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Cálculo de pi mediante la serie de Nilakantha

José A. Alonso,

Una serie infinita para el cálculo de pi, publicada por Nilakantha en el siglo XV, es

Definir las funciones

   aproximacionPi :: Int -> Double
   tabla          :: FilePath -> [Int] -> IO ()

tales que

  • (aproximacionPi n) es la n-ésima aproximación de pi obtenido sumando los n primeros términos de la serie de Nilakantha. Por ejemplo, 
     aproximacionPi 0        ==  3.0
     aproximacionPi 1        ==  3.1666666666666665
     aproximacionPi 2        ==  3.1333333333333333
     aproximacionPi 3        ==  3.145238095238095
     aproximacionPi 4        ==  3.1396825396825396
     aproximacionPi 5        ==  3.1427128427128426
     aproximacionPi 10       ==  3.1414067184965018
     aproximacionPi 100      ==  3.1415924109719824
     aproximacionPi 1000     ==  3.141592653340544
     aproximacionPi 10000    ==  3.141592653589538
     aproximacionPi 100000   ==  3.1415926535897865
     aproximacionPi 1000000  ==  3.141592653589787
     pi                      ==  3.141592653589793
  • (tabla f ns) escribe en el fichero f las n-ésimas aproximaciones de pi, donde n toma los valores de la lista ns, junto con sus errores. Por ejemplo, al evaluar la expresión
     tabla "AproximacionesPi.txt" [0,10..100]

hace que el contenido del fichero “AproximacionesPi.txt” sea

+------+----------------+----------------+
| n    | Aproximación   | Error          |
+------+----------------+----------------+
|    0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |
|   10 | 3.141406718497 | 0.000185935093 |
|   20 | 3.141565734659 | 0.000026918931 |
|   30 | 3.141584272675 | 0.000008380915 |
|   40 | 3.141589028941 | 0.000003624649 |
|   50 | 3.141590769850 | 0.000001883740 |
|   60 | 3.141591552546 | 0.000001101044 |
|   70 | 3.141591955265 | 0.000000698325 |
|   80 | 3.141592183260 | 0.000000470330 |
|   90 | 3.141592321886 | 0.000000331704 |
|  100 | 3.141592410972 | 0.000000242618 |
+------+----------------+----------------+

al evaluar la expresión

     tabla "AproximacionesPi.txt" [0,500..5000]

hace que el contenido del fichero “AproximacionesPi.txt” sea

+------+----------------+----------------+
| n    | Aproximación   | Error          |
+------+----------------+----------------+
|    0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |
|  500 | 3.141592651602 | 0.000000001988 |
| 1000 | 3.141592653341 | 0.000000000249 |
| 1500 | 3.141592653516 | 0.000000000074 |
| 2000 | 3.141592653559 | 0.000000000031 |
| 2500 | 3.141592653574 | 0.000000000016 |
| 3000 | 3.141592653581 | 0.000000000009 |
| 3500 | 3.141592653584 | 0.000000000006 |
| 4000 | 3.141592653586 | 0.000000000004 |
| 4500 | 3.141592653587 | 0.000000000003 |
| 5000 | 3.141592653588 | 0.000000000002 |
+------+----------------+----------------+

Soluciones

import Text.Printf
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
aproximacionPi :: Int -> Double
aproximacionPi n = serieNilakantha !! n
 
serieNilakantha :: [Double]
serieNilakantha = scanl1 (+) terminosNilakantha
 
terminosNilakantha :: [Double]
terminosNilakantha = zipWith (/) numeradores denominadores
  where numeradores   = 3 : cycle [4,-4]
        denominadores = 1 : [n*(n+1)*(n+2) | n <- [2,4..]]
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
aproximacionPi2 :: Int -> Double
aproximacionPi2 = aux 3 2 1
  where aux x _ _ 0 = x
        aux x y z m =
          aux (x+4/product[y..y+2]*z) (y+2) (negate z) (m-1)
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
aproximacionPi3 :: Int -> Double
aproximacionPi3 x =
  3 + sum [(((-1)**(n+1))*4)/(2*n*(2*n+1)*(2*n+2))
          | n <- [1..fromIntegral x]]
 
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
--    λ> aproximacionPi (10^6)
--    3.141592653589787
--    (1.35 secs, 729,373,160 bytes)
--    λ> aproximacionPi2 (10^6)
--    3.141592653589787
--    (2.96 secs, 2,161,766,096 bytes)
--    λ> aproximacionPi3 (10^6)
--    3.1415926535897913
--    (2.02 secs, 1,121,372,536 bytes)
 
-- Definicioń de tabla
-- ===================
 
tabla :: FilePath -> [Int] -> IO ()
tabla f ns = writeFile f (tablaAux ns)
 
tablaAux :: [Int] -> String
tablaAux ns =
     linea
  ++ cabecera
  ++ linea
  ++ concat [printf "| %4d | %.12f | %.12f |\n" n a e
            | n <- ns
            , let a = aproximacionPi n
            , let e = abs (pi - a)]
  ++ linea
 
linea :: String
linea = "+------+----------------+----------------+\n"
 
cabecera :: String
cabecera = "| n    | Aproximación   | Error          |\n"

Pensamiento

Bueno es saber que los vasos
nos sirven para beber;
lo malo es que no sabemos
para que sirve la sed.

Antonio Machado

Medio
, , , , , , , ,

5 soluciones de “Cálculo de pi mediante la serie de Nilakantha”

  1. Responder
    frahidzam 
    import Text.Printf (printf)
 
aproximacionPi :: Int -> Double
aproximacionPi x =
  3 + sum [(((-1)**(n+1))*4)/(2*n*(2*n+1)*(2*n+2)) | n <- [1..fromIntegral x]]
 
tabla :: FilePath -> [Int] -> IO ()
tabla f ns = do
  writeFile f (tablaAux ns)
 
tablaAux :: [Int] -> String
tablaAux ns =
     linea
  ++ cabecera
  ++ linea
  ++ concat [printf "| %4d | %.12f | %.12f |n" n a e
            | n <- ns
            , let a = aproximacionPi n
            , let e = abs (pi - a)]
  ++ linea
 
linea :: String
linea = "+------+----------------+----------------+n"
 
cabecera :: String
cabecera = "| n    | Aproximacion   | Error          |n"
  2. Responder
    berarcmat 
    import Text.Printf (printf)
 
aproximacionPi :: Int -> Double
aproximacionPi n = 3 + sum [(-1)**(k/2+1)*4/(k*(k+1)*(k+2))
                           | k <- [2,4..2*fromIntegral n]]
 
tabla :: FilePath -> [Int] -> IO ()
tabla f ns = do
  writeFile f (tablaAproxPiAux ns)
 
tablaAproxPiAux :: [Int] -> String
tablaAproxPiAux ns =
     linea
  ++ cabecera
  ++ linea
  ++ concat [printf "| %2d | %.12f | %.12f |n" n x y
            | n <- ns
            , let x = aproximacionPi n
            , let y = abs (pi - x)]
  ++ linea
 
linea, cabecera :: String
linea    = "+----+----------------+---------------+n"
cabecera = "| n  | Aproximacion   | Error         |n"
  3. Responder
    adogargon 
    import Text.Printf (printf)
 
aproximacionPi :: Int -> Double
aproximacionPi 0 = 3
aproximacionPi n =
  sum [((-1)^(s+1))*4/(k*(k+1)*(k+2))
      | s <- [1..n]
      , let k = 2*fromIntegral s]
  + 3
 
tabla :: FilePath -> [Int] -> IO ()
tabla f xs = do
  writeFile f (tablaAux xs)
 
tablaAux :: [Int] -> String
tablaAux xs =
     linea
  ++ cabecera
  ++ linea
  ++ concat [printf "| %4d | %.12f | %.12f |n" x y z
            | x <- xs
            , let y = aproximacionPi x
            , let z = abs (pi - y)]
  ++ linea
 
linea :: String
linea = "+------+----------------+----------------+n"
 
cabecera :: String
cabecera = "| n    | Aproximacion   | Error          |n"
  4. Responder
    javmarcha1 
    import Text.Printf
 
aproximacionPi :: Int -> Double
aproximacionPi 0 = 3
aproximacionPi n = ((4*(-1)^(n+1))/((2*(d n))*(2*(d n)+1)*(2*(d n)+2))
                    + (aproximacionPi (n-1)))
  where d :: Int -> Double
        d x = fromIntegral x
 
tabla :: FilePath -> [Int] -> IO ()
tabla f ns = do
  writeFile f (tablaAproxPiAux ns)
 
tablaAproxPiAux :: [Int] -> String
tablaAproxPiAux ns =
     linea
  ++ cabecera
  ++ linea
  ++ concat [printf "| %2d | %.12f | %.12f |n" n j k
            | n <- ns
            , let j = aproximacionPi n
            , let k = abs (pi - j)]
  ++ linea
 
linea, cabecera :: String
linea    = "+----+----------------+---------------+n"
cabecera = "| n  | Aproximacion   | Error         |n"
  5. Responder
    luipromor 
    aproximacionPi :: Int -> Double
aproximacionPi n = 3 +  f (take n aux) 0
  where f [] _ = 0
        f (x:xs) 0 = x + f xs 1
        f (x:xs) 1 = -x + f xs 0
        aux = [ 4 / (x*(x+1)*(x+2)) | x <- [2,4..]] 
 
tabla          :: FilePath -> [Int] -> IO () 
tabla f ns = do
  writeFile f (tablaAux ns)
 
tablaAux :: [Int] -> String
tablaAux ns =
     linea
  ++ cabecera
  ++ linea
  ++ concat [printf "| %2d | %.12f | %.12f |n" n x y
            | n <- ns
            , let x = (aproximacionPi n) 
            , let y = abs (pi -x)]
  ++ linea
 
linea :: String
linea    = "+------+----------------+----------------+n"
cabecera :: String
cabecera = "| n    | Aproximacion   | Error          |n"

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