La conjetura de Levy

PorJosé A. Alonso 31-marzo-20208-abril-2020

    7 = 3 + 2 x 2
    9 = 3 + 2 x 3 =  5 + 2 x 2
   11 = 5 + 2 x 3 =  7 + 2 x 2
   13 = 3 + 2 x 5 =  7 + 2 x 3
   15 = 3 + 2 x 5 = 11 + 2 x 2
   17 = 3 + 2 x 7 =  7 + 2 x 5 = 11 + 2 x 3 = 13 + 2 x 2
   19 = 5 + 2 x 7 = 13 + 2 x 3

7 = 3 + 2 x 2

9 = 3 + 2 x 3 = 5 + 2 x 2

11 = 5 + 2 x 3 = 7 + 2 x 2

13 = 3 + 2 x 5 = 7 + 2 x 3

15 = 3 + 2 x 5 = 11 + 2 x 2

17 = 3 + 2 x 7 = 7 + 2 x 5 = 11 + 2 x 3 = 13 + 2 x 2

19 = 5 + 2 x 7 = 13 + 2 x 3

y conjeturó que todos los número impares mayores o iguales que 7 se pueden escribir como la suma de un primo y el doble de un primo. El objetivo de los siguientes ejercicios es comprobar la conjetura de Levy.

Definir las siguientes funciones

   descomposicionesLevy :: Integer -> [(Integer,Integer)]
   graficaLevy          :: Integer -> IO ()

1 2	descomposicionesLevy :: Integer -> [(Integer,Integer)] graficaLevy :: Integer -> IO ()

tales que

(descomposicionesLevy x) es la lista de pares de primos (p,q) tales que x = p + 2q. Por ejemplo,

     descomposicionesLevy  7  ==  [(3,2)]
     descomposicionesLevy  9  ==  [(3,3),(5,2)]
     descomposicionesLevy 17  ==  [(3,7),(7,5),(11,3),(13,2)]

descomposicionesLevy 7 == [(3,2)]

descomposicionesLevy 9 == [(3,3),(5,2)]

descomposicionesLevy 17 == [(3,7),(7,5),(11,3),(13,2)]

(graficaLevy n) dibuja los puntos (x,y) tales que x pertenece a [7,9..7+2x(n-1)] e y es el número de descomposiciones de Levy de x. Por ejemplo, (graficaLevy 200) dibuja

Comprobar con QuickCheck la conjetura de Levy.

Soluciones

import Data.Numbers.Primes
import Test.QuickCheck
import Graphics.Gnuplot.Simple

descomposicionesLevy :: Integer -> [(Integer,Integer)]
descomposicionesLevy x =
  [(p,q) | p <- takeWhile (< x) (tail primes)
         , let q = (x - p) `div` 2
         , isPrime q]

graficaLevy :: Integer -> IO ()
graficaLevy n =
  plotList [ Key Nothing
           , XRange (7,fromIntegral (7+2*(n-1)))
           , PNG ("La_conjetura_de_Levy-" ++ show n ++ ".png")
           ]
           [(x, length (descomposicionesLevy x)) | x <- [7,9..7+2*(n-1)]] 

-- La propiedad es
prop_Levy :: Integer -> Bool
prop_Levy x =
  not (null (descomposicionesLevy (7 + 2 * abs x)))

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_Levy
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Data.Numbers.Primes

import Test.QuickCheck

import Graphics.Gnuplot.Simple

descomposicionesLevy :: Integer -> [(Integer,Integer)]

descomposicionesLevy x =

[(p,q) | p <- takeWhile (< x) (tail primes)

, let q = (x - p) `div` 2

, isPrime q]

graficaLevy :: Integer -> IO ()

graficaLevy n =

plotList [ Key Nothing

, XRange (7,fromIntegral (7+2*(n-1)))

, PNG ("La_conjetura_de_Levy-" ++ show n ++ ".png")

]

[(x, length (descomposicionesLevy x)) | x <- [7,9..7+2*(n-1)]]

-- La propiedad es

prop_Levy :: Integer -> Bool

prop_Levy x =

not (null (descomposicionesLevy (7 + 2 * abs x)))

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_Levy

-- +++ OK, passed 100 tests.

Otras soluciones

Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Pensamiento

«Dios creó el número natural, y todo el resto es obra del hombre.»

Leopold Kronecker

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import Data.Numbers.Primes
import Graphics.Gnuplot.Simple
import Test.QuickCheck

descomposicionesLevy :: Integer -> [(Integer,Integer)]
descomposicionesLevy x =
  [(p,q) | p <- takeWhile (<x) primes
         , q <- takeWhile (<div x 2) primes
         , p + 2*q == x]

graficaLevy :: Integer -> IO ()
graficaLevy n = do
  plotList [ Key Nothing, PNG "grafica_levy.png"]
           [(x, length (descomposicionesLevy x)) | x <- [7,9..2*(n-1)]]

conjetura :: Integer -> Property
conjetura n =
  odd n && n >= 7 ==> (not . null) $ descomposicionesLevy n

-- λ> quickCheck conjetura
-- +++ OK, passed 100 tests; 836 discarded.

import Data.Numbers.Primes

import Graphics.Gnuplot.Simple

import Test.QuickCheck

descomposicionesLevy :: Integer -> [(Integer,Integer)]

descomposicionesLevy x =

[(p,q) | p <- takeWhile (<x) primes

, q <- takeWhile (<div x 2) primes

, p + 2*q == x]

graficaLevy :: Integer -> IO ()

graficaLevy n = do

plotList [ Key Nothing, PNG "grafica_levy.png"]

[(x, length (descomposicionesLevy x)) | x <- [7,9..2*(n-1)]]

conjetura :: Integer -> Property

conjetura n =

odd n && n >= 7 ==> (not . null) $ descomposicionesLevy n

-- λ> quickCheck conjetura

-- +++ OK, passed 100 tests; 836 discarded.

Responder

import Data.Numbers.Primes
import Graphics.Gnuplot.Simple
import Test.QuickCheck

descomposicionesLevy :: Integer -> [(Integer,Integer)]
descomposicionesLevy n =
  [(p, q) | q <- takeWhile (<n) primes
          , let p = n - 2*q
          , isPrime p]

graficaLevy :: Integer -> IO ()
graficaLevy n = do
  plotList [ Key Nothing
           , PNG "conjeturaLevy.png"
           ]
           ([ (x, length $ descomposicionesLevy x)
            | n <- [1..n], let x = 7+2*(n-1)])

conjeturaLevy :: Integer -> Property
conjeturaLevy n =
  n > 0 ==> (length $ descomposicionesLevy (7+2*(n-1))) > 0

import Data.Numbers.Primes

import Graphics.Gnuplot.Simple

import Test.QuickCheck

descomposicionesLevy :: Integer -> [(Integer,Integer)]

descomposicionesLevy n =

[(p, q) | q <- takeWhile (<n) primes

, let p = n - 2*q

, isPrime p]

graficaLevy :: Integer -> IO ()

graficaLevy n = do

plotList [ Key Nothing

, PNG "conjeturaLevy.png"

]

([ (x, length $ descomposicionesLevy x)

| n <- [1..n], let x = 7+2*(n-1)])

conjeturaLevy :: Integer -> Property

conjeturaLevy n =

n > 0 ==> (length $ descomposicionesLevy (7+2*(n-1))) > 0

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import Data.Numbers.Primes
import Graphics.Gnuplot.Simple
import Test.QuickCheck

descomposicionesLevy :: Integer -> [(Integer,Integer)]
descomposicionesLevy x =
  [(n,m) | n <- takeWhile (<x) primes
         , m <- takeWhile (<div x 2) primes
         , n + 2*m == x]

graficaLevy :: Integer -> IO ()
graficaLevy n = do
  plotList [Key Nothing, PNG "grafica_levy.png"]
           [(x,length (descomposicionesLevy x)) | x <- [7,9..2*(n-1)]]
  
conjeturaLevy :: Integer -> Property
conjeturaLevy n =
  odd n && n >= 7 ==> (not . null) $ descomposicionesLevy n

-- λ> quickCheck conjeturaLevy
-- +++ OK, passed 100 tests

import Data.Numbers.Primes

import Graphics.Gnuplot.Simple

import Test.QuickCheck

descomposicionesLevy :: Integer -> [(Integer,Integer)]

descomposicionesLevy x =

[(n,m) | n <- takeWhile (<x) primes

, m <- takeWhile (<div x 2) primes

, n + 2*m == x]

graficaLevy :: Integer -> IO ()

graficaLevy n = do

plotList [Key Nothing, PNG "grafica_levy.png"]

[(x,length (descomposicionesLevy x)) | x <- [7,9..2*(n-1)]]

conjeturaLevy :: Integer -> Property

conjeturaLevy n =

odd n && n >= 7 ==> (not . null) $ descomposicionesLevy n

-- λ> quickCheck conjeturaLevy

-- +++ OK, passed 100 tests

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