000000242618 |

+------+----------------+----------------+

y al evaluar la expresión

     tabla "AproximacionesPi.txt" [0,500..5000]

1	tabla "AproximacionesPi.txt" [0,500..5000]

hace que el contenido del fichero «AproximacionesPi.txt» sea

+------+----------------+----------------+
| n    | Aproximación   | Error          |
+------+----------------+----------------+
|    0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |
|  500 | 3.141592651602 | 0.000000001988 |
| 1000 | 3.141592653341 | 0.000000000249 |
| 1500 | 3.141592653516 | 0.000000000074 |
| 2000 | 3.141592653559 | 0.000000000031 |
| 2500 | 3.141592653574 | 0.000000000016 |
| 3000 | 3.141592653581 | 0.000000000009 |
| 3500 | 3.141592653584 | 0.000000000006 |
| 4000 | 3.141592653586 | 0.000000000004 |
| 4500 | 3.141592653587 | 0.000000000003 |
| 5000 | 3.141592653588 | 0.000000000002 |
+------+----------------+----------------+

+------+----------------+----------------+

| n | Aproximación | Error |

+------+----------------+----------------+

| 0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |

| 500 | 3.141592651602 | 0.000000001988 |

| 1000 | 3.141592653341 | 0.000000000249 |

| 1500 | 3.141592653516 | 0.000000000074 |

| 2000 | 3.141592653559 | 0.000000000031 |

| 2500 | 3.141592653574 | 0.000000000016 |

| 3000 | 3.141592653581 | 0.000000000009 |

| 3500 | 3.141592653584 | 0.000000000006 |

| 4000 | 3.141592653586 | 0.000000000004 |

| 4500 | 3.141592653587 | 0.000000000003 |

| 5000 | 3.141592653588 | 0.000000000002 |

+------+----------------+----------------+

Nota: Este ejercicio ha sido propuesto por Manuel Herrera.

Referencias

The discovery of the series formula for π by Leibniz, Gregory and Nilakantha por Ranjan Roy.

Soluciones

import Text.Printf

-- 1ª definición
-- =============

aproximacionPi :: Int -> Double
aproximacionPi n = serieNilakantha !! n

serieNilakantha :: [Double]
serieNilakantha = scanl1 (+) terminosNilakantha

terminosNilakantha :: [Double]
terminosNilakantha = zipWith (/) numeradores denominadores
  where numeradores   = 3 : cycle [4,-4]
        denominadores = 1 : [n*(n+1)*(n+2) | n <- [2,4..]]

tabla :: FilePath -> [Int] -> IO ()
tabla f ns = do
  writeFile f (tablaAux ns)

tablaAux :: [Int] -> String
tablaAux ns =
     linea
  ++ cabecera
  ++ linea
  ++ concat [printf "| %4d | %.12f | %.12f |\n" n a e
            | n <- ns
            , let a = aproximacionPi n
            , let e = abs (pi - a)]
  ++ linea

linea :: String
linea = "+------+----------------+----------------+\n"

cabecera :: String
cabecera = "| n    | Aproximación   | Error          |\n"

import Text.Printf

-- 1ª definición

-- =============

aproximacionPi :: Int -> Double

aproximacionPi n = serieNilakantha !! n

serieNilakantha :: [Double]

serieNilakantha = scanl1 (+) terminosNilakantha

terminosNilakantha :: [Double]

terminosNilakantha = zipWith (/) numeradores denominadores

where numeradores = 3 : cycle [4,-4]

denominadores = 1 : [n*(n+1)*(n+2) | n <- [2,4..]]

tabla :: FilePath -> [Int] -> IO ()

tabla f ns = do

writeFile f (tablaAux ns)

tablaAux :: [Int] -> String

tablaAux ns =

linea

++ cabecera

++ linea

++ concat [printf "| %4d | %.12f | %.12f |\n" n a e

| n <- ns

, let a = aproximacionPi n

, let e = abs (pi - a)]

++ linea

linea :: String

linea = "+------+----------------+----------------+\n"

cabecera :: String

cabecera = "| n | Aproximación | Error |\n"

Cálculo de pi usando la fórmula de Vieta

PorJosé A. Alonso 14-febrero-201725-abril-2021

La fórmula de Vieta para el cálculo de pi es la siguiente

Definir las funciones

   aproximacionPi :: Int -> Double
   errorPi :: Double -> Int

1 2	aproximacionPi :: Int -> Double errorPi :: Double -> Int

tales que

(aproximacionPi n) es la aproximación de pi usando n factores de la fórmula de Vieta. Por ejemplo,

     aproximacionPi  5  ==  3.140331156954753
     aproximacionPi 10  ==  3.1415914215112
     aproximacionPi 15  ==  3.141592652386592
     aproximacionPi 20  ==  3.1415926535886207
     aproximacionPi 25  ==  3.141592653589795

aproximacionPi 5 == 3.140331156954753

aproximacionPi 10 == 3.1415914215112

aproximacionPi 15 == 3.141592652386592

aproximacionPi 20 == 3.1415926535886207

aproximacionPi 25 == 3.141592653589795

(errorPi x) es el menor número de factores de la fórmula de Vieta necesarios para obtener pi con un error menor que x. Por ejemplo,

     errorPi 0.1        ==  2
     errorPi 0.01       ==  4
     errorPi 0.001      ==  6
     errorPi 0.0001     ==  7
     errorPi 1e-4       ==  7
     errorPi 1e-14      ==  24
     pi                 ==  3.141592653589793
     aproximacionPi 24  ==  3.1415926535897913

errorPi 0.1 == 2

errorPi 0.01 == 4

errorPi 0.001 == 6

errorPi 0.0001 == 7

errorPi 1e-4 == 7

errorPi 1e-14 == 24

pi == 3.141592653589793

aproximacionPi 24 == 3.1415926535897913

Soluciones

-- 1ª definición de aproximacionPi
aproximacionPi :: Int -> Double
aproximacionPi n = product [2 / aux x | x <- [0..n]]
  where
    aux 0 = 1
    aux 1 = sqrt 2
    aux n = sqrt (2 + aux (n-1))

-- 2ª definición de aproximacionPi
aproximacionPi2 :: Int -> Double
aproximacionPi2 n = product [2/x | x <- 1 : xs] 
  where xs = take n $ iterate (\x -> sqrt (2+x)) (sqrt 2)

-- 3ª definición de aproximaxionPi
aproximacionPi3 :: Int -> Double
aproximacionPi3 n =  product (2 : take n (map (2/) xs))
  where xs = sqrt 2 : [sqrt (2 + x) | x <- xs]

-- 1ª definición de errorPi
errorPi :: Double -> Int
errorPi x = head [n | n <- [1..]
                    , abs (pi - aproximacionPi n) < x]

-- 2ª definición de errorPi
errorPi2 :: Double -> Int
errorPi2 x = until aceptable (+1) 1
  where aceptable n = abs (pi - aproximacionPi n) < x

-- 1ª definición de aproximacionPi

aproximacionPi :: Int -> Double

aproximacionPi n = product [2 / aux x | x <- [0..n]]

where

aux 0 = 1

aux 1 = sqrt 2

aux n = sqrt (2 + aux (n-1))

-- 2ª definición de aproximacionPi

aproximacionPi2 :: Int -> Double

aproximacionPi2 n = product [2/x | x <- 1 : xs]

where xs = take n $ iterate (\x -> sqrt (2+x)) (sqrt 2)

-- 3ª definición de aproximaxionPi

aproximacionPi3 :: Int -> Double

aproximacionPi3 n = product (2 : take n (map (2/) xs))

where xs = sqrt 2 : [sqrt (2 + x) | x <- xs]

-- 1ª definición de errorPi

errorPi :: Double -> Int

errorPi x = head [n | n <- [1..]

, abs (pi - aproximacionPi n) < x]

-- 2ª definición de errorPi

errorPi2 :: Double -> Int

errorPi2 x = until aceptable (+1) 1

where aceptable n = abs (pi - aproximacionPi n) < x

Cálculo de pi usando el producto de Wallis

PorJosé A. Alonso 13-febrero-201720-febrero-2017

El producto de Wallis es una expresión, descubierta por John Wallis en 1655, para representar el valor de π y que establece que:

    π     2     2     4     4     6     6     8     8
   --- = --- · --- · --- · --- · --- · --- · --- · --- ···
    2     1     3     3     5     5     7     7     9

π 2 2 4 4 6 6 8 8

--- = --- · --- · --- · --- · --- · --- · --- · --- ···

2 1 3 3 5 5 7 7 9

Definir las funciones

   factoresWallis  :: [Rational]
   productosWallis :: [Rational]
   aproximacionPi  :: Int -> Double
   errorPi         :: Double -> Int

factoresWallis :: [Rational]

productosWallis :: [Rational]

aproximacionPi :: Int -> Double

errorPi :: Double -> Int

tales que

factoresWallis es la sucesión de los factores del productos de Wallis. Por ejemplo,

     λ> take 10 factoresWallis
     [2 % 1,2 % 3,4 % 3,4 % 5,6 % 5,6 % 7,8 % 7,8 % 9,10 % 9,10 % 11]

1 2	λ> take 10 factoresWallis [2 % 1,2 % 3,4 % 3,4 % 5,6 % 5,6 % 7,8 % 7,8 % 9,10 % 9,10 % 11]

productosWallis es la sucesión de los productos de los primeros factores de Wallis. Por ejemplo,

     λ> take 7 productosWallis
     [2 % 1,4 % 3,16 % 9,64 % 45,128 % 75,256 % 175,2048 % 1225]

1 2	λ> take 7 productosWallis [2 % 1,4 % 3,16 % 9,64 % 45,128 % 75,256 % 175,2048 % 1225]

(aproximacionPi n) es la aproximación de pi obtenida multiplicando los n primeros factores de Wallis. Por ejemplo,

     aproximacionPi 20     ==  3.2137849402931895
     aproximacionPi 200    ==  3.1493784731686008
     aproximacionPi 2000   ==  3.142377365093878
     aproximacionPi 20000  ==  3.141671186534396

aproximacionPi 20 == 3.2137849402931895

aproximacionPi 200 == 3.1493784731686008

aproximacionPi 2000 == 3.142377365093878

aproximacionPi 20000 == 3.141671186534396

(errorPi x) es el menor número de factores de Wallis necesarios para obtener pi con un error menor que x. Por ejemplo,

     errorPi 0.1     ==  14
     errorPi 0.01    ==  155
     errorPi 0.001   ==  1569
     errorPi 0.0001  ==  15707

errorPi 0.1 == 14

errorPi 0.01 == 155

errorPi 0.001 == 1569

errorPi 0.0001 == 15707

Soluciones

import Data.Ratio

factoresWallis :: [Rational]
factoresWallis =
  concat [[y%(y-1),  y%(y+1)] | x <- [1..], let y = 2*x]

productosWallis :: [Rational]
productosWallis = scanl1 (*) factoresWallis

aproximacionPi :: Int -> Double
aproximacionPi n =
  fromRational (2 * productosWallis !! n)

errorPi :: Double -> Int
errorPi x = head [n | n <- [1..]
                    , abs (pi - aproximacionPi n) < x]

-- 2ª definición de errorPi
errorPi2 :: Double -> Int
errorPi2 x =
  length (takeWhile (>=x) [abs (pi - 2 * fromRational y)
                          | y <- productosWallis])

-- 2ª definición de aproximacionPi
aproximacionPi2 :: Int -> Double
aproximacionPi2 n =
  2 * productosWallis2 !! n

productosWallis2 :: [Double]
productosWallis2 = scanl1 (*) factoresWallis2

factoresWallis2 :: [Double]
factoresWallis2 =
  concat [[y/(y-1),  y/(y+1)] | x <- [1..], let y = 2*x]

-- 3ª definición de errorPi
errorPi3 :: Double -> Int
errorPi3 x = head [n | n <- [1..]
                     , abs (pi - aproximacionPi2 n) < x]

-- Comparación de eficiencia
--    λ> errorPi 0.001
--    1569
--    (0.82 secs, 374,495,816 bytes)
--
--    λ> errorPi2 0.001
--    1569
--    (0.79 secs, 369,282,320 bytes)
--
--    λ> errorPi3 0.001
--    1569
--    (0.04 secs, 0 bytes)

import Data.Ratio

factoresWallis :: [Rational]

factoresWallis =

concat [[y%(y-1), y%(y+1)] | x <- [1..], let y = 2*x]

productosWallis :: [Rational]

productosWallis = scanl1 (*) factoresWallis

aproximacionPi :: Int -> Double

aproximacionPi n =

fromRational (2 * productosWallis !! n)

errorPi :: Double -> Int

errorPi x = head [n | n <- [1..]

, abs (pi - aproximacionPi n) < x]

-- 2ª definición de errorPi

errorPi2 :: Double -> Int

errorPi2 x =

length (takeWhile (>=x) [abs (pi - 2 * fromRational y)

| y <- productosWallis])

-- 2ª definición de aproximacionPi

aproximacionPi2 :: Int -> Double

aproximacionPi2 n =

2 * productosWallis2 !! n

productosWallis2 :: [Double]

productosWallis2 = scanl1 (*) factoresWallis2

factoresWallis2 :: [Double]

factoresWallis2 =

concat [[y/(y-1), y/(y+1)] | x <- [1..], let y = 2*x]

-- 3ª definición de errorPi

errorPi3 :: Double -> Int

errorPi3 x = head [n | n <- [1..]

, abs (pi - aproximacionPi2 n) < x]

-- Comparación de eficiencia

-- λ> errorPi 0.001

-- 1569

-- (0.82 secs, 374,495,816 bytes)

-- λ> errorPi2 0.001

-- 1569

-- (0.79 secs, 369,282,320 bytes)

-- λ> errorPi3 0.001

-- 1569

-- (0.04 secs, 0 bytes)

Árboles continuos

PorJosé A. Alonso 25-enero-20171-febrero-2017

Los árboles binarios se pueden representar con el de tipo de dato algebraico

   data Arbol a = H
                | N a (Arbol a) (Arbol a)
     deriving Show

data Arbol a = H

| N a (Arbol a) (Arbol a)

deriving Show

Por ejemplo, los árboles

       3                7     
      / \              / \    
     2   4            5   8   
    / \   \          / \   \  
   1   3   5        6   4   10

3 7

/ \ / \

2 4 5 8

/ \ \ / \ \

1 3 5 6 4 10

se representan por

   ej1, ej2 :: Arbol Int
   ej1 = N 3 (N 2 (N 1 H H) (N 3 H H)) (N 4 H (N 5 H H))
   ej2 = N 7 (N 5 (N 6 H H) (N 4 H H)) (N 8 H (N 10 H H))

ej1, ej2 :: Arbol Int

ej1 = N 3 (N 2 (N 1 H H) (N 3 H H)) (N 4 H (N 5 H H))

ej2 = N 7 (N 5 (N 6 H H) (N 4 H H)) (N 8 H (N 10 H H))

Un árbol binario es continuo si el valor absoluto de la diferencia de los elementos adyacentes es 1. Por ejemplo, el árbol ej1 es continuo ya que el valor absoluto de sus pares de elementos adyacentes son

   |3-2| = |2-1| = |2-3| = |3-4| = |4-5| = 1

1	\|3-2\| = \|2-1\| = \|2-3\| = \|3-4\| = \|4-5\| = 1

En cambio, el ej2 no lo es ya que |8-10| ≠ 1.

Definir la función

   esContinuo :: (Num a, Eq a) => Arbol a -> Bool

1	esContinuo :: (Num a, Eq a) => Arbol a -> Bool

tal que (esContinuo x) se verifica si el árbol x es continuo. Por ejemplo,

   esContinuo ej1  ==  True
   esContinuo ej2  ==  False

1 2	esContinuo ej1 == True esContinuo ej2 == False

Soluciones

data Arbol a = H
             | N a (Arbol a) (Arbol a)
  deriving Show

ej1, ej2 :: Arbol Int
ej1 = N 3 (N 2 (N 1 H H) (N 3 H H)) (N 4 H (N 5 H H))
ej2 = N 7 (N 5 (N 6 H H) (N 4 H H)) (N 8 H (N 10 H H))

-- 1ª solución
-- ===========

esContinuo :: (Num a, Eq a) => Arbol a -> Bool
esContinuo H         = True
esContinuo (N _ H H) = True
esContinuo (N x i@(N y _ _) H) =
  abs (x - y) == 1 && esContinuo i
esContinuo (N x H d@(N y _ _)) =
  abs (x - y) == 1 && esContinuo d
esContinuo (N x i@(N y _ _) d@(N z _ _)) =
  abs (x - y) == 1 && esContinuo i && abs (x - z) == 1 && esContinuo d 

-- 2ª solución
-- ===========

esContinuo2 :: (Num a, Eq a) => Arbol a -> Bool
esContinuo2 x =
  all esContinua (ramas x)

-- (ramas x) es la lista de las ramas del árbol x. Por ejemplo,
--    ramas ej1  ==  [[3,2,1],[3,2,3],[3,4,5]]
--    ramas ej2  ==  [[7,5,6],[7,5,4],[7,8,10]]
ramas :: Arbol a -> [[a]]
ramas H         = []
ramas (N x H H) = [[x]]
ramas (N x i d) = [x : xs | xs <- ramas i ++ ramas d]

-- (esContinua xs) se verifica si el valor absoluto de la diferencia de
-- los elementos adyacentes de xs es 1. Por ejemplo, 
--    esContinua [3,2,3]   ==  True
--    esContinua [7,8,10]  ==  False
esContinua :: (Num a, Eq a) => [a] -> Bool
esContinua xs =
  and [abs (x - y) == 1 | (x, y) <- zip xs (tail xs)]

data Arbol a = H

| N a (Arbol a) (Arbol a)

deriving Show

ej1, ej2 :: Arbol Int

ej1 = N 3 (N 2 (N 1 H H) (N 3 H H)) (N 4 H (N 5 H H))

ej2 = N 7 (N 5 (N 6 H H) (N 4 H H)) (N 8 H (N 10 H H))

-- 1ª solución

-- ===========

esContinuo :: (Num a, Eq a) => Arbol a -> Bool

esContinuo H = True

esContinuo (N _ H H) = True

esContinuo (N x i@(N y _ _) H) =

abs (x - y) == 1 && esContinuo i

esContinuo (N x H d@(N y _ _)) =

abs (x - y) == 1 && esContinuo d

esContinuo (N x i@(N y _ _) d@(N z _ _)) =

abs (x - y) == 1 && esContinuo i && abs (x - z) == 1 && esContinuo d

-- 2ª solución

-- ===========

esContinuo2 :: (Num a, Eq a) => Arbol a -> Bool

esContinuo2 x =

all esContinua (ramas x)

-- (ramas x) es la lista de las ramas del árbol x. Por ejemplo,

-- ramas ej1 == [[3,2,1],[3,2,3],[3,4,5]]

-- ramas ej2 == [[7,5,6],[7,5,4],[7,8,10]]

ramas :: Arbol a -> [[a]]

ramas H = []

ramas (N x H H) = [[x]]

ramas (N x i d) = [x : xs | xs <- ramas i ++ ramas d]

-- (esContinua xs) se verifica si el valor absoluto de la diferencia de

-- los elementos adyacentes de xs es 1. Por ejemplo,

-- esContinua [3,2,3] == True

-- esContinua [7,8,10] == False

esContinua :: (Num a, Eq a) => [a] -> Bool

esContinua xs =

and [abs (x - y) == 1 | (x, y) <- zip xs (tail xs)]

Referencias

Basado en Continuous tree de GeeksforGeeks.

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