Máxima suma de los caminos en una matriz
Los caminos desde el extremo superior izquierdo (posición (1,1)) hasta el extremo inferior derecho (posición (3,4)) en la matriz
1 2 3 |
( 1 6 11 2 ) ( 7 12 3 8 ) ( 3 8 4 9 ) |
moviéndose en cada paso una casilla hacia la derecha o hacia abajo, son los siguientes:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
[1,6,11,2,8,9] [1,6,11,3,8,9] [1,6,12,3,8,9] [1,7,12,3,8,9] [1,6,11,3,4,9] [1,6,12,3,4,9] [1,7,12,3,4,9] [1,6,12,8,4,9] [1,7,12,8,4,9] [1,7, 3,8,4,9] |
La suma de los caminos son 37, 38, 39, 40, 34, 35, 36, 40, 41 y 32, respectivamente. El camino de máxima suma es el penúltimo (1, 7, 12, 8, 4, 9) que tiene una suma de 41.
Definir la función
1 |
maximaSuma :: Matrix Int -> Int |
tal que maximaSuma m
es el máximo de las sumas de los caminos en la matriz m
desde el extremo superior izquierdo hasta el extremo inferior derecho, moviéndose en cada paso una casilla hacia abajo o hacia a derecha. Por ejemplo,
1 2 3 4 |
λ> maximaSuma (fromLists [[1,6,11,2],[7,12,3,8],[3,8,4,9]]) 41 λ> maximaSuma (fromList 800 800 [1..]) 766721999 |
Soluciones
A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 |
module Maxima_suma_de_los_caminos_en_una_matriz where import Data.Matrix (Matrix, (!), fromList, fromLists, matrix, nrows, ncols) import Test.Hspec (Spec, hspec, it, shouldBe) import Caminos_en_una_matriz (caminos1, caminos2) -- 1ª definicion de maximaSuma (con caminos1) -- ========================================== maximaSuma1 :: Matrix Int -> Int maximaSuma1 = maximum . map sum . caminos1 -- Se usa la función caminos1 del ejercicio -- "Caminos en una matriz" que se encuentra en -- https://bit.ly/45bYoYE -- 2ª definición de maximaSuma (con caminos2) -- ========================================== maximaSuma2 :: Matrix Int -> Int maximaSuma2 = maximum . map sum . caminos2 -- Se usa la función caminos2 del ejercicio -- "Caminos en una matriz" que se encuentra en -- https://bit.ly/45bYoYE -- 3ª definicion de maximaSuma (por recursión) -- =========================================== maximaSuma3 :: Matrix Int -> Int maximaSuma3 m = maximaSuma3Aux m (nf,nc) where nf = nrows m nc = ncols m -- (maximaSuma3Aux m p) calcula la suma máxima de un camino hasta la -- posición p. Por ejemplo, -- λ> maximaSuma3Aux (fromLists [[1,6,11,2],[7,12,3,8],[3,8,4,9]]) (3,4) -- 41 -- λ> maximaSuma3Aux (fromLists [[1,6,11,2],[7,12,3,8],[3,8,4,9]]) (3,3) -- 32 -- λ> maximaSuma3Aux (fromLists [[1,6,11,2],[7,12,3,8],[3,8,4,9]]) (2,4) -- 31 maximaSuma3Aux :: Matrix Int -> (Int,Int) -> Int maximaSuma3Aux m (1,1) = m ! (1,1) maximaSuma3Aux m (1,j) = maximaSuma3Aux m (1,j-1) + m ! (1,j) maximaSuma3Aux m (i,1) = maximaSuma3Aux m (i-1,1) + m ! (i,1) maximaSuma3Aux m (i,j) = max (maximaSuma3Aux m (i,j-1)) (maximaSuma3Aux m (i-1,j)) + m ! (i,j) -- 4ª solución (mediante programación dinámica) -- ============================================ maximaSuma4 :: Matrix Int -> Int maximaSuma4 m = q ! (nf,nc) where nf = nrows m nc = ncols m q = matrizMaximaSuma m -- (matrizMaximaSuma m) es la matriz donde en cada posición p se -- encuentra el máxima de las sumas de los caminos desde (1,1) a p en la -- matriz m. Por ejemplo, -- λ> matrizMaximaSuma (fromLists [[1,6,11,2],[7,12,3,8],[3,8,4,9]]) -- ( 1 7 18 20 ) -- ( 8 20 23 31 ) -- ( 11 28 32 41 ) matrizMaximaSuma :: Matrix Int -> Matrix Int matrizMaximaSuma m = q where nf = nrows m nc = ncols m q = matrix nf nc f where f (1,1) = m ! (1,1) f (1,j) = q ! (1,j-1) + m ! (1,j) f (i,1) = q ! (i-1,1) + m ! (i,1) f (i,j) = max (q ! (i,j-1)) (q ! (i-1,j)) + m ! (i,j) -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> maximaSuma1 (fromList 11 11 [1..]) -- 1781 -- (3.88 secs, 1,525,812,680 bytes) -- λ> maximaSuma2 (fromList 11 11 [1..]) -- 1781 -- (1.08 secs, 546,144,264 bytes) -- λ> maximaSuma3 (fromList 11 11 [1..]) -- 1781 -- (0.55 secs, 217,712,280 bytes) -- λ> maximaSuma4 (fromList 11 11 [1..]) -- 1781 -- (0.01 secs, 643,832 bytes) -- Verificación -- ============ verifica :: IO () verifica = hspec spec spec :: Spec spec = do it "e1" $ maximaSuma1 (fromLists [[1,6,11,2],[7,12,3,8],[3,8,4,9]]) `shouldBe` 41 it "e2" $ maximaSuma1 (fromList 4 4 [1..]) `shouldBe` 73 it "e3" $ maximaSuma2 (fromLists [[1,6,11,2],[7,12,3,8],[3,8,4,9]]) `shouldBe` 41 it "e4" $ maximaSuma2 (fromList 4 4 [1..]) `shouldBe` 73 it "e5" $ maximaSuma3 (fromLists [[1,6,11,2],[7,12,3,8],[3,8,4,9]]) `shouldBe` 41 it "e6" $ maximaSuma3 (fromList 4 4 [1..]) `shouldBe` 73 it "e7" $ maximaSuma4 (fromLists [[1,6,11,2],[7,12,3,8],[3,8,4,9]]) `shouldBe` 41 it "e8" $ maximaSuma4 (fromList 4 4 [1..]) `shouldBe` 73 -- La verificación es -- λ> verifica -- -- e1 -- e2 -- e3 -- e4 -- e5 -- e6 -- e7 -- e8 -- -- Finished in 0.0034 seconds -- 8 examples, 0 failures |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 |
from collections import defaultdict from sys import setrecursionlimit from timeit import Timer, default_timer from src.Caminos_en_una_matriz import caminos1, caminos2 setrecursionlimit(10**6) # 1ª definicion de maximaSuma (con caminos1) # ========================================== def maximaSuma1(m: list[list[int]]) -> int: return max((sum(xs) for xs in caminos1(m))) # Se usa la función caminos1 del ejercicio # "Caminos en una matriz" que se encuentra en # https://bit.ly/45bYoYE # 2ª definición de maximaSuma (con caminos2) # ========================================== def maximaSuma2(m: list[list[int]]) -> int: return max((sum(xs) for xs in caminos2(m))) # Se usa la función caminos2 del ejercicio # "Caminos en una matriz" que se encuentra en # https://bit.ly/45bYoYE # 3ª definicion de maximaSuma (por recursión) # =========================================== def maximaSuma3(m: list[list[int]]) -> int: nf = len(m) nc = len(m[0]) return maximaSuma3Aux(m, (nf,nc)) # (maximaSuma3Aux m p) calcula la suma máxima de un camino hasta la # posición p. Por ejemplo, # λ> maximaSuma3Aux (fromLists [[1,6,11,2],[7,12,3,8],[3,8,4,9]]) (3,4) # 41 # λ> maximaSuma3Aux (fromLists [[1,6,11,2],[7,12,3,8],[3,8,4,9]]) (3,3) # 32 # λ> maximaSuma3Aux (fromLists [[1,6,11,2],[7,12,3,8],[3,8,4,9]]) (2,4) # 31 def maximaSuma3Aux(m: list[list[int]], p: tuple[int, int]) -> int: (i, j) = p if (i, j) == (1, 1): return m[0][0] if i == 1: return maximaSuma3Aux(m, (1,j-1)) + m[0][j-1] if j == 1: return maximaSuma3Aux(m, (i-1,1)) + m[i-1][0] return max(maximaSuma3Aux(m, (i,j-1)), maximaSuma3Aux(m, (i-1,j))) + m[i-1][j-1] # 4ª solución (mediante programación dinámica) # ============================================ def maximaSuma4(p: list[list[int]]) -> int: m = len(p) n = len(p[0]) return diccionarioMaxSuma(p)[(m,n)] # diccionarioMaxSuma(p) es el diccionario cuyas claves son los # puntos de la matriz p y sus valores son las máximas sumas de los # caminos a dichos puntos. Por ejemplo, # diccionarioMaxSuma([[1,6,11,2],[7,12,3,8],[3,8,4,9]]) # defaultdict(<class 'int'>, # {(1, 0): 0, # (1, 1): 1, (1, 2): 7, (1, 3): 18, (1, 4): 20, # (2, 1): 8, (2, 2): 20, (2, 3): 23, (2, 4): 31, # (3, 1): 11, (3, 2): 28, (3, 3): 32, (3, 4): 41}) def diccionarioMaxSuma(p: list[list[int]]) -> dict[tuple[int, int], int]: m = len(p) n = len(p[0]) q: dict[tuple[int, int], int] = defaultdict(int) for i in range(1, m + 1): for j in range(1, n + 1): if i == 1: q[(i, j)] = q[(1,j-1)] + p[0][j-1] elif j == 1: q[(i, j)] = q[(i-1,1)] + p[i-1][0] else: q[(i, j)] = max(q[(i,j-1)], q[(i-1,j)]) + p[i-1][j-1] return q # Comparación de eficiencia # ========================= def tiempo(e: str) -> None: """Tiempo (en segundos) de evaluar la expresión e.""" t = Timer(e, "", default_timer, globals()).timeit(1) print(f"{t:0.2f} segundos") # La comparación es # >>> tiempo('maximaSuma1([list(range(12*n+1, 12*(n+1)+1)) for n in range(12)])') # 4.95 segundos # >>> tiempo('maximaSuma2([list(range(12*n+1, 12*(n+1)+1)) for n in range(12)])') # 1.49 segundos # >>> tiempo('maximaSuma3([list(range(12*n+1, 12*(n+1)+1)) for n in range(12)])') # 0.85 segundos # >>> tiempo('maximaSuma4([list(range(12*n+1, 12*(n+1)+1)) for n in range(12)])') # 0.00 segundos # Verificación # ============ def test_maximaSuma() -> None: assert maximaSuma1([[1,6,11,2],[7,12,3,8],[3,8,4,9]]) == 41 assert maximaSuma2([[1,6,11,2],[7,12,3,8],[3,8,4,9]]) == 41 assert maximaSuma3([[1,6,11,2],[7,12,3,8],[3,8,4,9]]) == 41 assert maximaSuma4([[1,6,11,2],[7,12,3,8],[3,8,4,9]]) == 41 print("Verificado") # La verificación es # >>> test_maximaSuma() # Verificado |