La serie de Thue-Morse

La serie de Thue-Morse comienza con el término [0] y sus siguientes términos se construyen añadiéndole al anterior su complementario (es decir, la lista obtenida cambiando el 0 por 1 y el 1 por 0). Los primeros términos de la serie son

Definir la lista

tal que sus elementos son los términos de la serie de Thue-Morse. Por ejemplo,

Soluciones

El código se encuentra en [GitHub](https://github.com/jaalonso/Exercitium/blob/main/src/

Referencias

Números belgas

Un número n es k-belga si la sucesión cuyo primer elemento es k y cuyos elementos se obtienen sumando reiteradamente las cifras de n contiene a n.

El 18 es 0-belga, porque a partir del 0 vamos a ir sumando sucesivamente 1, 8, 1, 8, … hasta llegar o sobrepasar el 18: 0, 1, 9, 10, 18, … Como se alcanza el 18, resulta que el 18 es 0-belga.

El 19 no es 1-belga, porque a partir del 1 vamos a ir sucesivamente 1, 9, 1, 9, … hasta llegar o sobrepasar el 18: 0, 1, 10, 11, 20, 21, … Como no se alcanza el 19, resulta que el 19 no es 1-belga.

Definir la función

tal que (esBelga k n) se verifica si n es k-belga. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que para todo número entero positivo n, si k es el resto de n entre la suma de los dígitos de n, entonces n es k-belga.

Soluciones

Referencias

Basado en el artículo Números belgas del blog Números y hoja de cálculo de Antonio Roldán Martínez.

El código se encuentra en GitHub.

Huecos maximales entre primos

El hueco de un número primo p es la distancia entre p y primo siguiente de p. Por ejemplo, el hueco de 7 es 4 porque el primo siguiente de 7 es 11 y 4 = 11-7. Los huecos de los primeros números son

El hueco de un número primo p es maximal si es mayor que huecos de todos los números menores que p. Por ejemplo, 4 es un hueco maximal de 7 ya que los huecos de los primos menores que 7 son 1 y 2 y ambos son menores que 4. La tabla de los primeros huecos maximales es

Definir la sucesión

cuyos elementos son los números primos con huecos maximales junto son sus huecos. Por ejemplo,

Soluciones

Referencias

Basado en el ejercicio Maximal prime gaps de
Programming Praxis.

Otras referencias

El código se encuentra en GitHub.

La función indicatriz de Euler

La indicatriz de Euler (también función φ de Euler) es una función importante en teoría de números. Si n es un entero positivo, entonces φ(n) se define como el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n. Por ejemplo, φ(36) = 12 ya que los números menores o iguales a 36 y coprimos con 36 son doce: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, y 35.

Definir la función

tal que (phi n) es igual a φ(n). Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que, para todo n > 0, φ(10^n) tiene n dígitos.

Soluciones

El código se encuentra en GitHub.

Sucesión de suma de cuadrados de los dígitos

Definir la función

tal que (sucSumaCuadradosDigitos n) es la sucesión cuyo primer término es n y los restantes se obtienen sumando los cuadrados de los dígitos de su término anterior. Por ejemplo,

Soluciones

El código se encuentra en GitHub.