Huecos maximales entre primos

El hueco de un número primo p es la distancia entre p y primo siguiente de p. Por ejemplo, el hueco de 7 es 4 porque el primo siguiente de 7 es 11 y 4 = 11-7. Los huecos de los primeros números son

El hueco de un número primo p es maximal si es mayor que los huecos de todos los números menores que p. Por ejemplo, 4 es un hueco maximal de 7 ya que los huecos de los primos menores que 7 son 1 y 2 y ambos son menores que 4. La tabla de los primeros huecos maximales es

Definir la sucesión

cuyos elementos son los números primos con huecos maximales junto son sus huecos. Por ejemplo,

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La sucesión de Thue-Morse

La serie de Thue-Morse comienza con el término [0] y sus siguientes términos se construyen añadiéndole al anterior su complementario. Los primeros términos de la serie son

De esta forma se va formando una sucesión

que se conoce como la sucesión de Thue-Morse.

Definir la sucesión

cuyos elementos son los de la sucesión de Thue-Morse. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que si s(n) representa el término n-ésimo de la sucesión de Thue-Morse, entonces

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La serie de Thue-Morse

La serie de Thue-Morse comienza con el término [0] y sus siguientes términos se construyen añadiéndole al anterior su complementario (es decir, la lista obtenida cambiando el 0 por 1 y el 1 por 0). Los primeros términos de la serie son

Definir la lista

tal que sus elementos son los términos de la serie de Thue-Morse. Por ejemplo,

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Representaciones de un número como suma de dos cuadrados

Definir la función

tal que representaciones n es la lista de pares de números naturales (x,y) tales que n = x² + y². Por ejemplo.

Comprobar con QuickCheck que un número natural n se puede representar como suma de dos cuadrados si, y sólo si, en la factorización prima de n todos los exponentes de sus factores primos congruentes con 3 módulo 4 son pares.
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Sumas de dos primos

Definir la sucesión

cuyos elementos son los números que se pueden escribir como suma de dos números primos. Por ejemplo,

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