Diferencia entre revisiones de «Ejercicios de selectividad»

De Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

Revisión actual del 16:15 8 may 2011

Introducción

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en

Colección de Eduardo Ramos.
Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas.
Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II

Ejercicios

Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros.
Intersección de una esfera y un plano.
Hallar el ángulo que forman una recta y un plano.
Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos.
Aplicación del teorema del Valor Medio.
Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo.
Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx).
Calcular un determinante 4x4.
Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones.
Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2.
Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre.
Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde....
Ejercicio 2.1.4: Calcular la matriz X tal que AX = B, donde....
Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1.
Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x.
Punto simétrico respecto de una recta.
Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.3.9 de la colección
Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.1.1 de la colección
Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.2.4 de la colección
Ejercicio resuelto de Selectividad. Matemáticas II. Ejercicio 1.1.1
Tangentes a una curva que pasan por un punto dado
Derivabilidad de una función a trozos

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@@ Línea 6: / Línea 6: @@
 == Ejercicios ==
-* [[Ejercicio 1 de Selectividad]].
+# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
-* [[Ejercicio 2 de Selectividad]].
+# [[Intersección de una esfera y un plano]].
-* [[Ejercicio 3 de Selectividad]].
+# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
+# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
-== Ejercicio 3 ==
+# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
-=== Enunciado===
+# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
-Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
+# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
-: <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
+# [[Calcular un determinante 4x4]].
-                    x= & -1 & -\lambda \\
+# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
-                    y= &    & -\lambda \\
+# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
-                    z= &    & 2\lambda
+# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
-                    \end{array}\right.</math>
+# [[Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...]].
+# [[Ejercicio 2.1.4: Calcular la matriz X tal que AX = B, donde...]].
-: <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0  </math>
+# [[Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1]].
+# [[Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x]].
-=== Apartado a===
+# [[Punto simétrico respecto de una recta]].
-Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.
+# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.3.9 de la colección]]
+# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.1.1 de la colección]]
-=== Solución===
+# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.2.4 de la colección]]
+# [[Ejercicio resuelto de Selectividad. Matemáticas II. Ejercicio 1.1.1]]
-El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
+# [[Tangentes a una curva que pasan por un punto dado]]
- (%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
+# [[Derivabilidad de una función a trozos]]
-       prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
-       modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
-       modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
-       float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
-En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):
- (%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
- (%o2) 0.32732683535399
-=== Apartado b ===
-Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.
-== Solución==
-Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.
-Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:
-<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
-                    x= & -1 & + & 2a \\
-                    y= &    & - & 3a \\
-                    z= &    & & a
-                    \end{array}\right.</math>
-    (%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
-    (%o1) [a=1/14]
-    (%i2) a:1/14$
-    (%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
-    (%o3) [-6/7,-3/14,1/14]
-Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:
-<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
-                    x= & -2 & + & 2b \\
-                    y= & -1 & - & 3b \\
-                    z= &  2 & + & b
-                    \end{array}\right.</math>
-    (%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
-    (%o4) [b=-1/7]
-    (%i5) b:-1/7$
-    (%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
-    (%o6) [-16/7,-4/7,13/7]
-El vector director de la recta proyección r' sería:
-    (%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
-    (%o7) [-10/7,-5/14,25/14]
-Por tanto la recta r' es:
-<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
-                    x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u  \\
-                    y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u  \\
-                    z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
-                    \end{array}\right.</math>
-=== Enunciado===
-Halla, en función de a, el valor del determinante:
-:<math>\left|
-         \begin{array}{cccc}
-           a & a & a & a \\
-& a & a & a \\
-& 2 & a & a \\
-& 3 & 2 & a
-         \end{array}
-       \right|
- </math>
-=== Solución===
- (%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
- (%i2) determinant(A)$
- (%i3) ratsimp(%);
-:(%o3) <math>a^4-6*a^3+12*a^2-8*a</math>
-== Ejercicio 3 ==
-=== Enunciado===
-Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
-: <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
-                    x= & -1 & -\lambda \\
-                    y= &    & -\lambda \\
-                    z= &    & 2\lambda
-                    \end{array}\right.</math>
-: <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0  </math>
-=== Apartado a===
-Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.
-=== Solución===
-El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
- (%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
-       prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
-       modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
-       modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
-       float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
-En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):
- (%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
- (%o2) 0.32732683535399
-=== Apartado b ===
-Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.
-== Solución==
-Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.
-Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:
-<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
-                    x= & -1 & + & 2a \\
-                    y= &    & - & 3a \\
-                    z= &    & & a
-                    \end{array}\right.</math>
-    (%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
-    (%o1) [a=1/14]
-    (%i2) a:1/14$
-    (%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
-    (%o3) [-6/7,-3/14,1/14]
-Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:
-<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
-                    x= & -2 & + & 2b \\
-                    y= & -1 & - & 3b \\
-                    z= &  2 & + & b
-                    \end{array}\right.</math>
-    (%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
-    (%o4) [b=-1/7]
-    (%i5) b:-1/7$
-    (%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
-    (%o6) [-16/7,-4/7,13/7]
-El vector director de la recta proyección r' sería:
-    (%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
-    (%o7) [-10/7,-5/14,25/14]
-Por tanto la recta r' es:
-<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
-                    x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u  \\
-                    y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u  \\
-                    z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
-                    \end{array}\right.</math>