abril 2024 – Exercitium

Números triangulares con n cifras distintas

PorJosé A. Alonso 29-abril-20242-mayo-2024

Los números triangulares se forman como sigue

   *     *      *
        * *    * *
              * * *
   1     3      6

* * *

* * * *

* * *

1 3 6

La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales. Así, los 5 primeros números triangulares son

    1 = 1
    3 = 1 + 2
    6 = 1 + 2 + 3
   10 = 1 + 2 + 3 + 4
   15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

1 = 1

3 = 1 + 2

6 = 1 + 2 + 3

10 = 1 + 2 + 3 + 4

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Definir la función

   triangularesConCifras :: Int -> [Integer]

1	triangularesConCifras :: Int -> [Integer]

tal que triangularesConCifras n es la lista de los números triangulares con n cifras distintas. Por ejemplo,

   take 6 (triangularesConCifras 1)   ==  [1,3,6,55,66,666]
   take 6 (triangularesConCifras 2)   ==  [10,15,21,28,36,45]
   take 6 (triangularesConCifras 3)   ==  [105,120,136,153,190,210]
   take 5 (triangularesConCifras 4)   ==  [1035,1275,1326,1378,1485]
   take 2 (triangularesConCifras 10)  ==  [1062489753,1239845706]

take 6 (triangularesConCifras 1) == [1,3,6,55,66,666]

take 6 (triangularesConCifras 2) == [10,15,21,28,36,45]

take 6 (triangularesConCifras 3) == [105,120,136,153,190,210]

take 5 (triangularesConCifras 4) == [1035,1275,1326,1378,1485]

take 2 (triangularesConCifras 10) == [1062489753,1239845706]

Numeración de las ternas de números naturales

PorJosé A. Alonso 24-abril-202430-abril-2024

Las ternas de números naturales se pueden ordenar como sigue

   (0,0,0),
   (0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),
   (0,0,2),(0,1,1),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0),(2,0,0),
   (0,0,3),(0,1,2),(0,2,1),(0,3,0),(1,0,2),(1,1,1),(1,2,0),(2,0,1),...
   ...

(0,0,0),

(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),

(0,0,2),(0,1,1),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0),(2,0,0),

(0,0,3),(0,1,2),(0,2,1),(0,3,0),(1,0,2),(1,1,1),(1,2,0),(2,0,1),...

...

Definir la función

   posicion :: (Int,Int,Int) -> Int

1	posicion :: (Int,Int,Int) -> Int

tal que posicion (x,y,z) es la posición de la terna de números naturales (x,y,z) en la ordenación anterior. Por ejemplo,

   posicion (0,1,0)  ==  2
   posicion (0,0,2)  ==  4
   posicion (0,1,1)  ==  5

posicion (0,1,0) == 2

posicion (0,0,2) == 4

posicion (0,1,1) == 5

Comprobar con QuickCheck que

la posición de (x,0,0) es x(x²+6x+11)/6
la posición de (0,y,0) es y(y²+3y+ 8)/6
la posición de (0,0,z) es z(z²+3z+ 2)/6
la posición de (x,x,x) es x(9x²+14x+7)/2

Primos equidistantes

PorJosé A. Alonso 19-abril-202429-abril-2024

Definir la función

   primosEquidistantes :: Integer -> [(Integer,Integer)]

1	primosEquidistantes :: Integer -> [(Integer,Integer)]

tal que primosEquidistantes k es la lista de los pares de primos cuya diferencia es k. Por ejemplo,

   take 3 (primosEquidistantes 2)  ==  [(3,5),(5,7),(11,13)]
   take 3 (primosEquidistantes 4)  ==  [(7,11),(13,17),(19,23)]
   take 3 (primosEquidistantes 6)  ==  [(23,29),(31,37),(47,53)]
   take 3 (primosEquidistantes 8)  ==  [(89,97),(359,367),(389,397)]
   primosEquidistantes 4 !! (10^5) ==  (18467047,18467051)

take 3 (primosEquidistantes 2) == [(3,5),(5,7),(11,13)]

take 3 (primosEquidistantes 4) == [(7,11),(13,17),(19,23)]

take 3 (primosEquidistantes 6) == [(23,29),(31,37),(47,53)]

take 3 (primosEquidistantes 8) == [(89,97),(359,367),(389,397)]

primosEquidistantes 4 !! (10^5) == (18467047,18467051)

Números amigos

PorJosé A. Alonso 14-abril-202427-abril-2024

Dos números amigos son dos números positivos distintos tales que la suma de los divisores propios de cada uno es igual al otro. Los divisores propios de un número incluyen la unidad pero no al propio número. Por ejemplo, divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. La suma de estos números equivale a 284. A su vez, los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142. Su suma equivale a 220. Por tanto, 220 y 284 son amigos.

Definir la función

   amigos :: Integer -> Integer -> Bool

1	amigos :: Integer -> Integer -> Bool

tal que amigos x y se verifica si los números x e y son amigos. Por ejemplo,

   amigos 220 284 == True
   amigos 220 23  == False
   amigos 42262694537514864075544955198125 42405817271188606697466971841875 == True

amigos 220 284 == True

amigos 220 23 == False

amigos 42262694537514864075544955198125 42405817271188606697466971841875 == True

Máxima suma de caminos en un triángulo

PorJosé A. Alonso 9-abril-202416-abril-2024

Los triángulos se pueden representar mediante listas de listas. Por ejemplo, el triángulo

7 4

2 4 6

8 5 9 3

se representa por

   [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]

1	[[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]

Definir la función

   maximaSuma :: [[Integer]] -> Integer

1	maximaSuma :: [[Integer]] -> Integer

tal que (maximaSuma xss) es el máximo de las sumas de los de los caminos en el triángulo xss donde los caminos comienzan en el elemento de la primera fila, en cada paso se mueve a uno de sus dos elementos adyacentes en la fila siguiente y terminan en la última fila. Por ejemplo,

   maximaSuma [[3],[7,4]]                    ==  10
   maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6]]            ==  14
   maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]  ==  23
   maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..100]]     ==  10100
   maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..1000]]    ==  1001000
   maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..2000]]    ==  4002000
   maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..3000]]    ==  9003000
   maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..4000]]    ==  16004000

maximaSuma [[3],[7,4]] == 10

maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6]] == 14

maximaSuma [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]] == 23

maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..100]] == 10100

maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..1000]] == 1001000

maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..2000]] == 4002000

maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..3000]] == 9003000

maximaSuma [[n..n+n] | n <- [0..4000]] == 16004000

Caminos en un triángulo

PorJosé A. Alonso 4-abril-2024

Los triángulos se pueden representar mediante listas de listas. Por ejemplo, el triángulo

7 4

2 4 6

8 5 9 3

se representa por

   [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]

1	[[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]

Definir la función

   caminos :: [[a]] -> [[a]]

1	caminos :: [[a]] -> [[a]]

tal que (caminos xss) es la lista de los caminos en el triángulo donde los caminos comienzan en el elemento de la primera fila, en cada paso se mueve a uno de sus dos elementos adyacentes en la fila siguiente y terminan en la última fila. Por ejemplo,

   λ> caminos [[3],[7,4]]
   [[3,7],[3,4]]
   λ> caminos [[3],[7,4],[2,4,6]]
   [[3,7,2],[3,7,4],[3,4,4],[3,4,6]]
   λ> caminos [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]
   [[3,7,2,8],[3,7,2,5],[3,7,4,5],[3,7,4,9],[3,4,4,5],[3,4,4,9],[3,4,6,9],[3,4,6,3]]

λ> caminos [[3],[7,4]]

[[3,7],[3,4]]

λ> caminos [[3],[7,4],[2,4,6]]

[[3,7,2],[3,7,4],[3,4,4],[3,4,6]]

λ> caminos [[3],[7,4],[2,4,6],[8,5,9,3]]

[[3,7,2,8],[3,7,2,5],[3,7,4,5],[3,7,4,9],[3,4,4,5],[3,4,4,9],[3,4,6,9],[3,4,6,3]]

Meses: abril 2024

Números triangulares con n cifras distintas

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Números amigos

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Caminos en un triángulo

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