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Diferencia entre revisiones de «Ejercicios de selectividad»

De Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

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(→‎Ejercicios)
 
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== Introducción ==
 
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
 
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
 
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
 
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
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* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]
 
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]
  
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== Enunciado==
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== Ejercicios ==
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# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
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Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.
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# [[Intersección de una esfera y un plano]].
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# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
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a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.
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# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
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# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
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b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.
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# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
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# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
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c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
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# [[Calcular un determinante 4x4]].
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(X,C dadas a continuación).
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# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
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# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
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(%i1) A: matrix(
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# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
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[1,2,t],
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# [[Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...]].
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[1,-1,-1]
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# [[Ejercicio 2.1.4: Calcular la matriz X tal que AX = B, donde...]].
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);
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# [[Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1]].
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# [[Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x]].
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(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
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# [[Punto simétrico respecto de una recta]].
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(%i2) B: matrix(
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# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.3.9 de la colección]]
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[1,3],
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# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.1.1 de la colección]]
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[t,0],
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# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.2.4 de la colección]]
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[0,2]
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# [[Ejercicio resuelto de Selectividad. Matemáticas II. Ejercicio 1.1.1]]
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);
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# [[Tangentes a una curva que pasan por un punto dado]]
−
 
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# [[Derivabilidad de una función a trozos]]
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(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])
 
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(%i3) X: matrix(
 
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[x],
 
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[y],
 
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[z]
 
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);
 
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(%o3) matrix([x],[y],[z])
 
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(%i4) C: matrix(
 
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[a],
 
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[b]
 
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);
 
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(%o4) matrix([a],[b])
 
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== Solución==
 
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a)Encontrar los valores de t  para los que AB es invertible.
 
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Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
 
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de 0.
 
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A continuación calcularemos el producto  AB.
 
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(%i5) A.B;
 
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(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])
 
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(%i6) determinant(%);
 
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(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1
 
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−
(%i7)ratsimp(%);
 
−
 
 
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(%o7) 2*t^2+3*t-2
 
−
 
 
−
Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
 
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invertible.
 
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(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);
 
−
 
 
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(%o8) [t=-2,t=1/2]
 
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Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.
 
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b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.
 
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(%i9) B.A;
 
−
 
 
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(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])
 
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(%i10) determinant(%);
 
−
 
 
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(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t
 
−
 
 
−
(%i11) ratsimp(%);
 
−
 
 
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(%o11) 0
 
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La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
 
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c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.
 
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−
Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de  
 
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incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
 
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tanto su rango no puede ser mayor que 2.
 
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== Enunciado==
 
−
 
 
−
* [[Ejercicio 2: Halla, en función de a, el valor del determinante:
 
−
      <math>\left|\begin{array}{cccc}
 
−
              a & a & a & a \\
 
−
              2 & a & a & a \\
 
−
              3 & 2 & a & a \\
 
−
              4 & 3 & 2 & a
 
−
              \end{array}\right|</math> ]]
 
−
 
 
−
== Solución==
 
−
 
 
−
(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
 
−
 
 
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(%i2) determinant(A)$
 
−
 
 
−
(%i3) ratsimp(%);
 
−
 
 
−
(%o3) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a
 
−
 
 
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== Enunciado==
 
−
 
 
−
*[[Ejercicio 3: Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
 
−
    <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
 
−
                    x= & -1 & -\lambda \\
 
−
                    y= &    & -\lambda \\
 
−
                    z= &    & 2\lambda
 
−
                    \end{array}\right.</math>
 
−
 
 
−
    <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0  </math>
 
−
 
 
−
== Apartado a==
 
−
  Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.
 
−
 
 
−
== Solución==
 
−
 
 
−
El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
 
−
 
 
−
      (%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
 
−
      prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
 
−
      modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
 
−
      modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
 
−
      float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
 
−
 
 
−
En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es(2,-3,1):
 
−
 
 
−
(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
 
−
 
 
−
(%o2) 0.32732683535399
 
−
 
 
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== Apartado b==
 
−
 
 
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  Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.
 
−
 
 
−
== Solución==
 
−
 
 
−
Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.
 
−
 
 
−
Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:
 
−
 
 
−
<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
 
−
                    x= & -1 & + & 2a \\
 
−
                    y= &    & - & 3a \\
 
−
                    z= &    & & a
 
−
                    \end{array}\right.</math>
 
−
 
 
−
    (%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
 
−
    (%o1) [a=1/14]
 
−
    (%i2) a:1/14$
 
−
    (%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
 
−
    (%o3) [-6/7,-3/14,1/14]
 
−
 
 
−
Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:
 
−
 
 
−
<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
 
−
                    x= & -2 & + & 2b \\
 
−
                    y= & -1 & - & 3b \\
 
−
                    z= &  2 & + & b
 
−
                    \end{array}\right.</math>
 
−
 
 
−
    (%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
 
−
    (%o4) [b=-1/7]
 
−
    (%i5) b:-1/7$
 
−
    (%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
 
−
    (%o6) [-16/7,-4/7,13/7]
 
−
 
 
−
El vector director de la recta proyección r' sería:
 
−
 
 
−
    (%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
 
−
    (%o7) [-10/7,-5/14,25/14]
 
−
 
 
−
Por tanto la recta r' es:
 
−
 
 
−
<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
 
−
                    x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u  \\
 
−
                    y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u  \\
 
−
                    z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
 
−
                    \end{array}\right.</math>
 

Revisión actual del 16:15 8 may 2011

Introducción

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en

Ejercicios

  1. Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros.
  2. Intersección de una esfera y un plano.
  3. Hallar el ángulo que forman una recta y un plano.
  4. Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos.
  5. Aplicación del teorema del Valor Medio.
  6. Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo.
  7. Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx).
  8. Calcular un determinante 4x4.
  9. Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones.
  10. Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2.
  11. Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre.
  12. Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde....
  13. Ejercicio 2.1.4: Calcular la matriz X tal que AX = B, donde....
  14. Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1.
  15. Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x.
  16. Punto simétrico respecto de una recta.
  17. Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.3.9 de la colección
  18. Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.1.1 de la colección
  19. Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.2.4 de la colección
  20. Ejercicio resuelto de Selectividad. Matemáticas II. Ejercicio 1.1.1
  21. Tangentes a una curva que pasan por un punto dado
  22. Derivabilidad de una función a trozos
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