En los retículos, x ⊔ y = y ⊔ x
Demostrar con Lean4 que en los retículos se verifica que
\[x ⊔ y = y ⊔ x\]
para todo \(x\) e \(y\) en el retículo.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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import Mathlib.Order.Lattice variable {α : Type _} [Lattice α] variable (x y z : α) example : x ⊔ y = y ⊔ x := by sorry |
Demostración en lenguaje natural
Es consecuencia del siguiente lema auxiliar
\[ (∀ a, b)[a ⊔ b ≤ b ⊔ a] \tag{1} \]
En efecto, sustituyendo en (1) \(a\) por \(x\) y \(b\) por \(y\), se tiene
\[ x ⊔ y ≤ y ⊔ x \tag{2} \]
y sustituyendo en (1) \(a\) por \(y\) y \(b\) por \(x\), se tiene
\[ y ⊔ x ≤ x ⊔ y \tag{3} \]
Finalmente, aplicando la propiedad antisimétrica de la divisibilidad
a (2) y (3), se tiene
\[ x ⊔ y = y ⊔ x \]
Para demostrar (1), por la definición del supremo, basta demostrar las siguientes relaciones
\begin{align}
x &≤ y ⊔ x \\
y &≤ y ⊔ x
\end{align}
y ambas se tienen por la definición del supremo.
Demostraciones con Lean4
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import Mathlib.Order.Lattice variable {α : Type _} [Lattice α] variable (x y z : α) -- 1ª demostración del lema auxiliar lemma aux : x ⊔ y ≤ y ⊔ x := by have h1 : x ≤ y ⊔ x := le_sup_right have h2 : y ≤ y ⊔ x := le_sup_left show x ⊔ y ≤ y ⊔ x exact sup_le h1 h2 -- 2ª demostración del lema auxiliar example : x ⊔ y ≤ y ⊔ x := by apply sup_le { apply le_sup_right } { apply le_sup_left } -- 3ª demostración del lema auxiliar example : x ⊔ y ≤ y ⊔ x := sup_le le_sup_right le_sup_left -- 1ª demostración example : x ⊔ y = y ⊔ x := by have h1 : x ⊔ y ≤ y ⊔ x := aux x y have h2 : y ⊔ x ≤ x ⊔ y := aux y x show x ⊔ y = y ⊔ x exact le_antisymm h1 h2 -- 2ª demostración example : x ⊔ y = y ⊔ x := by apply le_antisymm { apply aux } { apply aux } -- 3ª demostración example : x ⊔ y = y ⊔ x := le_antisymm (aux x y) (aux y x) -- 4ª demostración example : x ⊔ y = y ⊔ x := by apply le_antisymm; simp ; simp -- 5ª demostración example : x ⊔ y = y ⊔ x := -- by apply? sup_comm -- Lemas usados -- ============ -- #check (le_antisymm : x ≤ y → y ≤ x → x = y) -- #check (le_sup_left : x ≤ x ⊔ y) -- #check (le_sup_right : y ≤ x ⊔ y) -- #check (sup_comm : x ⊔ y = y ⊔ x) -- #check (sup_le : x ≤ z → y ≤ z → x ⊔ y ≤ z) |
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 20.
