En los retículos, x ⊓ y = y ⊓ x
Demostrar con Lean4 que en los retículos se verifica que
\[x ⊓ y = y ⊓ x\]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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import Mathlib.Order.Lattice variable {α : Type _} [Lattice α] variable (x y z : α) example : x ⊓ y = y ⊓ x := by sorry |
Demostración en lenguaje natural
Es consecuencia del siguiente lema auxiliar
\[ (∀ a, b)[a ⊓ b ≤ b ⊓ a] \tag{1} \]
En efecto, sustituyendo en (1) \(a\) por \(x\) y \(b\) por \(y\), se tiene
\[ x ⊓ y ≤ y ⊓ x \tag{2} \]
y sustituyendo en (1) \(a\) por \(y\) y \(b\) por \(x\), se tiene
\[ y ⊓ x ≤ x ⊓ y \tag{3} \]
Finalmente, aplicando la propiedad antisimétrica de la divisibilidad a (2) y (3), se tiene
\[ x ⊓ y = y ⊓ x \]
Para demostrar (1), por la definición del ínfimo, basta demostrar las siguientes relaciones
\begin{align}
y ⊓ x &≤ x \\
y ⊓ x &≤ y
\end{align}
y ambas se tienen por la definición del ínfimo.
Demostraciones con Lean4
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import Mathlib.Order.Lattice variable {α : Type _} [Lattice α] variable (x y z : α) -- 1ª demostración del lema auxiliar lemma aux : x ⊓ y ≤ y ⊓ x := by have h1 : x ⊓ y ≤ y := inf_le_right have h2 : x ⊓ y ≤ x := inf_le_left show x ⊓ y ≤ y ⊓ x exact le_inf h1 h2 -- 2ª demostración del lema auxiliar example : x ⊓ y ≤ y ⊓ x := by apply le_inf { apply inf_le_right } { apply inf_le_left } -- 3ª demostración del lema auxiliar example : x ⊓ y ≤ y ⊓ x := le_inf inf_le_right inf_le_left -- 1ª demostración example : x ⊓ y = y ⊓ x := by have h1 : x ⊓ y ≤ y ⊓ x := aux x y have h2 : y ⊓ x ≤ x ⊓ y := aux y x show x ⊓ y = y ⊓ x exact le_antisymm h1 h2 -- 2ª demostración example : x ⊓ y = y ⊓ x := by apply le_antisymm { apply aux } { apply aux } -- 3ª demostración example : x ⊓ y = y ⊓ x := le_antisymm (aux x y) (aux y x) -- 4ª demostración example : x ⊓ y = y ⊓ x := by apply le_antisymm; simp ; simp -- 5ª demostración example : x ⊓ y = y ⊓ x := -- by apply? inf_comm -- Lemas usados -- ============ -- #check (inf_comm : x ⊓ y = y ⊓ x) -- #check (inf_le_left : x ⊓ y ≤ x) -- #check (inf_le_right : x ⊓ y ≤ y) -- #check (le_antisymm : x ≤ y → y ≤ x → x = y) -- #check (le_inf : z ≤ x → z ≤ y → z ≤ x ⊓ y) |
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 20.
