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| | == Ejercicios == | | == Ejercicios == |
| − | * [[Ejercicio 1 de Selectividad]].
| + | # [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]]. |
| − | * [[Ejercicio 2 de Selectividad]].
| + | # [[Intersección de una esfera y un plano]]. |
| − | | + | # [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]]. |
| − | === Enunciado===
| + | # [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]]. |
| − | | + | # [[Aplicación del teorema del Valor Medio]]. |
| − | Halla, en función de a, el valor del determinante:
| + | # [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]]. |
| − | | + | # [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]]. |
| − | :<math>\left|
| + | # [[Calcular un determinante 4x4]]. |
| − | \begin{array}{cccc}
| + | # [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]]. |
| − | a & a & a & a \\
| + | # [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]]. |
| − | 2 & a & a & a \\
| + | # [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]]. |
| − | 3 & 2 & a & a \\
| + | # [[Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...]]. |
| − | 4 & 3 & 2 & a
| + | # [[Ejercicio 2.1.4: Calcular la matriz X tal que AX = B, donde...]]. |
| − | \end{array}
| + | # [[Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1]]. |
| − | \right|
| + | # [[Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x]]. |
| − | </math>
| + | # [[Punto simétrico respecto de una recta]]. |
| − | | + | # [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.3.9 de la colección]] |
| − | === Solución===
| + | # [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.1.1 de la colección]] |
| − | | + | # [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.2.4 de la colección]] |
| − | (%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
| + | # [[Ejercicio resuelto de Selectividad. Matemáticas II. Ejercicio 1.1.1]] |
| − | (%i2) determinant(A)$
| + | # [[Tangentes a una curva que pasan por un punto dado]] |
| − | (%i3) ratsimp(%);
| + | # [[Derivabilidad de una función a trozos]] |
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| − | :(%o3) <math>a^4-6*a^3+12*a^2-8*a</math>
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| − | == Ejercicio 3 ==
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| − | === Enunciado===
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| − | Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
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| − | : <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
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| − | x= & -1 & -\lambda \\
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| − | y= & & -\lambda \\
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| − | z= & & 2\lambda
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| − | \end{array}\right.</math>
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| − | : <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>
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| − | === Apartado a===
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| − | Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.
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| − | === Solución===
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| − | El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
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| − | (%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
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| − | prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
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| − | modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
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| − | modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
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| − | float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
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| − | En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):
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| − | (%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
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| − | (%o2) 0.32732683535399
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| − | | |
| − | === Apartado b ===
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| − | Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.
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| − | == Solución==
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| − | | |
| − | Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.
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| − | Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:
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| − | <math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
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| − | x= & -1 & + & 2a \\
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| − | y= & & - & 3a \\
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| − | z= & & & a
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| − | \end{array}\right.</math>
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| − | (%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
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| − | (%o1) [a=1/14]
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| − | (%i2) a:1/14$
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| − | (%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
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| − | (%o3) [-6/7,-3/14,1/14]
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| − | | |
| − | Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:
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| − | <math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
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| − | x= & -2 & + & 2b \\
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| − | y= & -1 & - & 3b \\
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| − | z= & 2 & + & b
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| − | \end{array}\right.</math>
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| − | (%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
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| − | (%o4) [b=-1/7]
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| − | (%i5) b:-1/7$
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| − | (%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
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| − | (%o6) [-16/7,-4/7,13/7]
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| − | | |
| − | El vector director de la recta proyección r' sería:
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| − | | |
| − | (%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
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| − | (%o7) [-10/7,-5/14,25/14]
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| − | | |
| − | Por tanto la recta r' es:
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| − | | |
| − | <math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
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| − | x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
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| − | y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
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| − | z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
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| − | \end{array}\right.</math>
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| − | === Enunciado===
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| − | Halla, en función de a, el valor del determinante:
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| − | :<math>\left|
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| − | \begin{array}{cccc}
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| − | a & a & a & a \\
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| − | 2 & a & a & a \\
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| − | 3 & 2 & a & a \\
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| − | 4 & 3 & 2 & a
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| − | \end{array}
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| − | \right|
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| − | </math>
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| − | === Solución===
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| − | (%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
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| − | (%i2) determinant(A)$
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| − | (%i3) ratsimp(%);
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| − | :(%o3) <math>a^4-6*a^3+12*a^2-8*a</math>
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| − | == Ejercicio 3 ==
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| − | === Enunciado===
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| − | Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
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| − | : <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
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| − | x= & -1 & -\lambda \\
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| − | y= & & -\lambda \\
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| − | z= & & 2\lambda
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| − | \end{array}\right.</math>
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| − | : <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>
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| − | === Apartado a===
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| − | Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>. | |
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| − | === Solución===
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| − | El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
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| − | (%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
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| − | prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
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| − | modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
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| − | modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
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| − | float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
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| − | En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):
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| − | (%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
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| − | (%o2) 0.32732683535399
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| − | === Apartado b ===
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| − | Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.
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| − | == Solución== | |
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| − | Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.
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| − | Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:
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| − | <math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
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| − | x= & -1 & + & 2a \\
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| − | y= & & - & 3a \\
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| − | z= & & & a
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| − | \end{array}\right.</math>
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| − | (%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
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| − | (%o1) [a=1/14]
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| − | (%i2) a:1/14$
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| − | (%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
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| − | (%o3) [-6/7,-3/14,1/14]
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| − | Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:
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| − | <math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
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| − | x= & -2 & + & 2b \\
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| − | y= & -1 & - & 3b \\
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| − | z= & 2 & + & b
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| − | \end{array}\right.</math>
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| − | (%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
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| − | (%o4) [b=-1/7]
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| − | (%i5) b:-1/7$
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| − | (%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
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| − | (%o6) [-16/7,-4/7,13/7]
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| − | | |
| − | El vector director de la recta proyección r' sería:
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| − | | |
| − | (%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
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| − | (%o7) [-10/7,-5/14,25/14]
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| − | | |
| − | Por tanto la recta r' es:
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| − | | |
| − | <math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
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| − | x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
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| − | y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
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| − | z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
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| − | \end{array}\right.</math>
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| − | === Enunciado===
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| − | | |
| − | Halla, en función de a, el valor del determinante:
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| − | :<math>\left|
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| − | \begin{array}{cccc}
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| − | a & a & a & a \\
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| − | 2 & a & a & a \\
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| − | 3 & 2 & a & a \\
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| − | 4 & 3 & 2 & a
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| − | \end{array}
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| − | \right|
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| − | </math>
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| − | === Solución===
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| − | (%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
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| − | (%i2) determinant(A)$
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| − | (%i3) ratsimp(%);
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| − | :(%o3) <math>a^4-6*a^3+12*a^2-8*a</math>
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| − | == Ejercicio 3 == | |
| − | === Enunciado===
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| − | Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
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| − | : <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
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| − | x= & -1 & -\lambda \\
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| − | y= & & -\lambda \\
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| − | z= & & 2\lambda
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| − | \end{array}\right.</math>
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| − | : <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>
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| − | === Apartado a===
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| − | Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.
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| − | === Solución===
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| − | | |
| − | El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
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| − | (%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
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| − | prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
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| − | modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
| |
| − | modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
| |
| − | float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
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| − | En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):
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| − | (%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
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| − | (%o2) 0.32732683535399
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| − | === Apartado b ===
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| − | Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.
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| − | == Solución==
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| − | Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.
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| − | Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:
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| − | <math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
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| − | x= & -1 & + & 2a \\
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| − | y= & & - & 3a \\
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| − | z= & & & a
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| − | \end{array}\right.</math>
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| − | (%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
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| − | (%o1) [a=1/14]
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| − | (%i2) a:1/14$
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| − | (%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
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| − | (%o3) [-6/7,-3/14,1/14]
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| − | Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:
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| − | <math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
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| − | x= & -2 & + & 2b \\
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| − | y= & -1 & - & 3b \\
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| − | z= & 2 & + & b
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| − | \end{array}\right.</math>
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| − | (%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
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| − | (%o4) [b=-1/7]
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| − | (%i5) b:-1/7$
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| − | (%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
| |
| − | (%o6) [-16/7,-4/7,13/7]
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| − | | |
| − | El vector director de la recta proyección r' sería:
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| − | | |
| − | (%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
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| − | (%o7) [-10/7,-5/14,25/14]
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| − | Por tanto la recta r' es:
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| − | | |
| − | <math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
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| − | x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
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| − | y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
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| − | z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
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| − | \end{array}\right.</math>
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