zip

Números cuyos factoriales son divisibles por x pero no por y

PorJosé A. Alonso 28-febrero-20187-marzo-2018

Hay 3 números (el 2, 3 y 4) cuyos factoriales son divisibles por 2 pero no por 5. Análogamente, hay números 5 (el 5, 6, 7, 8, 9) cuyos factoriales son divisibles por 15 pero no por 25.

Definir la función

   nNumerosConFactorialesDivisibles :: Integer -> Integer -> Integer

1	nNumerosConFactorialesDivisibles :: Integer -> Integer -> Integer

tal que (nNumerosConFactorialesDivisibles x y) es la cantidad de números cuyo factorial es divisible por x pero no por y. Por ejemplo,

  nNumerosConFactorialesDivisibles 2   5     ==  3
  nNumerosConFactorialesDivisibles 15  25    ==  5
  nNumerosConFactorialesDivisibles 100 2000  ==  5

nNumerosConFactorialesDivisibles 2 5 == 3

nNumerosConFactorialesDivisibles 15 25 == 5

nNumerosConFactorialesDivisibles 100 2000 == 5

Soluciones

import Data.List (genericLength)

-- 1ª solución
-- ===========

nNumerosConFactorialesDivisibles :: Integer -> Integer -> Integer
nNumerosConFactorialesDivisibles x y =
  genericLength (numerosConFactorialesDivisibles x y)

-- (numerosConFactorialesDivisibles x y) es la lista de números
-- divisibles por el factorial de x pero no divisibles por el 
-- factorial de y. Por ejemplo,
--   numerosConFactorialesDivisibles 2  5   ==  [2,3,4]
--   numerosConFactorialesDivisibles 15 25  ==  [5,6,7,8,9]
numerosConFactorialesDivisibles :: Integer -> Integer -> [Integer]
numerosConFactorialesDivisibles x y =
  [z | z <- [0..y-1]
     , factorial z `mod` x == 0
     , factorial z `mod` y /= 0]

-- (factorial n) es el factorial de n. Por ejemplo, 
--   factorial 4  ==  24
factorial :: Integer -> Integer
factorial n = product [1..n]

-- 2ª solución (usando la función de Smarandache)
-- ==============================================

nNumerosConFactorialesDivisibles2 :: Integer -> Integer -> Integer
nNumerosConFactorialesDivisibles2 x y =
  max 0 (smarandache y - smarandache x)

--(smarandache n) es el menor número cuyo factorial es divisible por
-- n. Por ejemplo,   
--    smarandache 8   ==  4
--    smarandache 10  ==  5
--    smarandache 16  ==  6
smarandache :: Integer -> Integer
smarandache x =
  head [n | (n,y) <- zip [0..] factoriales
          , y `mod` x == 0]

-- factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo, 
--    λ> take 12 factoriales
--    [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800,39916800]
factoriales :: [Integer]
factoriales = 1 : scanl1 (*) [1..]

-- Comparación de eficiencia
--    λ> nNumerosConFactorialesDivisibles 100 2000
--    5
--    (2.70 secs, 3,933,938,648 bytes)
--    λ> nNumerosConFactorialesDivisibles2 100 2000
--    5
--    (0.01 secs, 148,200 bytes)

import Data.List (genericLength)

-- 1ª solución

-- ===========

nNumerosConFactorialesDivisibles :: Integer -> Integer -> Integer

nNumerosConFactorialesDivisibles x y =

genericLength (numerosConFactorialesDivisibles x y)

-- (numerosConFactorialesDivisibles x y) es la lista de números

-- divisibles por el factorial de x pero no divisibles por el

-- factorial de y. Por ejemplo,

-- numerosConFactorialesDivisibles 2 5 == [2,3,4]

-- numerosConFactorialesDivisibles 15 25 == [5,6,7,8,9]

numerosConFactorialesDivisibles :: Integer -> Integer -> [Integer]

numerosConFactorialesDivisibles x y =

[z | z <- [0..y-1]

, factorial z `mod` x == 0

, factorial z `mod` y /= 0]

-- (factorial n) es el factorial de n. Por ejemplo,

-- factorial 4 == 24

factorial :: Integer -> Integer

factorial n = product [1..n]

-- 2ª solución (usando la función de Smarandache)

-- ==============================================

nNumerosConFactorialesDivisibles2 :: Integer -> Integer -> Integer

nNumerosConFactorialesDivisibles2 x y =

max 0 (smarandache y - smarandache x)

--(smarandache n) es el menor número cuyo factorial es divisible por

-- n. Por ejemplo,

-- smarandache 8 == 4

-- smarandache 10 == 5

-- smarandache 16 == 6

smarandache :: Integer -> Integer

smarandache x =

head [n | (n,y) <- zip [0..] factoriales

, y `mod` x == 0]

-- factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo,

-- λ> take 12 factoriales

-- [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800,39916800]

factoriales :: [Integer]

factoriales = 1 : scanl1 (*) [1..]

-- Comparación de eficiencia

-- λ> nNumerosConFactorialesDivisibles 100 2000

-- 5

-- (2.70 secs, 3,933,938,648 bytes)

-- λ> nNumerosConFactorialesDivisibles2 100 2000

-- 5

-- (0.01 secs, 148,200 bytes)

La función de Smarandache

PorJosé A. Alonso 27-febrero-20186-marzo-2018

La función de Smarandache, también conocida como la función de Kempner, es la función que asigna a cada número entero positivo n el menor número cuyo factorial es divisible por n y se representa por S(n). Por ejemplo, el número 8 no divide a 1!, 2!, 3!, pero sí divide 4!; por tanto, S(8) = 4.

Definir las funciones

   smarandache        :: Integer -> Integer
   graficaSmarandache :: Integer -> IO ()

1 2	smarandache :: Integer -> Integer graficaSmarandache :: Integer -> IO ()

tales que

(smarandache n) es el menor número cuyo factorial es divisible por n. Por ejemplo,

     smarandache 8   ==  4
     smarandache 10  ==  5
     smarandache 16  ==  6

smarandache 8 == 4

smarandache 10 == 5

smarandache 16 == 6

(graficaSmarandache n) dibuja la gráfica de los n primeros términos de la sucesión de Smarandache. Por ejemplo, (graficaSmarandache 100) dibuja

(graficaSmarandache 500) dibuja

Soluciones

import Data.List (genericLength)
import Graphics.Gnuplot.Simple

smarandache :: Integer -> Integer
smarandache x =
  head [n | (n,y) <- zip [0..] factoriales
          , y `mod` x == 0]

-- factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo, 
--    λ> take 12 factoriales
--    [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800,39916800]
factoriales :: [Integer]
factoriales = 1 : scanl1 (*) [1..]

graficaSmarandache :: Integer -> IO ()
graficaSmarandache n =
  plotList [Key Nothing
           , PNG ("La_funcion_de_Smarandache_" ++ show n ++ ".png")
           ]
           (map smarandache [1..n])

import Data.List (genericLength)

import Graphics.Gnuplot.Simple

smarandache :: Integer -> Integer

smarandache x =

head [n | (n,y) <- zip [0..] factoriales

, y `mod` x == 0]

-- factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo,

-- λ> take 12 factoriales

-- [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800,39916800]

factoriales :: [Integer]

factoriales = 1 : scanl1 (*) [1..]

graficaSmarandache :: Integer -> IO ()

graficaSmarandache n =

plotList [Key Nothing

, PNG ("La_funcion_de_Smarandache_" ++ show n ++ ".png")

]

(map smarandache [1..n])

Menor potencia de 2 que comienza por n

PorJosé A. Alonso 22-febrero-201826-marzo-2022

Definir las funciones

   menorPotencia            :: Integer -> (Integer,Integer)
   graficaMenoresExponentes :: Integer -> IO ()

1 2	menorPotencia :: Integer -> (Integer,Integer) graficaMenoresExponentes :: Integer -> IO ()

tales que

(menorPotencia n) es el par (k,m) donde m es la menor potencia de 2 que empieza por n y k es su exponentes (es decir, 2^k = m). Por ejemplo,

     menorPotencia 3             ==  (5,32)
     menorPotencia 7             ==  (46,70368744177664)
     fst (menorPotencia 982)     ==  3973
     fst (menorPotencia 32627)   ==  28557
     fst (menorPotencia 158426)  ==  40000

menorPotencia 3 == (5,32)

menorPotencia 7 == (46,70368744177664)

fst (menorPotencia 982) == 3973

fst (menorPotencia 32627) == 28557

fst (menorPotencia 158426) == 40000

(graficaMenoresExponentes n) dibuja la gráfica de los exponentes de 2 en las menores potencias de los n primeros números enteros positivos. Por ejemplo, (graficaMenoresExponentes 200) dibuja

Soluciones

import Data.List               (isPrefixOf)
import Graphics.Gnuplot.Simple (Attribute (Key, PNG), plotList)

-- 1ª definición
-- =============

menorPotencia :: Integer -> (Integer,Integer)
menorPotencia n =
  head [(k,m) | (k,m) <- zip [0..] potenciasDe2
              , cs `isPrefixOf` show m]
  where cs = show n

-- potenciasDe 2 es la lista de las potencias de dos. Por ejemplo,
--    take 12 potenciasDe2  ==  [1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048]
potenciasDe2 :: [Integer]
potenciasDe2 = iterate (*2) 1

-- 2ª definición 
-- =============

menorPotencia2 :: Integer -> (Integer,Integer)
menorPotencia2 n = aux (0,1)
  where aux (k,m) | cs `isPrefixOf` show m = (k,m)
                  | otherwise              = aux (k+1,2*m)
        cs = show n

-- 3ª definición 
-- =============

menorPotencia3 :: Integer -> (Integer,Integer)
menorPotencia3 n =
  until (isPrefixOf n1 . show . snd) (\(x,y) -> (x+1,2*y)) (0,1)
  where n1 = show n

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> maximum [fst (menorPotencia n) | n <- [1..1000]]
--    3973
--    (3.69 secs, 1,094,923,696 bytes)
--    λ> maximum [fst (menorPotencia2 n) | n <- [1..1000]]
--    3973
--    (5.13 secs, 1,326,382,872 bytes)
--    λ> maximum [fst (menorPotencia3 n) | n <- [1..1000]]
--    3973
--    (4.71 secs, 1,240,498,128 bytes)

graficaMenoresExponentes :: Integer -> IO ()
graficaMenoresExponentes n =
  plotList [ Key Nothing
           , PNG "Menor_potencia_de_2_que_comienza_por_n.png"
           ]
           (map (fst . menorPotencia) [1..n])

import Data.List (isPrefixOf)

import Graphics.Gnuplot.Simple (Attribute (Key, PNG), plotList)

-- 1ª definición

-- =============

menorPotencia :: Integer -> (Integer,Integer)

menorPotencia n =

head [(k,m) | (k,m) <- zip [0..] potenciasDe2

, cs `isPrefixOf` show m]

where cs = show n

-- potenciasDe 2 es la lista de las potencias de dos. Por ejemplo,

-- take 12 potenciasDe2 == [1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048]

potenciasDe2 :: [Integer]

potenciasDe2 = iterate (*2) 1

-- 2ª definición

-- =============

menorPotencia2 :: Integer -> (Integer,Integer)

menorPotencia2 n = aux (0,1)

where aux (k,m) | cs `isPrefixOf` show m = (k,m)

| otherwise = aux (k+1,2*m)

cs = show n

-- 3ª definición

-- =============

menorPotencia3 :: Integer -> (Integer,Integer)

menorPotencia3 n =

until (isPrefixOf n1 . show . snd) (\(x,y) -> (x+1,2*y)) (0,1)

where n1 = show n

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> maximum [fst (menorPotencia n) | n <- [1..1000]]

-- 3973

-- (3.69 secs, 1,094,923,696 bytes)

-- λ> maximum [fst (menorPotencia2 n) | n <- [1..1000]]

-- 3973

-- (5.13 secs, 1,326,382,872 bytes)

-- λ> maximum [fst (menorPotencia3 n) | n <- [1..1000]]

-- 3973

-- (4.71 secs, 1,240,498,128 bytes)

graficaMenoresExponentes :: Integer -> IO ()

graficaMenoresExponentes n =

plotList [ Key Nothing

, PNG "Menor_potencia_de_2_que_comienza_por_n.png"

]

(map (fst . menorPotencia) [1..n])

Recorrido de árboles en espiral

PorJosé A. Alonso 8-febrero-201825-abril-2021

Los árboles se pueden representar mediante el siguiente tipo de datos

   data Arbol a = N a [Arbol a]
     deriving Show

1 2	data Arbol a = N a [Arbol a] deriving Show

Por ejemplo, los árboles

         1             1             1  
        /  \          / \           / \ 
       /    \        8   3         8   3
      2      3          /|\       /|\  |
     / \    / \        4 5 6     4 5 6 7
    4   5  6   7

1 1 1

/ \ / \ / \

/ \ 8 3 8 3

2 3 /|\ /|\ |

/ \ / \ 4 5 6 4 5 6 7

4 5 6 7

se representan por

   ej1, ej2, ej3 :: Arbol Int
   ej1 = N 1 [N 2 [N 4 [], N 5 []], N 3 [N 6 [], N 7 []]]
   ej2 = N 1 [N 8 [], N 3 [N 4 [], N 5 [], N 6 []]]
   ej3 = N 1 [N 8 [N 4 [], N 5 [], N 6 []], N 3 [N 7 []]]

ej1, ej2, ej3 :: Arbol Int

ej1 = N 1 [N 2 [N 4 [], N 5 []], N 3 [N 6 [], N 7 []]]

ej2 = N 1 [N 8 [], N 3 [N 4 [], N 5 [], N 6 []]]

ej3 = N 1 [N 8 [N 4 [], N 5 [], N 6 []], N 3 [N 7 []]]

Definir la función

   espiral :: Arbol a -> [a]

1	espiral :: Arbol a -> [a]

tal que (espiral x) es la lista de los nodos del árbol x recorridos en espiral; es decir, la raíz de x, los nodos del primer nivel de izquierda a derecha, los nodos del segundo nivel de derecha a izquierda y así sucesivamente. Por ejemplo,

   espiral ej1  ==  [1,2,3,7,6,5,4]
   espiral ej2  ==  [1,8,3,6,5,4]
   espiral ej3  ==  [1,8,3,7,6,5,4]

espiral ej1 == [1,2,3,7,6,5,4]

espiral ej2 == [1,8,3,6,5,4]

espiral ej3 == [1,8,3,7,6,5,4]

Soluciones

data Arbol a = N a [Arbol a]
  deriving Show
           
ej1, ej2, ej3 :: Arbol Int
ej1 = N 1 [N 2 [N 4 [], N 5 []], N 3 [N 6 [], N 7 []]]
ej2 = N 1 [N 8 [], N 3 [N 4 [], N 5 [], N 6 []]]
ej3 = N 1 [N 8 [N 4 [], N 5 [], N 6 []], N 3 [N 7 []]]

-- 1ª solución
-- ===========

espiral :: Arbol a -> [a]
espiral x =
  concat [f xs | (f,xs) <- zip (cycle [reverse,id]) (niveles x)]

-- (niveles x) es la lista de los niveles del árbol x. Por ejemplo, 
--    niveles ej1 == [[1],[8,3],[4]]
--    niveles ej2 == [[1],[8,3],[4,5,6]]
--    niveles ej3 == [[1],[8,3],[4,5,6,7]]
niveles :: Arbol a -> [[a]]
niveles x = takeWhile (not . null) [nivel n x | n <- [0..]]

-- (nivel n x) es el nivel de nivel n del árbol x. Por ejemplo,
--    nivel 0 ej1  ==  [1]
--    nivel 1 ej1  ==  [8,3]
--    nivel 2 ej1  ==  [4]
--    nivel 4 ej1  ==  []
nivel :: Int -> Arbol a ->  [a]
nivel 0 (N x _)  = [x]
nivel n (N _ xs) = concatMap (nivel (n-1)) xs

-- 2ª solución
-- ===========

espiral2 :: Arbol a -> [a]
espiral2 = 
  concat . zipWith ($) (cycle [reverse,id]) . niveles

-- 3ª solución
-- ===========

espiral3 :: Arbol a -> [a]
espiral3 = concat . zipWith ($) (cycle [reverse,id]) . niveles3

niveles3 :: Arbol a -> [[a]]
niveles3 t = map (map raiz)
           . takeWhile (not . null)
           . iterate (concatMap subBosque) $ [t]

raiz :: Arbol a -> a
raiz (N x _) = x

subBosque :: Arbol a -> [Arbol a]
subBosque (N _ ts) = ts

-- 4ª solución
-- ===========

espiral4 :: Arbol a -> [a]
espiral4 = concat . zipWith ($) (cycle [reverse,id]) . niveles4

niveles4 :: Arbol a -> [[a]]
niveles4 = map (map raiz)
         . takeWhile (not . null)
         . iterate (concatMap subBosque)
         . return  

-- 5ª definición
-- =============

espiral5 :: Arbol a -> [a]
espiral5 x = concat $ zipWith ($) (cycle [reverse,id]) $ niveles5 [x]

niveles5 :: [Arbol a] -> [[a]]
niveles5 [] = []
niveles5 xs = a : niveles5 (concat b)
  where (a,b) = unzip $ map (\(N x y) -> (x,y)) xs

-- 6ª definición
-- =============

espiral6 :: Arbol a -> [a]
espiral6 = concat . zipWith ($) (cycle [reverse,id]) . niveles5 . return

data Arbol a = N a [Arbol a]

deriving Show

ej1, ej2, ej3 :: Arbol Int

ej1 = N 1 [N 2 [N 4 [], N 5 []], N 3 [N 6 [], N 7 []]]

ej2 = N 1 [N 8 [], N 3 [N 4 [], N 5 [], N 6 []]]

ej3 = N 1 [N 8 [N 4 [], N 5 [], N 6 []], N 3 [N 7 []]]

-- 1ª solución

-- ===========

espiral :: Arbol a -> [a]

espiral x =

concat [f xs | (f,xs) <- zip (cycle [reverse,id]) (niveles x)]

-- (niveles x) es la lista de los niveles del árbol x. Por ejemplo,

-- niveles ej1 == [[1],[8,3],[4]]

-- niveles ej2 == [[1],[8,3],[4,5,6]]

-- niveles ej3 == [[1],[8,3],[4,5,6,7]]

niveles :: Arbol a -> [[a]]

niveles x = takeWhile (not . null) [nivel n x | n <- [0..]]

-- (nivel n x) es el nivel de nivel n del árbol x. Por ejemplo,

-- nivel 0 ej1 == [1]

-- nivel 1 ej1 == [8,3]

-- nivel 2 ej1 == [4]

-- nivel 4 ej1 == []

nivel :: Int -> Arbol a -> [a]

nivel 0 (N x _) = [x]

nivel n (N _ xs) = concatMap (nivel (n-1)) xs

-- 2ª solución

-- ===========

espiral2 :: Arbol a -> [a]

espiral2 =

concat . zipWith ($) (cycle [reverse,id]) . niveles

-- 3ª solución

-- ===========

espiral3 :: Arbol a -> [a]

espiral3 = concat . zipWith ($) (cycle [reverse,id]) . niveles3

niveles3 :: Arbol a -> [[a]]

niveles3 t = map (map raiz)

. takeWhile (not . null)

. iterate (concatMap subBosque) $ [t]

raiz :: Arbol a -> a

raiz (N x _) = x

subBosque :: Arbol a -> [Arbol a]

subBosque (N _ ts) = ts

-- 4ª solución

-- ===========

espiral4 :: Arbol a -> [a]

espiral4 = concat . zipWith ($) (cycle [reverse,id]) . niveles4

niveles4 :: Arbol a -> [[a]]

niveles4 = map (map raiz)

. takeWhile (not . null)

. iterate (concatMap subBosque)

. return

-- 5ª definición

-- =============

espiral5 :: Arbol a -> [a]

espiral5 x = concat $ zipWith ($) (cycle [reverse,id]) $ niveles5 [x]

niveles5 :: [Arbol a] -> [[a]]

niveles5 [] = []

niveles5 xs = a : niveles5 (concat b)

where (a,b) = unzip $ map (\(N x y) -> (x,y)) xs

-- 6ª definición

-- =============

espiral6 :: Arbol a -> [a]

espiral6 = concat . zipWith ($) (cycle [reverse,id]) . niveles5 . return

Sucesión de Lichtenberg

PorJosé A. Alonso 25-enero-20181-febrero-2018

La sucesión de Lichtenberg esta formada por la representación decimal de los números binarios de la sucesión de dígitos 0 y 1 alternados Los primeros términos de ambas sucesiones son

   Alternada ..... Lichtenberg
   0 ....................... 0
   1 ....................... 1
   10 ...................... 2
   101 ..................... 5
   1010 ................... 10
   10101 .................. 21
   101010 ................. 42
   1010101 ................ 85
   10101010 .............. 170
   101010101 ............. 341
   1010101010 ............ 682
   10101010101 .......... 1365
   101010101010 ......... 2730

Alternada ..... Lichtenberg

0 ....................... 0

1 ....................... 1

10 ...................... 2

101 ..................... 5

1010 ................... 10

10101 .................. 21

101010 ................. 42

1010101 ................ 85

10101010 .............. 170

101010101 ............. 341

1010101010 ............ 682

10101010101 .......... 1365

101010101010 ......... 2730

Definir las funciones

   lichtenberg        :: [Integer]
   graficaLichtenberg :: Int -> IO ()

1 2	lichtenberg :: [Integer] graficaLichtenberg :: Int -> IO ()

tales que

lichtenberg es la lista cuyos elementos son los términos de la sucesión de Lichtenberg. Por ejemplo,

     λ> take 17 lichtenberg
     [0,1,2,5,10,21,42,85,170,341,682,1365,2730,5461,10922,21845,43690]

1 2	λ> take 17 lichtenberg [0,1,2,5,10,21,42,85,170,341,682,1365,2730,5461,10922,21845,43690]

(graficaLichtenberg n) dibuja la gráfica del número de dígitos de los n primeros términos de la sucesión de Lichtenberg. Por ejemlo, (graficaLichtenberg 100) dibuja

Comprobar con QuickCheck que todos los términos de la sucesión de Lichtenberg, a partir del 4º, son números compuestos.

Soluciones

import Data.Char (digitToInt)
import Graphics.Gnuplot.Simple
import Test.QuickCheck
import Data.Numbers.Primes (isPrime)

-- 1ª solución
-- ===========

lichtenberg1 :: [Integer]
lichtenberg1 = map binarioAdecimal sucAlternada

-- sucAlternada es la lista cuyos elementos son los términos de la
-- sucesión de los dígitos 0 y 1 alternados. Por ejemplo,
--    λ> take 7 sucAlternada
--    ["0","1","10","101","1010","10101","101010"]
sucAlternada :: [String]
sucAlternada =
  ['0'] : [take n cadenaAlternada | n <- [1..]]

-- cadenaAltenada es la cadena formada alternando los caracteres 1 y
-- 0. Por ejemplo,
--    take 20 cadenaAlternada  ==  "10101010101010101010"
cadenaAlternada :: String
cadenaAlternada = cycle ['1','0']

-- (binarioAdecimal cs) es el número decimal correspondiente al número
-- binario cuya cadena de dígitos es cs. Por ejemplo,
--    binarioAdecimal "11101"  ==  29
binarioAdecimal :: String -> Integer
binarioAdecimal =
  foldl (\acc x -> acc * 2 + (toInteger . digitToInt) x) 0
  
-- 2ª solución
lichtenberg2 :: [Integer]
lichtenberg2 = map a [0..]
  where a 0 = 0
        a 1 = 1
        a n = a (n-1) + 2 * a (n-2) + 1

-- 3ª solución
lichtenberg3 :: [Integer]
lichtenberg3 =
  0 : 1 : map (+1) (zipWith (+) (tail lichtenberg3) (map (*2) lichtenberg3)) 

-- Comprobación de eficiencia
--    λ> length (show (lichtenberg1 !! 27))
--    8
--    (0.02 secs, 155,384 bytes)
--    λ> length (show (lichtenberg2 !! 27))
--    8
--    (2.22 secs, 311,157,760 bytes)
--    
--    λ> length (show (lichtenberg1 !! (8*10^4)))
--    24083
--    (1.28 secs, 664,207,040 bytes)
--    λ> length (show (lichtenberg3 !! (8*10^4)))
--    24083
--    (2.59 secs, 1,253,328,200 bytes)

-- La propiedad es
propLichtenberg :: Int -> Property
propLichtenberg n =
  n > 4 ==> not (isPrime (lichtenberg1 !! n))

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck propLichtenberg
--    +++ OK, passed 100 tests.

graficaLichtenberg :: Int -> IO ()
graficaLichtenberg n =
  plotList [ Key Nothing
           , Title "Numero de digitos de la sucesion de Lichtenberg"
           , PNG "Sucesion_de_Lichtenberg.png"
           ]
           (take n (map (length . show) lichtenberg1))

import Data.Char (digitToInt)

import Graphics.Gnuplot.Simple

import Test.QuickCheck

import Data.Numbers.Primes (isPrime)

-- 1ª solución

-- ===========

lichtenberg1 :: [Integer]

lichtenberg1 = map binarioAdecimal sucAlternada

-- sucAlternada es la lista cuyos elementos son los términos de la

-- sucesión de los dígitos 0 y 1 alternados. Por ejemplo,

-- λ> take 7 sucAlternada

-- ["0","1","10","101","1010","10101","101010"]

sucAlternada :: [String]

sucAlternada =

['0'] : [take n cadenaAlternada | n <- [1..]]

-- cadenaAltenada es la cadena formada alternando los caracteres 1 y

-- 0. Por ejemplo,

-- take 20 cadenaAlternada == "10101010101010101010"

cadenaAlternada :: String

cadenaAlternada = cycle ['1','0']

-- (binarioAdecimal cs) es el número decimal correspondiente al número

-- binario cuya cadena de dígitos es cs. Por ejemplo,

-- binarioAdecimal "11101" == 29

binarioAdecimal :: String -> Integer

binarioAdecimal =

foldl (\acc x -> acc * 2 + (toInteger . digitToInt) x) 0

-- 2ª solución

lichtenberg2 :: [Integer]

lichtenberg2 = map a [0..]

where a 0 = 0

a 1 = 1

a n = a (n-1) + 2 * a (n-2) + 1

-- 3ª solución

lichtenberg3 :: [Integer]

lichtenberg3 =

0 : 1 : map (+1) (zipWith (+) (tail lichtenberg3) (map (*2) lichtenberg3))

-- Comprobación de eficiencia

-- λ> length (show (lichtenberg1 !! 27))

-- 8

-- (0.02 secs, 155,384 bytes)

-- λ> length (show (lichtenberg2 !! 27))

-- 8

-- (2.22 secs, 311,157,760 bytes)

-- λ> length (show (lichtenberg1 !! (8*10^4)))

-- 24083

-- (1.28 secs, 664,207,040 bytes)

-- λ> length (show (lichtenberg3 !! (8*10^4)))

-- 24083

-- (2.59 secs, 1,253,328,200 bytes)

-- La propiedad es

propLichtenberg :: Int -> Property

propLichtenberg n =

n > 4 ==> not (isPrime (lichtenberg1 !! n))

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck propLichtenberg

-- +++ OK, passed 100 tests.

graficaLichtenberg :: Int -> IO ()

graficaLichtenberg n =

plotList [ Key Nothing

, Title "Numero de digitos de la sucesion de Lichtenberg"

, PNG "Sucesion_de_Lichtenberg.png"

]

(take n (map (length . show) lichtenberg1))

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