Menu Close

Conjetura de Lemoine

José A. Alonso,

La conjetura de Lemoine afirma que

Todos los números impares mayores que 5 se pueden escribir de la forma p + 2q donde p y q son números primos. Por ejemplo, 47 = 13 + 2 x 17

Definir las funciones

   descomposicionesLemoine :: Integer -> [(Integer,Integer)]
   graficaLemoine :: Integer -> IO ()

tales que

  • (descomposicionesLemoine n) es la lista de pares de primos (p,q) tales que n = p + 2q. Por ejemplo,
     descomposicionesLemoine 5   ==  []
     descomposicionesLemoine 7   ==  [(3,2)]
     descomposicionesLemoine 9   ==  [(5,2),(3,3)]
     descomposicionesLemoine 21  ==  [(17,2),(11,5),(7,7)]
     descomposicionesLemoine 47  ==  [(43,2),(41,3),(37,5),(13,17)]
     descomposicionesLemoine 33  ==  [(29,2),(23,5),(19,7),(11,11),(7,13)]
     length (descomposicionesLemoine 2625)  ==  133
  • (graficaLemoine n) dibuja la gráfica de los números de descomposiciones de Lemoine para los números impares menores o iguales que n. Por ejemplo, (graficaLemoine n 400) dibuja

Comprobar con QuickCheck la conjetura de Lemoine.

Nota: Basado en Lemoine’s conjecture

Soluciones

import Data.Numbers.Primes (isPrime, primes)
import Graphics.Gnuplot.Simple
import Test.QuickCheck
 
descomposicionesLemoine :: Integer -> [(Integer,Integer)]
descomposicionesLemoine n =
  [(p,q) | q <- takeWhile (<=(n-2) `div` 2) primes
         , let p = n - 2 * q
         , isPrime p]
 
graficaLemoine :: Integer -> IO ()
graficaLemoine n = do
  plotList [ Key Nothing
           , Title "Conjetura de Lemoine"
           , PNG "Conjetura_de_Lemoine.png"
           ]
           [(k,length (descomposicionesLemoine k)) | k <- [1,3..n]]
 
-- La conjetura es
prop_conjeturaLemoine :: Integer -> Bool
prop_conjeturaLemoine n =
  not (null (descomposicionesLemoine n'))
  where n' = 7 + 2 * abs n
 
-- Su comprobación es
--    λ> quickCheck prop_conjeturaLemoine
--    +++ OK, passed 100 tests.

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=»haskell»> y otra con </pre>

Pensamiento

«Todo el mundo sabe lo que es una curva, hasta que ha estudiado suficientes matemáticas para confundirse a través del incontable número de posibles excepciones.»

Felix Klein.

Posted in Inicial
Tagged , , , , , , , , , , , ,

1 Comment

  1. rebgongor
    Responder 
    import Test.QuickCheck
import Data.Numbers.Primes (primes)
import Graphics.Gnuplot.Simple
 
descomposicionesLemoine :: Integer ->[(Integer,Integer)]
descomposicionesLemoine n =
  [(p,q) | p <- primosMenores
         , q <- primosMenores
         , n == p+2*q]
  where primosMenores = takeWhile (<n) primes
 
grafica :: Integer -> IO ()
grafica n =
  plotList [ Key Nothing
           , Title ("graficaDescomposiciones" ++ show n)
           , PNG ("Numero_de _descomposiciones_de_Lemoine.png")
           ]
           (map length (map descomposicionesLemoine [1,3..n]))
 
conjetura :: Integer -> Property
conjetura n = n > 5 && odd n ==> descomposicionesLemoine n /= []
 
-- λ> quickCheck conjetura
-- +++ OK, passed 100 tests.

Escribe tu solución

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.