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Divisores de un número

Definir la función

   divisores :: Integer -> [Integer]

tal que divisores n es la lista de los divisores de n. Por ejemplo,

  divisores 30  ==  [1,2,3,5,6,10,15,30]
  length (divisores (product [1..10]))  ==  270
  length (divisores (product [1..25]))  ==  340032

Igualdad de conjuntos

Definir la función

   iguales :: Ord a => [a] -> [a] -> Bool

tal que iguales xs ys se verifica si xs e ys son iguales como conjuntos. Por ejemplo,

   iguales [3,2,3] [2,3]    ==  True
   iguales [3,2,3] [2,3,2]  ==  True
   iguales [3,2,3] [2,3,4]  ==  False
   iguales [2,3] [4,5]      ==  False

Números racionales

Los números racionales pueden representarse mediante pares de números enteros. Por ejemplo, el número 2/5 puede representarse mediante el par (2,5).

Definir las funciones

   formaReducida    :: (Int,Int) -> (Int,Int)
   sumaRacional     :: (Int,Int) -> (Int,Int) -> (Int,Int)
   productoRacional :: (Int,Int) -> (Int,Int) -> (Int,Int)
   igualdadRacional :: (Int,Int) -> (Int,Int) -> Bool

tales que

  • formaReducida x es la forma reducida del número racional x. Por ejemplo,
     formaReducida (4,10)  ==  (2,5)
     formaReducida (0,5)   ==  (0,1)
  • sumaRacional x y es la suma de los números racionales x e y, expresada en forma reducida. Por ejemplo,
     sumaRacional (2,3) (5,6)  ==  (3,2)
     sumaRacional (3,5) (-3,5) ==  (0,1)
  • productoRacional x y es el producto de los números racionales x e y, expresada en forma reducida. Por ejemplo,
     productoRacional (2,3) (5,6)  ==  (5,9)
  • igualdadRacional x y se verifica si los números racionales x e y son iguales. Por ejemplo,
     igualdadRacional (6,9) (10,15)  ==  True
     igualdadRacional (6,9) (11,15)  ==  False
     igualdadRacional (0,2) (0,-5)   ==  True

Comprobar con QuickCheck la propiedad distributiva del producto racional respecto de la suma.

Intersección de intervalos cerrados

Los intervalos cerrados se pueden representar mediante una lista de dos números (el primero es el extremo inferior del intervalo y el segundo el superior).

Definir la función

   interseccion :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]

tal que (interseccion i1 i2) es la intersección de los intervalos i1 e i2. Por ejemplo,

   interseccion [] [3,5]     ==  []
   interseccion [3,5] []     ==  []
   interseccion [2,4] [6,9]  ==  []
   interseccion [2,6] [6,9]  ==  [6,6]
   interseccion [2,6] [0,9]  ==  [2,6]
   interseccion [2,6] [0,4]  ==  [2,4]
   interseccion [4,6] [0,4]  ==  [4,4]
   interseccion [5,6] [0,4]  ==  []

Comprobar con QuickCheck que la intersección de intervalos es conmutativa.

Fórmula de Herón para el área de un triángulo

La fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría, dice que el área de un triángulo cuyo lados miden a, b y c es la raíz cuadrada de s(s-a)(s-b)(s-c) donde s es el semiperímetro

   s = (a+b+c)/2

Definir la función

   area :: Double -> Double -> Double -> Double

tal que (area a b c) es el área del triángulo de lados a, b y c. Por ejemplo,

   area 3 4 5  ==  6.0

Raíces de la ecuación de segundo grado

Definir la función

   raices :: Double -> Double -> Double -> [Double]

tal que (raices a b c) es la lista de las raíces reales de la ecuación ax^2 + bx + c = 0. Por ejemplo,

   raices 1 3 2    ==  [-1.0,-2.0]
   raices 1 (-2) 1 ==  [1.0,1.0]
   raices 1 0 1    ==  []

Comprobar con QuickCheck que la suma de las raíces de la ecuación ax^2 + bx + c = 0 (con a no nulo) es \frac{-b}{a} y su producto es \frac{c}{a}.