Huecos maximales entre primos

El hueco de un número primo p es la distancia entre p y primo siguiente de p. Por ejemplo, el hueco de 7 es 4 porque el primo siguiente de 7 es 11 y 4 = 11-7. Los huecos de los primeros números son

El hueco de un número primo p es maximal si es mayor que los huecos de todos los números menores que p. Por ejemplo, 4 es un hueco maximal de 7 ya que los huecos de los primos menores que 7 son 1 y 2 y ambos son menores que 4. La tabla de los primeros huecos maximales es

Definir la sucesión

cuyos elementos son los números primos con huecos maximales junto son sus huecos. Por ejemplo,

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Números primos de Hilbert

Un número de Hilbert es un entero positivo de la forma 4n+1. Los primeros números de Hilbert son 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97, …

Un primo de Hilbert es un número de Hilbert n que no es divisible por ningún número de Hilbert menor que n (salvo el 1). Los primeros primos de Hilbert son 5, 9, 13, 17, 21, 29, 33, 37, 41, 49, 53, 57, 61, 69, 73, 77, 89, 93, 97, 101, 109, 113, 121, 129, 133, 137, 141, 149, 157, 161, 173, 177, 181, 193, 197, …

Definir la sucesión

tal que sus elementos son los primos de Hilbert. Por ejemplo,

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Suma de los cuadrados de los primeros números naturales

Definir la función

tal que sumaDeCuadrados n es la suma de los cuadrados de los primeros n números; es decir, 1² + 2² + … + n². Por ejemplo,

Soluciones

A continuación se muestran las soluciones en Haskell y las soluciones en Python.


Soluciones en Haskell

El código se encuentra en GitHub.


Soluciones en Python

El código se encuentra en GitHub.

Números de Pentanacci

Los números de Fibonacci se definen mediante las ecuaciones

Los primeros números de Fibonacci son

Una generalización de los anteriores son los números de Pentanacci definidos por las siguientes ecuaciones

Los primeros números de Pentanacci son

Definir la sucesión

cuyos elementos son los números de Pentanacci. Por ejemplo,

Soluciones

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Referencias

Número de representaciones de n como suma de dos cuadrados


Sea n un número natural cuya factorización prima es
$$n = 2^{a} \times p(1)^{b(1)} \times \dots \times p(n)^{b(n)} \times q(1)^{c(1)} \times \dots \times q(m)^{c(m)}$$
donde los p(i) son los divisores primos de n congruentes con 3 módulo 4 y los q(j) son los divisores primos de n congruentes con 1 módulo 4. Entonces, el número de forma de descomponer n como suma de dos
cuadrados es 0, si algún b(i) es impar y es el techo (es decir, el número entero más próximo por exceso) de
$$\frac{(1+c(1)) \times \dots \times (1+c(m))}{2}$$
en caso contrario. Por ejemplo, el número
$$2^{3} \times (3^{9} \times 7^{8}) \times (5^{3} \times 13^{6})$$
no se puede descomponer como sumas de dos cuadrados (porque el exponente de 3 es impar) y el número
$$2^{3} \times (3^{2} \times 7^{8}) \times (5^{3} \times 13^{6})$$
tiene 14 descomposiciones como suma de dos cuadrados (porque los exponentes de 3 y 7 son pares y el techo de
$$\frac{(1+3) \times (1+6)}{2}$$
es 14).

Definir la función

tal que (nRepresentaciones n) es el número de formas de representar n como suma de dos cuadrados. Por ejemplo,

Usando la función representaciones del ejercicio anterior, comprobar con QuickCheck la siguiente propiedad

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Referencias