Método de Herón para calcular la raíz cuadrada
El método de Herón para calcular la raíz cuadrada de un número se basa en las siguientes propiedades:
- Si \(y\) es una aproximación de la raíz cuadrada de \(x\), entonces
\[\frac{y+\frac{x}{y}}{2}\] es una aproximación mejor. - El límite de la sucesión definida por
\begin{align}
x_{0} &= 1 \\
x_{n+1} &= \frac{x_n+\frac{x}{x_n}}{2}
\end{align}
es la raíz cuadrada de x.
Definir la función
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1 |
raiz :: Double -> Double |
tal que raiz x es la raíz cuadrada de x calculada usando la propiedad anterior con una aproximación de 0.00001 y tomando como valor inicial 1. Por ejemplo,
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1 |
raiz 9 == 3.000000001396984 |
Soluciones
A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.
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module Metodo_de_Heron_para_calcular_la_raiz_cuadrada where import Test.QuickCheck import Test.Hspec (Spec, hspec, it, shouldBe) -- 1ª solución -- =========== raiz :: Double -> Double raiz x = raizAux 1 where raizAux y | aceptable y = y | otherwise = raizAux (mejora y) aceptable y = abs(y*y-x) < 0.00001 mejora y = 0.5*(y+x/y) -- 2ª solución -- =========== raiz2 :: Double -> Double raiz2 x = until aceptable mejora 1 where aceptable y = abs(y*y-x) < 0.00001 mejora y = 0.5*(y+x/y) -- Comprobación de equivalencia -- ============================ -- La propiedad es prop_raiz :: Positive Double -> Bool prop_raiz (Positive x) = raiz x ~= sqrt x && raiz2 x ~= sqrt x where a ~= b = abs (a-b) < 0.001 -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_raiz -- +++ OK, passed 100 tests. -- Verificación -- ============ verifica :: IO () verifica = hspec spec spec :: Spec spec = do it "e1" $ raiz 9 `shouldBe` 3.000000001396984 it "e2" $ raiz2 9 `shouldBe` 3.000000001396984 -- La verificación es -- λ> verifica -- -- e1 -- e2 -- -- Finished in 0.0008 seconds -- 2 examples, 0 failures |
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# 1ª solución # =========== def raiz(x : float) -> float: def aceptable(y: float) -> bool: return abs(y*y-x) < 0.00001 def mejora(y: float) -> float: return 0.5*(y+x/y) def raizAux(y: float) -> float: if aceptable(y): return y return raizAux(mejora(y)) return raizAux(1) # 2ª solución # =========== def raiz2(x: float) -> float: def aceptable(y: float) -> bool: return abs(y*y-x) < 0.00001 def mejora(y: float) -> float: return 0.5*(y+x/y) y = 1.0 while not aceptable(y): y = mejora(y) return y # Verificación # ============ def test_raiz() -> None: assert raiz(9) == 3.000000001396984 assert raiz2(9) == 3.000000001396984 print("Verificado") # La verificación es # >>> test_raiz() # Verificado |