Diferencia entre revisiones de «Ejercicios de selectividad»

De Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

Revisión actual del 16:15 8 may 2011

Introducción

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en

Colección de Eduardo Ramos.
Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas.
Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II

Ejercicios

Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros.
Intersección de una esfera y un plano.
Hallar el ángulo que forman una recta y un plano.
Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos.
Aplicación del teorema del Valor Medio.
Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo.
Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx).
Calcular un determinante 4x4.
Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones.
Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2.
Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre.
Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde....
Ejercicio 2.1.4: Calcular la matriz X tal que AX = B, donde....
Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1.
Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x.
Punto simétrico respecto de una recta.
Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.3.9 de la colección
Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.1.1 de la colección
Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.2.4 de la colección
Ejercicio resuelto de Selectividad. Matemáticas II. Ejercicio 1.1.1
Tangentes a una curva que pasan por un punto dado
Derivabilidad de una función a trozos

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+== Introducción ==
 En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
 * [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
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 * [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]
-== Ejercicio==
+== Ejercicios ==
-#[[Producto e invertibilidad de matrices]]
+# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
+# [[Intersección de una esfera y un plano]].
-== Soluciones ==
+# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
-# [[Sistemas de ecuaciones]].
+# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
+# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
-Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.
+# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
+# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
-a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.
+# [[Calcular un determinante 4x4]].
-b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.
+# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
-c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
+# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
-(X,C dadas a continuación).
+# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
-(%i1) A: matrix(
+# [[Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...]].
- [1,2,t],
+# [[Ejercicio 2.1.4: Calcular la matriz X tal que AX = B, donde...]].
- [1,-1,-1]
+# [[Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1]].
-);
+# [[Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x]].
-(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
+# [[Punto simétrico respecto de una recta]].
-(%i2) B: matrix(
+# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.3.9 de la colección]]
- [1,3],
+# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.1.1 de la colección]]
- [t,0],
+# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.2.4 de la colección]]
- [0,2]
+# [[Ejercicio resuelto de Selectividad. Matemáticas II. Ejercicio 1.1.1]]
-);
+# [[Tangentes a una curva que pasan por un punto dado]]
-(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])
+# [[Derivabilidad de una función a trozos]]
-(%i3) X: matrix(
- [x],
- [y],
- [z]
-);
-(%o3) matrix([x],[y],[z])
-(%i4) C: matrix(
- [a],
- [b]
-);
-(%o4) matrix([a],[b])
-a)Encontrar los valores de t  para los que AB es invertible.
-Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
-de 0.
-A continuación calcularemos el producto  AB.
-(%i5) A.B;
-(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])
-(%i6) determinant(%);
-(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1
-(%i7)ratsimp(%);
-(%o7) 2*t^2+3*t-2
-Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
-invertible.
-(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);
-(%o8) [t=-2,t=1/2]
-Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.
-b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.
-(%i9) B.A;
-(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])
-(%i10) determinant(%);
-(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t
-(%i11) ratsimp(%);
-(%o11) 0
-La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
-c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
-(X,C dadas a continuación).
-Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
-incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
-tanto su rango no puede ser mayor que 2.