Orden superior – Exercitium

Sucesión de sumas de dos números abundantes

PorJosé A. Alonso 17-mayo-202217-mayo-2022

Un número n es abundante si la suma de los divisores propios de n es mayor que n. El primer número abundante es el 12 (cuyos divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6 cuya suma es 16). Por tanto, el menor número que es la suma de dos números abundantes es el 24.

Definir la sucesión

   sumasDeDosAbundantes :: [Integer]

1	sumasDeDosAbundantes :: [Integer]

cuyos elementos son los números que se pueden escribir como suma de dos números abundantes. Por ejemplo,

   take 10 sumasDeDosAbundantes  ==  [24,30,32,36,38,40,42,44,48,50]

1	take 10 sumasDeDosAbundantes == [24,30,32,36,38,40,42,44,48,50]

Soluciones

import Data.List (genericLength, group)
import Data.Numbers.Primes (primeFactors)
import Test.QuickCheck

-- 1ª solución
-- ===========

sumasDeDosAbundantes1 :: [Integer]
sumasDeDosAbundantes1 = [n | n <- [1..], esSumaDeDosAbundantes n]

-- (esSumaDeDosAbundantes n) se verifica si n es suma de dos números
-- abundantes. Por ejemplo,
--    esSumaDeDosAbundantes 24           ==  True
--    any esSumaDeDosAbundantes [1..22]  ==  False
esSumaDeDosAbundantes :: Integer -> Bool
esSumaDeDosAbundantes n = (not . null) [x | x <- xs, n-x `elem` xs]
  where xs = takeWhile (<n) abundantes

-- abundantes es la lista de los números abundantes. Por ejemplo,
--    take 10 abundantes  ==  [12,18,20,24,30,36,40,42,48,54]
abundantes :: [Integer]
abundantes = [n | n <- [2..], abundante n]

-- (abundante n) se verifica si n es abundante. Por ejemplo,
--    abundante 12  ==  True
--    abundante 11  ==  False
abundante :: Integer -> Bool
abundante n = sum (divisores n) > n

-- (divisores n) es la lista de los divisores propios de n. Por ejemplo,
--    divisores 12  ==  [1,2,3,4,6]
divisores :: Integer -> [Integer]
divisores n = [x | x <- [1..n `div` 2], n `mod` x == 0]

-- 2ª solución
-- ===========

sumasDeDosAbundantes2 :: [Integer]
sumasDeDosAbundantes2 = filter esSumaDeDosAbundantes2 [1..]

esSumaDeDosAbundantes2 :: Integer -> Bool
esSumaDeDosAbundantes2 n = (not . null) [x | x <- xs, n-x `elem` xs]
  where xs = takeWhile (<n) abundantes2

abundantes2 :: [Integer]
abundantes2 = filter abundante2 [2..]

abundante2 :: Integer -> Bool
abundante2 n = sumaDivisores n > n

sumaDivisores :: Integer -> Integer
sumaDivisores x =
  product [(p^(e+1)-1) `div` (p-1) | (p,e) <- factorizacion x] - x

-- (factorizacion x) es la lista de las bases y exponentes de la
-- descomposición prima de x. Por ejemplo,
--    factorizacion 600  ==  [(2,3),(3,1),(5,2)]
factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]
factorizacion = map primeroYlongitud . group . primeFactors

-- (primeroYlongitud xs) es el par formado por el primer elemento de xs
-- y la longitud de xs. Por ejemplo,
--    primeroYlongitud [3,2,5,7] == (3,4)
primeroYlongitud :: [a] -> (a,Integer)
primeroYlongitud (x:xs) =
  (x, 1 + genericLength xs)

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_sumasDeDosAbundantes :: Positive Int -> Bool
prop_sumasDeDosAbundantes (Positive n) =
  sumasDeDosAbundantes1 !! n == sumasDeDosAbundantes2 !! n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_sumasDeDosAbundantes
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> sumasDeDosAbundantes1 !! (2*10^3)
--    2887
--    (2.54 secs, 516,685,168 bytes)
--    λ> sumasDeDosAbundantes2 !! (2*10^3)
--    2887
--    (1.43 secs, 141,606,136 bytes)

import Data.List (genericLength, group)

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

import Test.QuickCheck

-- 1ª solución

-- ===========

sumasDeDosAbundantes1 :: [Integer]

sumasDeDosAbundantes1 = [n | n <- [1..], esSumaDeDosAbundantes n]

-- (esSumaDeDosAbundantes n) se verifica si n es suma de dos números

-- abundantes. Por ejemplo,

-- esSumaDeDosAbundantes 24 == True

-- any esSumaDeDosAbundantes [1..22] == False

esSumaDeDosAbundantes :: Integer -> Bool

esSumaDeDosAbundantes n = (not . null) [x | x <- xs, n-x `elem` xs]

where xs = takeWhile (<n) abundantes

-- abundantes es la lista de los números abundantes. Por ejemplo,

-- take 10 abundantes == [12,18,20,24,30,36,40,42,48,54]

abundantes :: [Integer]

abundantes = [n | n <- [2..], abundante n]

-- (abundante n) se verifica si n es abundante. Por ejemplo,

-- abundante 12 == True

-- abundante 11 == False

abundante :: Integer -> Bool

abundante n = sum (divisores n) > n

-- (divisores n) es la lista de los divisores propios de n. Por ejemplo,

-- divisores 12 == [1,2,3,4,6]

divisores :: Integer -> [Integer]

divisores n = [x | x <- [1..n `div` 2], n `mod` x == 0]

-- 2ª solución

-- ===========

sumasDeDosAbundantes2 :: [Integer]

sumasDeDosAbundantes2 = filter esSumaDeDosAbundantes2 [1..]

esSumaDeDosAbundantes2 :: Integer -> Bool

esSumaDeDosAbundantes2 n = (not . null) [x | x <- xs, n-x `elem` xs]

where xs = takeWhile (<n) abundantes2

abundantes2 :: [Integer]

abundantes2 = filter abundante2 [2..]

abundante2 :: Integer -> Bool

abundante2 n = sumaDivisores n > n

sumaDivisores :: Integer -> Integer

sumaDivisores x =

product [(p^(e+1)-1) `div` (p-1) | (p,e) <- factorizacion x] - x

-- (factorizacion x) es la lista de las bases y exponentes de la

-- descomposición prima de x. Por ejemplo,

-- factorizacion 600 == [(2,3),(3,1),(5,2)]

factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]

factorizacion = map primeroYlongitud . group . primeFactors

-- (primeroYlongitud xs) es el par formado por el primer elemento de xs

-- y la longitud de xs. Por ejemplo,

-- primeroYlongitud [3,2,5,7] == (3,4)

primeroYlongitud :: [a] -> (a,Integer)

primeroYlongitud (x:xs) =

(x, 1 + genericLength xs)

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_sumasDeDosAbundantes :: Positive Int -> Bool

prop_sumasDeDosAbundantes (Positive n) =

sumasDeDosAbundantes1 !! n == sumasDeDosAbundantes2 !! n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_sumasDeDosAbundantes

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> sumasDeDosAbundantes1 !! (2*10^3)

-- 2887

-- (2.54 secs, 516,685,168 bytes)

-- λ> sumasDeDosAbundantes2 !! (2*10^3)

-- 2887

-- (1.43 secs, 141,606,136 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

Suma de divisores

PorJosé A. Alonso 16-mayo-2022

Definir la función

   sumaDivisores :: Integer -> Integer

1	sumaDivisores :: Integer -> Integer

tal que (sumaDivisores x) es la suma de los divisores de x. Por ejemplo,

   sumaDivisores 12  ==  28
   sumaDivisores 25  ==  31
   sumaDivisores (product [1..25])  ==  93383273455325195473152000
   length (show (sumaDivisores (product [1..30000])))  ==  121289
   maximum (map sumaDivisores [1..10^5])  ==  403200

sumaDivisores 12 == 28

sumaDivisores 25 == 31

sumaDivisores (product [1..25]) == 93383273455325195473152000

length (show (sumaDivisores (product [1..30000]))) == 121289

maximum (map sumaDivisores [1..10^5]) == 403200

Soluciones

import Data.List (genericLength, group, inits)
import Data.Numbers.Primes (primeFactors)
import Test.QuickCheck

-- 1ª solución
-- ===========

sumaDivisores1 :: Integer -> Integer
sumaDivisores1 = sum . divisores

-- (divisores x) es la lista de los divisores de x. Por ejemplo,
--    divisores 60  ==  [1,5,3,15,2,10,6,30,4,20,12,60]
divisores :: Integer -> [Integer]
divisores = map (product . concat)
          . productoCartesiano
          . map inits
          . group
          . primeFactors

-- (productoCartesiano xss) es el producto cartesiano de los conjuntos
-- xss. Por ejemplo,
--    λ> producto [[1,3],[2,5],[6,4]]
--    [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]]
productoCartesiano :: [[a]] -> [[a]]
productoCartesiano []       = [[]]
productoCartesiano (xs:xss) =
  [x:ys | x <- xs, ys <- productoCartesiano xss]

-- 2ª solución
-- ===========

sumaDivisores2 :: Integer -> Integer
sumaDivisores2 = sum
               . map (product . concat)
               . sequence
               . map inits
               . group
               . primeFactors

-- 3ª solución
-- ===========

-- Si la descomposición de x en factores primos es
--    x = p(1)^e(1) . p(2)^e(2) . .... . p(n)^e(n)
-- entonces la suma de los divisores de x es
--    p(1)^(e(1)+1) - 1     p(2)^(e(2)+1) - 1       p(n)^(e(2)+1) - 1
--   ------------------- . ------------------- ... -------------------
--        p(1)-1                p(2)-1                  p(n)-1
-- Ver la demostración en http://bit.ly/2zUXZPc

sumaDivisores3 :: Integer -> Integer
sumaDivisores3 x =
  product [(p^(e+1)-1) `div` (p-1) | (p,e) <- factorizacion x]

-- (factorizacion x) es la lista de las bases y exponentes de la
-- descomposición prima de x. Por ejemplo,
--    factorizacion 600  ==  [(2,3),(3,1),(5,2)]
factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]
factorizacion = map primeroYlongitud . group . primeFactors

-- (primeroYlongitud xs) es el par formado por el primer elemento de xs
-- y la longitud de xs. Por ejemplo,
--    primeroYlongitud [3,2,5,7] == (3,4)
primeroYlongitud :: [a] -> (a,Integer)
primeroYlongitud (x:xs) =
  (x, 1 + genericLength xs)

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_sumaDivisores :: Positive Integer -> Bool
prop_sumaDivisores (Positive x) =
  all (== sumaDivisores1 x)
      [ sumaDivisores2 x
      , sumaDivisores3 x
      ]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_sumaDivisores
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--   λ> sumaDivisores1 251888923423315469521109880000000
--   1471072204661054993275791673480320
--   (10.63 secs, 10,614,618,080 bytes)
--   λ> sumaDivisores2 251888923423315469521109880000000
--   1471072204661054993275791673480320
--   (2.51 secs, 5,719,399,056 bytes)
--   λ> sumaDivisores3 251888923423315469521109880000000
--   1471072204661054993275791673480320
--   (0.01 secs, 177,480 bytes)

import Data.List (genericLength, group, inits)

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

import Test.QuickCheck

-- 1ª solución

-- ===========

sumaDivisores1 :: Integer -> Integer

sumaDivisores1 = sum . divisores

-- (divisores x) es la lista de los divisores de x. Por ejemplo,

-- divisores 60 == [1,5,3,15,2,10,6,30,4,20,12,60]

divisores :: Integer -> [Integer]

divisores = map (product . concat)

. productoCartesiano

. map inits

. group

. primeFactors

-- (productoCartesiano xss) es el producto cartesiano de los conjuntos

-- xss. Por ejemplo,

-- λ> producto [[1,3],[2,5],[6,4]]

-- [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]]

productoCartesiano :: [[a]] -> [[a]]

productoCartesiano [] = [[]]

productoCartesiano (xs:xss) =

[x:ys | x <- xs, ys <- productoCartesiano xss]

-- 2ª solución

-- ===========

sumaDivisores2 :: Integer -> Integer

sumaDivisores2 = sum

. map (product . concat)

. sequence

. map inits

. group

. primeFactors

-- 3ª solución

-- ===========

-- Si la descomposición de x en factores primos es

-- x = p(1)^e(1) . p(2)^e(2) . .... . p(n)^e(n)

-- entonces la suma de los divisores de x es

-- p(1)^(e(1)+1) - 1 p(2)^(e(2)+1) - 1 p(n)^(e(2)+1) - 1

-- ------------------- . ------------------- ... -------------------

-- p(1)-1 p(2)-1 p(n)-1

-- Ver la demostración en http://bit.ly/2zUXZPc

sumaDivisores3 :: Integer -> Integer

sumaDivisores3 x =

product [(p^(e+1)-1) `div` (p-1) | (p,e) <- factorizacion x]

-- (factorizacion x) es la lista de las bases y exponentes de la

-- descomposición prima de x. Por ejemplo,

-- factorizacion 600 == [(2,3),(3,1),(5,2)]

factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]

factorizacion = map primeroYlongitud . group . primeFactors

-- (primeroYlongitud xs) es el par formado por el primer elemento de xs

-- y la longitud de xs. Por ejemplo,

-- primeroYlongitud [3,2,5,7] == (3,4)

primeroYlongitud :: [a] -> (a,Integer)

primeroYlongitud (x:xs) =

(x, 1 + genericLength xs)

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_sumaDivisores :: Positive Integer -> Bool

prop_sumaDivisores (Positive x) =

all (== sumaDivisores1 x)

[ sumaDivisores2 x

, sumaDivisores3 x

]

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_sumaDivisores

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> sumaDivisores1 251888923423315469521109880000000

-- 1471072204661054993275791673480320

-- (10.63 secs, 10,614,618,080 bytes)

-- λ> sumaDivisores2 251888923423315469521109880000000

-- 1471072204661054993275791673480320

-- (2.51 secs, 5,719,399,056 bytes)

-- λ> sumaDivisores3 251888923423315469521109880000000

-- 1471072204661054993275791673480320

-- (0.01 secs, 177,480 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

Número de divisores

PorJosé A. Alonso 13-mayo-2022

Definir la función

   numeroDivisores :: Integer -> Integer

1	numeroDivisores :: Integer -> Integer

tal que (numeroDivisores x) es el número de divisores de x. Por ejemplo,

   numeroDivisores 12  ==  6
   numeroDivisores 25  ==  3
   length (show (numeroDivisores (product [1..3*10^4])))  ==  1948

numeroDivisores 12 == 6

numeroDivisores 25 == 3

length (show (numeroDivisores (product [1..3*10^4]))) == 1948

Soluciones

import Data.List (genericLength, group, inits)
import Data.Numbers.Primes (primeFactors)
import Test.QuickCheck

-- 1ª solución
-- ===========

numeroDivisores1 :: Integer -> Integer
numeroDivisores1 x =
  genericLength [y | y <- [1..x], x `mod` y == 0]

-- 2ª solución
-- ===========

numeroDivisores2 :: Integer -> Integer
numeroDivisores2 1 = 1
numeroDivisores2 x
  | esCuadrado x = 2 * genericLength [y | y <- [1..raizEntera x], x `mod` y == 0] - 1
  | otherwise    = 2 * genericLength [y | y <- [1..raizEntera x], x `mod` y == 0]

-- (raizEntera x) es el mayor número entero cuyo cuadrado es menor o
-- igual que x. Por ejemplo,
--    raizEntera 3  ==  1
--    raizEntera 4  ==  2
--    raizEntera 5  ==  2
--    raizEntera 8  ==  2
--    raizEntera 9  ==  3
raizEntera :: Integer -> Integer
raizEntera x = floor (sqrt (fromInteger x))

-- (esCuadrado x) se verifica si x es un cuadrado perfecto. Por ejemplo,
--    esCuadrado 9  ==  True
--    esCuadrado 7  ==  False
esCuadrado :: Integer -> Bool
esCuadrado x =
  x == (raizEntera x)^2

-- 3ª solución
-- ===========

numeroDivisores3 :: Integer -> Integer
numeroDivisores3 =
  genericLength . divisores

-- (divisores x) es la lista de los divisores de x. Por ejemplo,
--    divisores 12  ==  [1,3,2,6,4,12]
--    divisores 25  ==  [1,5,25]
divisores :: Integer -> [Integer]
divisores = map (product . concat)
          . productoCartesiano
          . map inits
          . group
          . primeFactors

-- (productoCartesiano xss) es el producto cartesiano de los conjuntos
-- xss. Por ejemplo,
--    λ> productoCartesiano [[1,3],[2,5],[6,4]]
--    [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]]
productoCartesiano :: [[a]] -> [[a]]
productoCartesiano []       = [[]]
productoCartesiano (xs:xss) =
  [x:ys | x <- xs, ys <- productoCartesiano xss]

-- 4ª solución
-- ===========

numeroDivisores4 :: Integer -> Integer
numeroDivisores4 = genericLength
                 . map (product . concat)
                 . sequence
                 . map inits
                 . group
                 . primeFactors

-- 5ª solución
-- ===========

numeroDivisores5 :: Integer -> Integer
numeroDivisores5 =
  product . map ((+1) . genericLength) . group . primeFactors

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_numeroDivisores :: Positive Integer -> Bool
prop_numeroDivisores (Positive x) =
  all (== numeroDivisores1 x)
      [ numeroDivisores2 x
      , numeroDivisores3 x
      , numeroDivisores4 x
      , numeroDivisores5 x]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_numeroDivisores
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> numeroDivisores1 (product [1..10])
--    270
--    (1.67 secs, 726,327,208 bytes)
--    λ> numeroDivisores2 (product [1..10])
--    270
--    (0.01 secs, 929,000 bytes)
--
--    λ> numeroDivisores2 (product [1..16])
--    5376
--    (2.10 secs, 915,864,664 bytes)
--    λ> numeroDivisores3 (product [1..16])
--    5376
--    (0.01 secs, 548,472 bytes)
--
--    λ> numeroDivisores3 (product [1..30])
--    2332800
--    (3.80 secs, 4,149,811,688 bytes)
--    λ> numeroDivisores4 (product [1..30])
--    2332800
--    (0.59 secs, 722,253,848 bytes)
--    λ> numeroDivisores5 (product [1..30])
--    2332800
--    (0.00 secs, 587,856 bytes)

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

import Data.List (genericLength, group, inits)

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

import Test.QuickCheck

-- 1ª solución

-- ===========

numeroDivisores1 :: Integer -> Integer

numeroDivisores1 x =

genericLength [y | y <- [1..x], x `mod` y == 0]

-- 2ª solución

-- ===========

numeroDivisores2 :: Integer -> Integer

numeroDivisores2 1 = 1

numeroDivisores2 x

| esCuadrado x = 2 * genericLength [y | y <- [1..raizEntera x], x `mod` y == 0] - 1

| otherwise = 2 * genericLength [y | y <- [1..raizEntera x], x `mod` y == 0]

-- (raizEntera x) es el mayor número entero cuyo cuadrado es menor o

-- igual que x. Por ejemplo,

-- raizEntera 3 == 1

-- raizEntera 4 == 2

-- raizEntera 5 == 2

-- raizEntera 8 == 2

-- raizEntera 9 == 3

raizEntera :: Integer -> Integer

raizEntera x = floor (sqrt (fromInteger x))

-- (esCuadrado x) se verifica si x es un cuadrado perfecto. Por ejemplo,

-- esCuadrado 9 == True

-- esCuadrado 7 == False

esCuadrado :: Integer -> Bool

esCuadrado x =

x == (raizEntera x)^2

-- 3ª solución

-- ===========

numeroDivisores3 :: Integer -> Integer

numeroDivisores3 =

genericLength . divisores

-- (divisores x) es la lista de los divisores de x. Por ejemplo,

-- divisores 12 == [1,3,2,6,4,12]

-- divisores 25 == [1,5,25]

divisores :: Integer -> [Integer]

divisores = map (product . concat)

. productoCartesiano

. map inits

. group

. primeFactors

-- (productoCartesiano xss) es el producto cartesiano de los conjuntos

-- xss. Por ejemplo,

-- λ> productoCartesiano [[1,3],[2,5],[6,4]]

-- [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]]

productoCartesiano :: [[a]] -> [[a]]

productoCartesiano [] = [[]]

productoCartesiano (xs:xss) =

[x:ys | x <- xs, ys <- productoCartesiano xss]

-- 4ª solución

-- ===========

numeroDivisores4 :: Integer -> Integer

numeroDivisores4 = genericLength

. map (product . concat)

. sequence

. map inits

. group

. primeFactors

-- 5ª solución

-- ===========

numeroDivisores5 :: Integer -> Integer

numeroDivisores5 =

product . map ((+1) . genericLength) . group . primeFactors

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_numeroDivisores :: Positive Integer -> Bool

prop_numeroDivisores (Positive x) =

all (== numeroDivisores1 x)

[ numeroDivisores2 x

, numeroDivisores3 x

, numeroDivisores4 x

, numeroDivisores5 x]

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_numeroDivisores

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> numeroDivisores1 (product [1..10])

-- 270

-- (1.67 secs, 726,327,208 bytes)

-- λ> numeroDivisores2 (product [1..10])

-- 270

-- (0.01 secs, 929,000 bytes)

-- λ> numeroDivisores2 (product [1..16])

-- 5376

-- (2.10 secs, 915,864,664 bytes)

-- λ> numeroDivisores3 (product [1..16])

-- 5376

-- (0.01 secs, 548,472 bytes)

-- λ> numeroDivisores3 (product [1..30])

-- 2332800

-- (3.80 secs, 4,149,811,688 bytes)

-- λ> numeroDivisores4 (product [1..30])

-- 2332800

-- (0.59 secs, 722,253,848 bytes)

-- λ> numeroDivisores5 (product [1..30])

-- 2332800

-- (0.00 secs, 587,856 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

Conjunto de divisores

PorJosé A. Alonso 12-mayo-202212-mayo-2022

Definir la función

   divisores :: Integer -> [Integer]

1	divisores :: Integer -> [Integer]

tal que (divisores x) es el conjunto de divisores de x. Por ejemplo,

  divisores 30  ==  [1,2,3,5,6,10,15,30]
  length (divisores (product [1..10]))  ==  270
  length (divisores (product [1..25]))  ==  340032

divisores 30 == [1,2,3,5,6,10,15,30]

length (divisores (product [1..10])) == 270

length (divisores (product [1..25])) == 340032

Soluciones

import Data.List (group, inits, nub, sort, subsequences)
import Data.Numbers.Primes (primeFactors)
import Test.QuickCheck

-- 1ª solución
-- ===========

divisores1 :: Integer -> [Integer]
divisores1 n = [x | x <- [1..n], n `rem` x == 0]

-- 2ª solución
-- ===========

divisores2 :: Integer -> [Integer]
divisores2 n = filter ((== 0) . mod n) [1..n]

-- 3ª solución
-- ===========

divisores3 :: Integer -> [Integer]
divisores3 =
  nub . sort . map product . subsequences . primeFactors

-- 4ª solución
-- ===========

divisores4 :: Integer -> [Integer]
divisores4 =
  sort
  . map (product . concat)
  . productoCartesiano
  . map inits
  . group
  . primeFactors

-- (productoCartesiano xss) es el producto cartesiano de los conjuntos
-- xss. Por ejemplo,
--    λ> productoCartesiano [[1,3],[2,5],[6,4]]
--    [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]]
productoCartesiano :: [[a]] -> [[a]]
productoCartesiano []       = [[]]
productoCartesiano (xs:xss) =
  [x:ys | x <- xs, ys <- productoCartesiano xss]

-- 5ª solución
-- ===========

divisores5 :: Integer -> [Integer]
divisores5 = sort
           . map (product . concat)
           . sequence
           . map inits
           . group
           . primeFactors

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_divisores :: Positive Integer -> Bool
prop_divisores (Positive n) =
  all (== divisores1 n)
      [ divisores2 n
      , divisores3 n
      , divisores4 n
      , divisores5 n
      ]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_divisores
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de la eficiencia
-- ============================

--    λ> length (divisores (product [1..11]))
--    540
--    (12.51 secs, 7,983,499,736 bytes)
--    λ> length (divisores2 (product [1..11]))
--    540
--    (4.81 secs, 4,790,146,656 bytes)
--    λ> length (divisores3 (product [1..11]))
--    540
--    (0.10 secs, 107,339,848 bytes)
--    λ> length (divisores4 (product [1..11]))
--    540
--    (0.02 secs, 1,702,616 bytes)
--    λ> length (divisores5 (product [1..11]))
--    540
--    (0.02 secs, 1,205,824 bytes)
--
--    λ> length (divisores3 (product [1..14]))
--    2592
--    (7.89 secs, 9,378,454,912 bytes)
--    λ> length (divisores4 (product [1..14]))
--    2592
--    (0.03 secs, 9,426,528 bytes)
--    λ> length (divisores5 (product [1..14]))
--    2592
--    (0.02 secs, 6,636,608 bytes)
--    
--    λ> length (divisores4 (product [1..25]))
--    340032
--    (1.65 secs, 2,055,558,208 bytes)
--    λ> length (divisores5 (product [1..25]))
--    340032
--    (0.88 secs, 1,532,515,304 bytes)

100

101

102

103

104

105

106

107

import Data.List (group, inits, nub, sort, subsequences)

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

import Test.QuickCheck

-- 1ª solución

-- ===========

divisores1 :: Integer -> [Integer]

divisores1 n = [x | x <- [1..n], n `rem` x == 0]

-- 2ª solución

-- ===========

divisores2 :: Integer -> [Integer]

divisores2 n = filter ((== 0) . mod n) [1..n]

-- 3ª solución

-- ===========

divisores3 :: Integer -> [Integer]

divisores3 =

nub . sort . map product . subsequences . primeFactors

-- 4ª solución

-- ===========

divisores4 :: Integer -> [Integer]

divisores4 =

sort

. map (product . concat)

. productoCartesiano

. map inits

. group

. primeFactors

-- (productoCartesiano xss) es el producto cartesiano de los conjuntos

-- xss. Por ejemplo,

-- λ> productoCartesiano [[1,3],[2,5],[6,4]]

-- [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]]

productoCartesiano :: [[a]] -> [[a]]

productoCartesiano [] = [[]]

productoCartesiano (xs:xss) =

[x:ys | x <- xs, ys <- productoCartesiano xss]

-- 5ª solución

-- ===========

divisores5 :: Integer -> [Integer]

divisores5 = sort

. map (product . concat)

. sequence

. map inits

. group

. primeFactors

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_divisores :: Positive Integer -> Bool

prop_divisores (Positive n) =

all (== divisores1 n)

[ divisores2 n

, divisores3 n

, divisores4 n

, divisores5 n

]

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_divisores

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de la eficiencia

-- ============================

-- λ> length (divisores (product [1..11]))

-- 540

-- (12.51 secs, 7,983,499,736 bytes)

-- λ> length (divisores2 (product [1..11]))

-- 540

-- (4.81 secs, 4,790,146,656 bytes)

-- λ> length (divisores3 (product [1..11]))

-- 540

-- (0.10 secs, 107,339,848 bytes)

-- λ> length (divisores4 (product [1..11]))

-- 540

-- (0.02 secs, 1,702,616 bytes)

-- λ> length (divisores5 (product [1..11]))

-- 540

-- (0.02 secs, 1,205,824 bytes)

-- λ> length (divisores3 (product [1..14]))

-- 2592

-- (7.89 secs, 9,378,454,912 bytes)

-- λ> length (divisores4 (product [1..14]))

-- 2592

-- (0.03 secs, 9,426,528 bytes)

-- λ> length (divisores5 (product [1..14]))

-- 2592

-- (0.02 secs, 6,636,608 bytes)

-- λ> length (divisores4 (product [1..25]))

-- 340032

-- (1.65 secs, 2,055,558,208 bytes)

-- λ> length (divisores5 (product [1..25]))

-- 340032

-- (0.88 secs, 1,532,515,304 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

Reconocimiento de potencias de 2

PorJosé A. Alonso 11-mayo-2022

Definir la función

   esPotenciaDeDos :: Integer -> Bool

1	esPotenciaDeDos :: Integer -> Bool

tal que (esPotenciaDeDos n) se verifica si n es una potencia de dos (suponiendo que n es mayor que 0). Por ejemplo.

   esPotenciaDeDos    1        == True
   esPotenciaDeDos    2        == True
   esPotenciaDeDos    6        == False
   esPotenciaDeDos    8        == True
   esPotenciaDeDos 1024        == True
   esPotenciaDeDos 1026        == False
   esPotenciaDeDos (2^(10^8))  == True

esPotenciaDeDos 1 == True

esPotenciaDeDos 2 == True

esPotenciaDeDos 6 == False

esPotenciaDeDos 8 == True

esPotenciaDeDos 1024 == True

esPotenciaDeDos 1026 == False

esPotenciaDeDos (2^(10^8)) == True

Soluciones

import Data.Bits ((.&.))
import Data.Numbers.Primes (primeFactors)
import Test.QuickCheck (Positive (Positive), quickCheck)

-- 1ª solución
-- ===========

esPotenciaDeDos1 :: Integer -> Bool
esPotenciaDeDos1 1 = True
esPotenciaDeDos1 n
  | even n    = esPotenciaDeDos1 (n `div` 2)
  | otherwise = False

-- 2ª solución
-- ===========

esPotenciaDeDos2 :: Integer -> Bool
esPotenciaDeDos2 n = n ==
  head (dropWhile (<n) potenciasDeDos)

-- potenciasDeDos es la lista de las potencias de dos. Por ejemplo,
--    take 10 potenciasDeDos  == [1,2,4,8,16,32,64,128,256,512]
potenciasDeDos :: [Integer]
potenciasDeDos = iterate (*2) 1

-- 3ª solución
-- ===========

esPotenciaDeDos3 :: Integer -> Bool
esPotenciaDeDos3 x = all (==2) (primeFactors x)

-- 4ª solución
-- ===========

-- Usando la función (.&.) de la librería Data.Bits. Dicha función
-- calcula el número correspondiente a la conjunción de las
-- representaciones binarias de sus argumentos. Por ejemplo,
--    6 .&. 3 == 2
-- ya que
--    la representación binaria de 6 es     [1,1,0]
--    la representación binaria de 3 es       [1,1]
--    la conjunción es                        [1,0]
--    la representación decimal de [1,0] es   2
--
-- Otros ejemplos:
--    4 .&. 3 ==   [1,0,0] .&.   [1,1] == 0
--    8 .&. 7 == [1,0,0,0] .&. [1,1,1] = 0

esPotenciaDeDos4 :: Integer -> Bool
esPotenciaDeDos4 n = n .&. (n-1) == 0

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_esPotenciaDeDos :: Positive Integer -> Bool
prop_esPotenciaDeDos (Positive n) =
  all (== esPotenciaDeDos1 n)
      [ esPotenciaDeDos2 n
      , esPotenciaDeDos3 n
      , esPotenciaDeDos4 n
      ]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_esPotenciaDeDos
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> esPotenciaDeDos1 (2^(3*10^5))
--    True
--    (3.51 secs, 5,730,072,544 bytes)
--    λ> esPotenciaDeDos2 (2^(3*10^5))
--    True
--    (3.12 secs, 5,755,639,952 bytes)
--    λ> esPotenciaDeDos3 (2^(3*10^5))
--    True
--    (2.92 secs, 5,758,872,040 bytes)
--    λ> esPotenciaDeDos4 (2^(3*10^5))
--    True
--    (0.03 secs, 715,152 bytes)

import Data.Bits ((.&.))

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

import Test.QuickCheck (Positive (Positive), quickCheck)

-- 1ª solución

-- ===========

esPotenciaDeDos1 :: Integer -> Bool

esPotenciaDeDos1 1 = True

esPotenciaDeDos1 n

| even n = esPotenciaDeDos1 (n `div` 2)

| otherwise = False

-- 2ª solución

-- ===========

esPotenciaDeDos2 :: Integer -> Bool

esPotenciaDeDos2 n = n ==

head (dropWhile (<n) potenciasDeDos)

-- potenciasDeDos es la lista de las potencias de dos. Por ejemplo,

-- take 10 potenciasDeDos == [1,2,4,8,16,32,64,128,256,512]

potenciasDeDos :: [Integer]

potenciasDeDos = iterate (*2) 1

-- 3ª solución

-- ===========

esPotenciaDeDos3 :: Integer -> Bool

esPotenciaDeDos3 x = all (==2) (primeFactors x)

-- 4ª solución

-- ===========

-- Usando la función (.&.) de la librería Data.Bits. Dicha función

-- calcula el número correspondiente a la conjunción de las

-- representaciones binarias de sus argumentos. Por ejemplo,

-- 6 .&. 3 == 2

-- ya que

-- la representación binaria de 6 es [1,1,0]

-- la representación binaria de 3 es [1,1]

-- la conjunción es [1,0]

-- la representación decimal de [1,0] es 2

-- Otros ejemplos:

-- 4 .&. 3 == [1,0,0] .&. [1,1] == 0

-- 8 .&. 7 == [1,0,0,0] .&. [1,1,1] = 0

esPotenciaDeDos4 :: Integer -> Bool

esPotenciaDeDos4 n = n .&. (n-1) == 0

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_esPotenciaDeDos :: Positive Integer -> Bool

prop_esPotenciaDeDos (Positive n) =

all (== esPotenciaDeDos1 n)

[ esPotenciaDeDos2 n

, esPotenciaDeDos3 n

, esPotenciaDeDos4 n

]

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_esPotenciaDeDos

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> esPotenciaDeDos1 (2^(3*10^5))

-- True

-- (3.51 secs, 5,730,072,544 bytes)

-- λ> esPotenciaDeDos2 (2^(3*10^5))

-- True

-- (3.12 secs, 5,755,639,952 bytes)

-- λ> esPotenciaDeDos3 (2^(3*10^5))

-- True

-- (2.92 secs, 5,758,872,040 bytes)

-- λ> esPotenciaDeDos4 (2^(3*10^5))

-- True

-- (0.03 secs, 715,152 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

Mínimo producto escalar

PorJosé A. Alonso 9-mayo-202214-mayo-2022

El producto escalar de los vectores [a1,a2,…,an] y [b1,b2,…, bn] es

   a1 * b1 + a2 * b2 + ··· + an * bn.

1	a1 * b1 + a2 * b2 + ··· + an * bn.

Definir la función

   menorProductoEscalar :: (Ord a, Num a) => [a] -> [a] -> a

1	menorProductoEscalar :: (Ord a, Num a) => [a] -> [a] -> a

tal que (menorProductoEscalar xs ys) es el mínimo de los productos escalares de las permutaciones de xs y de las permutaciones de ys. Por ejemplo,

   menorProductoEscalar [3,2,5]  [1,4,6]    == 29
   menorProductoEscalar [3,2,5]  [1,4,-6]   == -19
   menorProductoEscalar [1..10^2] [1..10^2] == 171700
   menorProductoEscalar [1..10^3] [1..10^3] == 167167000
   menorProductoEscalar [1..10^4] [1..10^4] == 166716670000
   menorProductoEscalar [1..10^5] [1..10^5] == 166671666700000
   menorProductoEscalar [1..10^6] [1..10^6] == 166667166667000000

menorProductoEscalar [3,2,5] [1,4,6] == 29

menorProductoEscalar [3,2,5] [1,4,-6] == -19

menorProductoEscalar [1..10^2] [1..10^2] == 171700

menorProductoEscalar [1..10^3] [1..10^3] == 167167000

menorProductoEscalar [1..10^4] [1..10^4] == 166716670000

menorProductoEscalar [1..10^5] [1..10^5] == 166671666700000

menorProductoEscalar [1..10^6] [1..10^6] == 166667166667000000

Soluciones

module Minimo_producto_escalar where

import Data.List (sort, permutations)
import Test.QuickCheck (quickCheck)

-- 1ª solución
-- ===========

menorProductoEscalar1 :: (Ord a, Num a) => [a] -> [a] -> a
menorProductoEscalar1 xs ys =
  minimum [sum (zipWith (*) pxs pys) | pxs <- permutations xs,
                                       pys <- permutations ys]

-- 2ª solución
-- ===========

menorProductoEscalar2 :: (Ord a, Num a) => [a] -> [a] -> a
menorProductoEscalar2 xs ys =
  minimum [sum (zipWith (*) pxs ys) | pxs <- permutations xs]

-- 3ª solución
-- ===========

menorProductoEscalar3 :: (Ord a, Num a) => [a] -> [a] -> a
menorProductoEscalar3 xs ys =
  sum (zipWith (*) (sort xs) (reverse (sort ys)))

-- Equivalencia
-- ============

-- La propiedad es
prop_menorProductoEscalar :: [Integer] -> [Integer] -> Bool
prop_menorProductoEscalar xs ys =
  all (== menorProductoEscalar1 xs' ys')
      [menorProductoEscalar2 xs' ys',
       menorProductoEscalar3 xs' ys']
  where n   = min (length xs) (length ys)
        xs' = take n xs
        ys' = take n ys

-- La comprobación es
--    λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_menorProductoEscalar
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> menorProductoEscalar1 [0..5] [0..5]
--    20
--    (3.24 secs, 977385528 bytes)
--    λ> menorProductoEscalar2 [0..5] [0..5]
--    20
--    (0.01 secs, 4185776 bytes)
--
--    λ> menorProductoEscalar2 [0..9] [0..9]
--    120
--    (23.86 secs, 9342872784 bytes)
--    λ> menorProductoEscalar3 [0..9] [0..9]
--    120
--    (0.01 secs, 2580824 bytes)
--
--    λ> menorProductoEscalar3 [0..10^6] [0..10^6]
--    166666666666500000
--    (2.46 secs, 473,338,912 bytes)

module Minimo_producto_escalar where

import Data.List (sort, permutations)

import Test.QuickCheck (quickCheck)

-- 1ª solución

-- ===========

menorProductoEscalar1 :: (Ord a, Num a) => [a] -> [a] -> a

menorProductoEscalar1 xs ys =

minimum [sum (zipWith (*) pxs pys) | pxs <- permutations xs,

pys <- permutations ys]

-- 2ª solución

-- ===========

menorProductoEscalar2 :: (Ord a, Num a) => [a] -> [a] -> a

menorProductoEscalar2 xs ys =

minimum [sum (zipWith (*) pxs ys) | pxs <- permutations xs]

-- 3ª solución

-- ===========

menorProductoEscalar3 :: (Ord a, Num a) => [a] -> [a] -> a

menorProductoEscalar3 xs ys =

sum (zipWith (*) (sort xs) (reverse (sort ys)))

-- Equivalencia

-- ============

-- La propiedad es

prop_menorProductoEscalar :: [Integer] -> [Integer] -> Bool

prop_menorProductoEscalar xs ys =

all (== menorProductoEscalar1 xs' ys')

[menorProductoEscalar2 xs' ys',

menorProductoEscalar3 xs' ys']

where n = min (length xs) (length ys)

xs' = take n xs

ys' = take n ys

-- La comprobación es

-- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_menorProductoEscalar

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> menorProductoEscalar1 [0..5] [0..5]

-- 20

-- (3.24 secs, 977385528 bytes)

-- λ> menorProductoEscalar2 [0..5] [0..5]

-- 20

-- (0.01 secs, 4185776 bytes)

-- λ> menorProductoEscalar2 [0..9] [0..9]

-- 120

-- (23.86 secs, 9342872784 bytes)

-- λ> menorProductoEscalar3 [0..9] [0..9]

-- 120

-- (0.01 secs, 2580824 bytes)

-- λ> menorProductoEscalar3 [0..10^6] [0..10^6]

-- 166666666666500000

-- (2.46 secs, 473,338,912 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

Clausura de un conjunto respecto de una función

PorJosé A. Alonso 2-mayo-20223-mayo-2022

Un conjunto A está cerrado respecto de una función f si para elemento x de A se tiene que f(x) pertenece a A. La clausura de un conjunto B respecto de una función f es el menor conjunto A que contiene a B y es cerrado respecto de f. Por ejemplo, la clausura de {0,1,2] respecto del opuesto es {-2,-1,0,1,2}.

Definir la función

   clausura :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]

1	clausura :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]

tal que (clausura f xs) es la clausura de xs respecto de f. Por ejemplo,

   clausura (\x -> -x) [0,1,2]         ==  [-2,-1,0,1,2]
   clausura (\x -> (x+1) `mod` 5) [0]  ==  [0,1,2,3,4]
   length (clausura (\x -> (x+1) `mod` (10^6)) [0]) == 1000000

clausura (\x -> -x) [0,1,2] == [-2,-1,0,1,2]

clausura (\x -> (x+1) `mod` 5) [0] == [0,1,2,3,4]

length (clausura (\x -> (x+1) `mod` (10^6)) [0]) == 1000000

Soluciones

module Clausura where

import Data.List ((\\), nub, sort, union)
import Test.QuickCheck.HigherOrder (quickCheck')
import qualified Data.Set as S (Set, difference, fromList, map, null, toList, union)

-- 1ª solución
-- ===========

clausura1 :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]
clausura1 f xs
  | esCerrado f xs = sort xs
  | otherwise      = clausura1 f (expansion f xs)

-- (esCerrado f xs) se verifica si al aplicar f a cualquier elemento de
-- xs se obtiene un elemento de xs. Por ejemplo,
--    λ> esCerrado (\x -> -x) [0,1,2]
--    False
--    λ> esCerrado (\x -> -x) [0,1,2,-2,-1]
--    True
esCerrado :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> Bool
esCerrado f xs = all (`elem` xs) (map f xs)

-- (expansion f xs) es la lista (sin repeticiones) obtenidas añadiéndole
-- a xs el resulta de aplicar f a sus elementos. Por ejemplo,
--    expansion (\x -> -x) [0,1,2]  ==  [0,1,2,-1,-2]
expansion :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]
expansion f xs = xs `union` map f xs

-- 2ª solución
-- ===========

clausura2 :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]
clausura2 f xs = sort (until (esCerrado f) (expansion f) xs)

-- 3ª solución
-- ===========

clausura3 :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]
clausura3 f xs = aux xs xs
  where aux ys vs | null ns   = sort vs
                  | otherwise = aux ns (vs ++ ns)
          where ns = nub (map f ys) \\ vs

-- 4ª solución
-- ===========

clausura4 :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]
clausura4 f xs = S.toList (clausura4' f (S.fromList xs))

clausura4' :: Ord a => (a -> a) -> S.Set a -> S.Set a
clausura4' f xs = aux xs xs
  where aux ys vs | S.null ns = vs
                  | otherwise = aux ns (vs `S.union` ns)
          where ns = S.map f ys `S.difference` vs

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_clausura :: (Int -> Int) -> [Int] -> Bool
prop_clausura f xs =
  all (== clausura1 f xs')
      [ clausura2 f xs'
      , clausura3 f xs'
      , clausura4 f xs'
      ]
  where xs' = sort (nub xs)

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck' prop_clausura
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> length (clausura1 (\x -> (x+1) `mod` 800) [0])
--    800
--    (1.95 secs, 213,481,560 bytes)
--    λ> length (clausura2 (\x -> (x+1) `mod` 800) [0])
--    800
--    (1.96 secs, 213,372,824 bytes)
--    λ> length (clausura3 (\x -> (x+1) `mod` 800) [0])
--    800
--    (0.03 secs, 42,055,128 bytes)
--    λ> length (clausura4 (\x -> (x+1) `mod` 800) [0])
--    800
--    (0.01 secs, 1,779,768 bytes)
--
--    λ> length (clausura3 (\x -> (x+1) `mod` (10^4)) [0])
--    10000
--    (2.50 secs, 8,080,105,816 bytes)
--    λ> length (clausura4 (\x -> (x+1) `mod` (10^4)) [0])
--    10000
--    (0.05 secs, 27,186,920 bytes)

module Clausura where

import Data.List ((\\), nub, sort, union)

import Test.QuickCheck.HigherOrder (quickCheck')

import qualified Data.Set as S (Set, difference, fromList, map, null, toList, union)

-- 1ª solución

-- ===========

clausura1 :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]

clausura1 f xs

| esCerrado f xs = sort xs

| otherwise = clausura1 f (expansion f xs)

-- (esCerrado f xs) se verifica si al aplicar f a cualquier elemento de

-- xs se obtiene un elemento de xs. Por ejemplo,

-- λ> esCerrado (\x -> -x) [0,1,2]

-- False

-- λ> esCerrado (\x -> -x) [0,1,2,-2,-1]

-- True

esCerrado :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> Bool

esCerrado f xs = all (`elem` xs) (map f xs)

-- (expansion f xs) es la lista (sin repeticiones) obtenidas añadiéndole

-- a xs el resulta de aplicar f a sus elementos. Por ejemplo,

-- expansion (\x -> -x) [0,1,2] == [0,1,2,-1,-2]

expansion :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]

expansion f xs = xs `union` map f xs

-- 2ª solución

-- ===========

clausura2 :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]

clausura2 f xs = sort (until (esCerrado f) (expansion f) xs)

-- 3ª solución

-- ===========

clausura3 :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]

clausura3 f xs = aux xs xs

where aux ys vs | null ns = sort vs

| otherwise = aux ns (vs ++ ns)

where ns = nub (map f ys) \\ vs

-- 4ª solución

-- ===========

clausura4 :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [a]

clausura4 f xs = S.toList (clausura4' f (S.fromList xs))

clausura4' :: Ord a => (a -> a) -> S.Set a -> S.Set a

clausura4' f xs = aux xs xs

where aux ys vs | S.null ns = vs

| otherwise = aux ns (vs `S.union` ns)

where ns = S.map f ys `S.difference` vs

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_clausura :: (Int -> Int) -> [Int] -> Bool

prop_clausura f xs =

all (== clausura1 f xs')

[ clausura2 f xs'

, clausura3 f xs'

, clausura4 f xs'

]

where xs' = sort (nub xs)

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck' prop_clausura

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> length (clausura1 (\x -> (x+1) `mod` 800) [0])

-- 800

-- (1.95 secs, 213,481,560 bytes)

-- λ> length (clausura2 (\x -> (x+1) `mod` 800) [0])

-- 800

-- (1.96 secs, 213,372,824 bytes)

-- λ> length (clausura3 (\x -> (x+1) `mod` 800) [0])

-- 800

-- (0.03 secs, 42,055,128 bytes)

-- λ> length (clausura4 (\x -> (x+1) `mod` 800) [0])

-- 800

-- (0.01 secs, 1,779,768 bytes)

-- λ> length (clausura3 (\x -> (x+1) `mod` (10^4)) [0])

-- 10000

-- (2.50 secs, 8,080,105,816 bytes)

-- λ> length (clausura4 (\x -> (x+1) `mod` (10^4)) [0])

-- 10000

-- (0.05 secs, 27,186,920 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Números con todos sus dígitos primos

PorJosé A. Alonso 29-abril-20221-mayo-2022

Definir la lista

   numerosConDigitosPrimos :: [Integer]

1	numerosConDigitosPrimos :: [Integer]

cuyos elementos son los números con todos sus dígitos primos. Por ejemplo,

   λ> take 22 numerosConDigitosPrimos
   [2,3,5,7,22,23,25,27,32,33,35,37,52,53,55,57,72,73,75,77,222,223]
   λ> numerosConDigitosPrimos !! (10^7)
   322732232572

λ> take 22 numerosConDigitosPrimos

[2,3,5,7,22,23,25,27,32,33,35,37,52,53,55,57,72,73,75,77,222,223]

λ> numerosConDigitosPrimos !! (10^7)

322732232572

Soluciones

module Numeros_con_digitos_primos where

import Test.QuickCheck (NonNegative (NonNegative), quickCheck)
import Data.Char (intToDigit)

-- 1ª solución
-- ===========

numerosConDigitosPrimos1 :: [Integer]
numerosConDigitosPrimos1 = [n | n <- [2..], digitosPrimos n]

-- (digitosPrimos n) se verifica si todos los dígitos de n son
-- primos. Por ejemplo,
--    digitosPrimos 352  ==  True
--    digitosPrimos 362  ==  False
digitosPrimos :: Integer -> Bool
digitosPrimos n = subconjunto (digitos n) [2,3,5,7]

-- (digitos n) es la lista de las digitos de n. Por ejemplo,
--    digitos 325  ==  [3,2,5]
digitos :: Integer -> [Integer]
digitos n = [read [x] | x <- show n]

-- (subconjunto xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de ys. Por
-- ejemplo,
--    subconjunto [3,2,5,2] [2,7,3,5]  ==  True
--    subconjunto [3,2,5,2] [2,7,2,5]  ==  False
subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
subconjunto xs ys = and [x `elem` ys | x <- xs]

-- 2ª solución
-- ===========

numerosConDigitosPrimos2 :: [Integer]
numerosConDigitosPrimos2 =
  filter (all (`elem` "2357") . show) [2..]

-- 3ª solución
-- ===========

--    λ> take 60 numerosConDigitosPrimos2
--    [  2,  3,  5,  7,
--      22, 23, 25, 27,
--      32, 33, 35, 37,
--      52, 53, 55, 57,
--      72, 73, 75, 77,
--     222,223,225,227,
--     232,233,235,237,
--     252,253,255,257,
--     272,273,275,277,
--     322,323,325,327,
--     332,333,335,337,
--     352,353,355,357,
--     372,373,375,377,
--     522,523,525,527,
--     532,533,535,537]

numerosConDigitosPrimos3 :: [Integer]
numerosConDigitosPrimos3 =
  [2,3,5,7] ++ [10*n+d | n <- numerosConDigitosPrimos3, d <- [2,3,5,7]]

-- 4ª solución
-- ===========

--    λ> take 60 numerosConDigitosPrimos2
--    [ 2, 3, 5, 7,
--     22,23,25,27,
--     32,33,35,37,
--     52,53,55,57,
--     72,73,75,77,
--     222,223,225,227, 232,233,235,237, 252,253,255,257, 272,273,275,277,
--     322,323,325,327, 332,333,335,337, 352,353,355,357, 372,373,375,377,
--     522,523,525,527, 532,533,535,537]

numerosConDigitosPrimos4 :: [Integer]
numerosConDigitosPrimos4 = concat (iterate siguiente [2,3,5,7])

-- (siguiente xs) es la lista obtenida añadiendo delante de cada
-- elemento de xs los dígitos 2, 3, 5 y 7. Por ejemplo,
--    λ> siguiente [5,6,8]
--    [25,26,28,
--     35,36,38,
--     55,56,58,
--     75,76,78]
siguiente :: [Integer] -> [Integer]
siguiente xs = concat [map (pega d) xs | d <- [2,3,5,7]]

-- (pega d n) es el número obtenido añadiendo el dígito d delante del
-- número n. Por ejemplo,
--    pega 3 35  ==  335
pega :: Int -> Integer -> Integer
pega d n = read (intToDigit d : show n)

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_numerosConDigitosPrimos :: NonNegative Int -> Bool
prop_numerosConDigitosPrimos (NonNegative n) =
  all (== numerosConDigitosPrimos1 !! n)
      [ numerosConDigitosPrimos2 !! n
      , numerosConDigitosPrimos3 !! n
      , numerosConDigitosPrimos4 !! n
      ]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_numerosConDigitosPrimos
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> numerosConDigitosPrimos1 !! 5000
--    752732
--    (2.45 secs, 6,066,926,272 bytes)
--    λ> numerosConDigitosPrimos2 !! 5000
--    752732
--    (0.34 secs, 387,603,456 bytes)
--    λ> numerosConDigitosPrimos3 !! 5000
--    752732
--    (0.01 secs, 1,437,624 bytes)
--    λ> numerosConDigitosPrimos4 !! 5000
--    752732
--    (0.00 secs, 1,556,104 bytes)
--
--    λ> numerosConDigitosPrimos3 !! (10^7)
--    322732232572
--    (3.94 secs, 1,820,533,328 bytes)
--    λ> numerosConDigitosPrimos4 !! (10^7)
--    322732232572
--    (1.84 secs, 2,000,606,640 bytes)

100

101

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130

131

132

module Numeros_con_digitos_primos where

import Test.QuickCheck (NonNegative (NonNegative), quickCheck)

import Data.Char (intToDigit)

-- 1ª solución

-- ===========

numerosConDigitosPrimos1 :: [Integer]

numerosConDigitosPrimos1 = [n | n <- [2..], digitosPrimos n]

-- (digitosPrimos n) se verifica si todos los dígitos de n son

-- primos. Por ejemplo,

-- digitosPrimos 352 == True

-- digitosPrimos 362 == False

digitosPrimos :: Integer -> Bool

digitosPrimos n = subconjunto (digitos n) [2,3,5,7]

-- (digitos n) es la lista de las digitos de n. Por ejemplo,

-- digitos 325 == [3,2,5]

digitos :: Integer -> [Integer]

digitos n = [read [x] | x <- show n]

-- (subconjunto xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de ys. Por

-- ejemplo,

-- subconjunto [3,2,5,2] [2,7,3,5] == True

-- subconjunto [3,2,5,2] [2,7,2,5] == False

subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool

subconjunto xs ys = and [x `elem` ys | x <- xs]

-- 2ª solución

-- ===========

numerosConDigitosPrimos2 :: [Integer]

numerosConDigitosPrimos2 =

filter (all (`elem` "2357") . show) [2..]

-- 3ª solución

-- ===========

-- λ> take 60 numerosConDigitosPrimos2

-- [ 2, 3, 5, 7,

-- 22, 23, 25, 27,

-- 32, 33, 35, 37,

-- 52, 53, 55, 57,

-- 72, 73, 75, 77,

-- 222,223,225,227,

-- 232,233,235,237,

-- 252,253,255,257,

-- 272,273,275,277,

-- 322,323,325,327,

-- 332,333,335,337,

-- 352,353,355,357,

-- 372,373,375,377,

-- 522,523,525,527,

-- 532,533,535,537]

numerosConDigitosPrimos3 :: [Integer]

numerosConDigitosPrimos3 =

[2,3,5,7] ++ [10*n+d | n <- numerosConDigitosPrimos3, d <- [2,3,5,7]]

-- 4ª solución

-- ===========

-- λ> take 60 numerosConDigitosPrimos2

-- [ 2, 3, 5, 7,

-- 22,23,25,27,

-- 32,33,35,37,

-- 52,53,55,57,

-- 72,73,75,77,

-- 222,223,225,227, 232,233,235,237, 252,253,255,257, 272,273,275,277,

-- 322,323,325,327, 332,333,335,337, 352,353,355,357, 372,373,375,377,

-- 522,523,525,527, 532,533,535,537]

numerosConDigitosPrimos4 :: [Integer]

numerosConDigitosPrimos4 = concat (iterate siguiente [2,3,5,7])

-- (siguiente xs) es la lista obtenida añadiendo delante de cada

-- elemento de xs los dígitos 2, 3, 5 y 7. Por ejemplo,

-- λ> siguiente [5,6,8]

-- [25,26,28,

-- 35,36,38,

-- 55,56,58,

-- 75,76,78]

siguiente :: [Integer] -> [Integer]

siguiente xs = concat [map (pega d) xs | d <- [2,3,5,7]]

-- (pega d n) es el número obtenido añadiendo el dígito d delante del

-- número n. Por ejemplo,

-- pega 3 35 == 335

pega :: Int -> Integer -> Integer

pega d n = read (intToDigit d : show n)

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_numerosConDigitosPrimos :: NonNegative Int -> Bool

prop_numerosConDigitosPrimos (NonNegative n) =

all (== numerosConDigitosPrimos1 !! n)

[ numerosConDigitosPrimos2 !! n

, numerosConDigitosPrimos3 !! n

, numerosConDigitosPrimos4 !! n

]

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_numerosConDigitosPrimos

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> numerosConDigitosPrimos1 !! 5000

-- 752732

-- (2.45 secs, 6,066,926,272 bytes)

-- λ> numerosConDigitosPrimos2 !! 5000

-- 752732

-- (0.34 secs, 387,603,456 bytes)

-- λ> numerosConDigitosPrimos3 !! 5000

-- 752732

-- (0.01 secs, 1,437,624 bytes)

-- λ> numerosConDigitosPrimos4 !! 5000

-- 752732

-- (0.00 secs, 1,556,104 bytes)

-- λ> numerosConDigitosPrimos3 !! (10^7)

-- 322732232572

-- (3.94 secs, 1,820,533,328 bytes)

-- λ> numerosConDigitosPrimos4 !! (10^7)

-- 322732232572

-- (1.84 secs, 2,000,606,640 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Producto cartesiano de una familia de conjuntos

PorJosé A. Alonso 27-abril-20221-mayo-2022

Definir la función

   producto :: [[a]] -> [[a]]

1	producto :: [[a]] -> [[a]]

tal que (producto xss) es el producto cartesiano de los conjuntos xss. Por ejemplo,

   λ> producto [[1,3],[2,5]]
   [[1,2],[1,5],[3,2],[3,5]]
   λ> producto [[1,3],[2,5],[6,4]]
   [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]]
   λ> producto [[1,3,5],[2,4]]
   [[1,2],[1,4],[3,2],[3,4],[5,2],[5,4]]
   λ> producto []
   [[]]

λ> producto [[1,3],[2,5]]

[[1,2],[1,5],[3,2],[3,5]]

λ> producto [[1,3],[2,5],[6,4]]

[[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]]

λ> producto [[1,3,5],[2,4]]

[[1,2],[1,4],[3,2],[3,4],[5,2],[5,4]]

λ> producto []

[[]]

Comprobar con QuickCheck que para toda lista de listas de números enteros, xss, se verifica que el número de elementos de (producto xss) es igual al producto de los números de elementos de cada una de las listas de xss.

Soluciones

module Producto_cartesiano where

import Test.QuickCheck (quickCheck)
import Control.Monad (liftM2)
import Control.Applicative (liftA2)

-- 1ª solución
-- ===========

producto1 :: [[a]] -> [[a]]
producto1 []       = [[]]
producto1 (xs:xss) = [x:ys | x <- xs, ys <- producto1 xss]

-- 2ª solución
-- ===========

producto2 :: [[a]] -> [[a]]
producto2 []       = [[]]
producto2 (xs:xss) = [x:ys | x <- xs, ys <- ps]
  where ps = producto2 xss

-- 3ª solución
-- ===========

producto3 :: [[a]] -> [[a]]
producto3 []       = [[]]
producto3 (xs:xss) = inserta3 xs (producto3 xss)

-- (inserta xs xss) inserta cada elemento de xs en los elementos de
-- xss. Por ejemplo,
--    λ> inserta [1,2] [[3,4],[5,6]]
--    [[1,3,4],[1,5,6],[2,3,4],[2,5,6]]
inserta3 :: [a] -> [[a]] -> [[a]]
inserta3 [] _       = []
inserta3 (x:xs) yss = [x:ys | ys <- yss] ++ inserta3 xs yss

-- 4ª solución
-- ===========

producto4 :: [[a]] -> [[a]]
producto4 = foldr inserta4 [[]]

inserta4 :: [a] -> [[a]] -> [[a]]
inserta4 []     _   = []
inserta4 (x:xs) yss = map (x:) yss ++ inserta4 xs yss

-- 5ª solución
-- ===========

producto5 :: [[a]] -> [[a]]
producto5 = foldr inserta5 [[]]

inserta5 :: [a] -> [[a]] -> [[a]]
inserta5 xs yss = [x:ys | x <- xs, ys <- yss]

-- 6ª solución
-- ===========

producto6 :: [[a]] -> [[a]]
producto6 = foldr inserta6 [[]]

inserta6 :: [a] -> [[a]] -> [[a]]
inserta6 xs yss = concatMap (\x -> map (x:) yss) xs

-- 7ª solución
-- ===========

producto7 :: [[a]] -> [[a]]
producto7 = foldr inserta7 [[]]

inserta7 :: [a] -> [[a]] -> [[a]]
inserta7 xs yss = xs >>= (\x -> map (x:) yss)

-- 8ª solución
-- ===========

producto8 :: [[a]] -> [[a]]
producto8 = foldr inserta8 [[]]

inserta8 :: [a] -> [[a]] -> [[a]]
inserta8 xs yss = (:) <$> xs <*> yss

-- 9ª solución
-- ===========

producto9 :: [[a]] -> [[a]]
producto9 = foldr inserta9 [[]]

inserta9 :: [a] -> [[a]] -> [[a]]
inserta9 = liftA2 (:)

-- 10ª solución
-- ============

producto10 :: [[a]] -> [[a]]
producto10 = foldr (liftM2 (:)) [[]]

-- 11ª solución
-- ============

producto11 :: [[a]] -> [[a]]
producto11 = sequence

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_producto :: [[Int]] -> Bool
prop_producto xss =
  all (== producto1 xss)
      [ producto2 xss
      , producto3 xss
      , producto4 xss
      , producto5 xss
      , producto6 xss
      , producto7 xss
      , producto8 xss
      , producto9 xss
      , producto10 xss
      , producto11 xss
      ]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize = 9}) prop_producto
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> length (producto1 (replicate 7 [0..9]))
--    10000000
--    (10.51 secs, 10,169,418,496 bytes)
--    λ> length (producto2 (replicate 7 [0..9]))
--    10000000
--    (2.14 secs, 1,333,870,712 bytes)
--    λ> length (producto3 (replicate 7 [0..9]))
--    10000000
--    (3.33 secs, 1,956,102,056 bytes)
--    λ> length (producto4 (replicate 7 [0..9]))
--    10000000
--    (0.98 secs, 1,600,542,752 bytes)
--    λ> length (producto5 (replicate 7 [0..9]))
--    10000000
--    (2.10 secs, 1,333,870,288 bytes)
--    λ> length (producto6 (replicate 7 [0..9]))
--    10000000
--    (1.17 secs, 1,600,534,632 bytes)
--    λ> length (producto7 (replicate 7 [0..9]))
--    10000000
--    (0.35 secs, 1,600,534,352 bytes)
--    λ> length (producto8 (replicate 7 [0..9]))
--    10000000
--    (0.87 secs, 978,317,848 bytes)
--    λ> length (producto9 (replicate 7 [0..9]))
--    10000000
--    (1.38 secs, 1,067,201,016 bytes)
--    λ> length (producto10 (replicate 7 [0..9]))
--    10000000
--    (0.54 secs, 2,311,645,392 bytes)
--    λ> length (producto11 (replicate 7 [0..9]))
--    10000000
--    (1.32 secs, 1,067,200,992 bytes)
--
--    λ> length (producto7 (replicate 7 [1..14]))
--    105413504
--    (3.77 secs, 16,347,739,040 bytes)
--    λ> length (producto10 (replicate 7 [1..14]))
--    105413504
--    (5.11 secs, 23,613,162,016 bytes)

-- Comprobación de la propiedad
-- ============================

-- La propiedad es
prop_longitud :: [[Int]] -> Bool
prop_longitud xss =
  length (producto7 xss) == product (map length xss)

-- La comprobación es
--    λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize = 7}) prop_longitud
--    +++ OK, passed 100 tests.

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module Producto_cartesiano where

import Test.QuickCheck (quickCheck)

import Control.Monad (liftM2)

import Control.Applicative (liftA2)

-- 1ª solución

-- ===========

producto1 :: [[a]] -> [[a]]

producto1 [] = [[]]

producto1 (xs:xss) = [x:ys | x <- xs, ys <- producto1 xss]

-- 2ª solución

-- ===========

producto2 :: [[a]] -> [[a]]

producto2 [] = [[]]

producto2 (xs:xss) = [x:ys | x <- xs, ys <- ps]

where ps = producto2 xss

-- 3ª solución

-- ===========

producto3 :: [[a]] -> [[a]]

producto3 [] = [[]]

producto3 (xs:xss) = inserta3 xs (producto3 xss)

-- (inserta xs xss) inserta cada elemento de xs en los elementos de

-- xss. Por ejemplo,

-- λ> inserta [1,2] [[3,4],[5,6]]

-- [[1,3,4],[1,5,6],[2,3,4],[2,5,6]]

inserta3 :: [a] -> [[a]] -> [[a]]

inserta3 [] _ = []

inserta3 (x:xs) yss = [x:ys | ys <- yss] ++ inserta3 xs yss

-- 4ª solución

-- ===========

producto4 :: [[a]] -> [[a]]

producto4 = foldr inserta4 [[]]

inserta4 :: [a] -> [[a]] -> [[a]]

inserta4 [] _ = []

inserta4 (x:xs) yss = map (x:) yss ++ inserta4 xs yss

-- 5ª solución

-- ===========

producto5 :: [[a]] -> [[a]]

producto5 = foldr inserta5 [[]]

inserta5 :: [a] -> [[a]] -> [[a]]

inserta5 xs yss = [x:ys | x <- xs, ys <- yss]

-- 6ª solución

-- ===========

producto6 :: [[a]] -> [[a]]

producto6 = foldr inserta6 [[]]

inserta6 :: [a] -> [[a]] -> [[a]]

inserta6 xs yss = concatMap (\x -> map (x:) yss) xs

-- 7ª solución

-- ===========

producto7 :: [[a]] -> [[a]]

producto7 = foldr inserta7 [[]]

inserta7 :: [a] -> [[a]] -> [[a]]

inserta7 xs yss = xs >>= (\x -> map (x:) yss)

-- 8ª solución

-- ===========

producto8 :: [[a]] -> [[a]]

producto8 = foldr inserta8 [[]]

inserta8 :: [a] -> [[a]] -> [[a]]

inserta8 xs yss = (:) <$> xs <*> yss

-- 9ª solución

-- ===========

producto9 :: [[a]] -> [[a]]

producto9 = foldr inserta9 [[]]

inserta9 :: [a] -> [[a]] -> [[a]]

inserta9 = liftA2 (:)

-- 10ª solución

-- ============

producto10 :: [[a]] -> [[a]]

producto10 = foldr (liftM2 (:)) [[]]

-- 11ª solución

-- ============

producto11 :: [[a]] -> [[a]]

producto11 = sequence

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_producto :: [[Int]] -> Bool

prop_producto xss =

all (== producto1 xss)

[ producto2 xss

, producto3 xss

, producto4 xss

, producto5 xss

, producto6 xss

, producto7 xss

, producto8 xss

, producto9 xss

, producto10 xss

, producto11 xss

]

-- La comprobación es

-- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize = 9}) prop_producto

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> length (producto1 (replicate 7 [0..9]))

-- 10000000

-- (10.51 secs, 10,169,418,496 bytes)

-- λ> length (producto2 (replicate 7 [0..9]))

-- 10000000

-- (2.14 secs, 1,333,870,712 bytes)

-- λ> length (producto3 (replicate 7 [0..9]))

-- 10000000

-- (3.33 secs, 1,956,102,056 bytes)

-- λ> length (producto4 (replicate 7 [0..9]))

-- 10000000

-- (0.98 secs, 1,600,542,752 bytes)

-- λ> length (producto5 (replicate 7 [0..9]))

-- 10000000

-- (2.10 secs, 1,333,870,288 bytes)

-- λ> length (producto6 (replicate 7 [0..9]))

-- 10000000

-- (1.17 secs, 1,600,534,632 bytes)

-- λ> length (producto7 (replicate 7 [0..9]))

-- 10000000

-- (0.35 secs, 1,600,534,352 bytes)

-- λ> length (producto8 (replicate 7 [0..9]))

-- 10000000

-- (0.87 secs, 978,317,848 bytes)

-- λ> length (producto9 (replicate 7 [0..9]))

-- 10000000

-- (1.38 secs, 1,067,201,016 bytes)

-- λ> length (producto10 (replicate 7 [0..9]))

-- 10000000

-- (0.54 secs, 2,311,645,392 bytes)

-- λ> length (producto11 (replicate 7 [0..9]))

-- 10000000

-- (1.32 secs, 1,067,200,992 bytes)

-- λ> length (producto7 (replicate 7 [1..14]))

-- 105413504

-- (3.77 secs, 16,347,739,040 bytes)

-- λ> length (producto10 (replicate 7 [1..14]))

-- 105413504

-- (5.11 secs, 23,613,162,016 bytes)

-- Comprobación de la propiedad

-- ============================

-- La propiedad es

prop_longitud :: [[Int]] -> Bool

prop_longitud xss =

length (producto7 xss) == product (map length xss)

-- La comprobación es

-- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize = 7}) prop_longitud

-- +++ OK, passed 100 tests.

El código se encuentra en GitHub.

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Representación de Zeckendorf

PorJosé A. Alonso 25-abril-20221-mayo-2022

Los primeros números de Fibonacci son

   1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

1	1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

tales que los dos primeros son iguales a 1 y los siguientes se obtienen sumando los dos anteriores.

El teorema de Zeckendorf establece que todo entero positivo n se puede representar, de manera única, como la suma de números de Fibonacci no consecutivos decrecientes. Dicha suma se llama la representación de Zeckendorf de n. Por ejemplo, la representación de Zeckendorf de 100 es

   100 = 89 + 8 + 3

1	100 = 89 + 8 + 3

Hay otras formas de representar 100 como sumas de números de Fibonacci; por ejemplo,

   100 = 89 +  8 + 2 + 1
   100 = 55 + 34 + 8 + 3

1 2	100 = 89 + 8 + 2 + 1 100 = 55 + 34 + 8 + 3

pero no son representaciones de Zeckendorf porque 1 y 2 son números de Fibonacci consecutivos, al igual que 34 y 55.

Definir la función

   zeckendorf :: Integer -> [Integer]

1	zeckendorf :: Integer -> [Integer]

tal que (zeckendorf n) es la representación de Zeckendorf de n. Por ejemplo,

   zeckendorf 100 == [89,8,3]
   zeckendorf 200 == [144,55,1]
   zeckendorf 300 == [233,55,8,3,1]
   length (zeckendorf (10^50000)) == 66097

zeckendorf 100 == [89,8,3]

zeckendorf 200 == [144,55,1]

zeckendorf 300 == [233,55,8,3,1]

length (zeckendorf (10^50000)) == 66097

Soluciones

module Representacion_de_Zeckendorf where

import Data.List (subsequences)
import Test.QuickCheck

-- 1ª solución
-- ===========

zeckendorf1 :: Integer -> [Integer]
zeckendorf1 = head . zeckendorf1Aux

zeckendorf1Aux :: Integer -> [[Integer]]
zeckendorf1Aux n =
  [xs | xs <- subsequences (reverse (takeWhile (<= n) (tail fibs))),
        sum xs == n,
        sinFibonacciConsecutivos xs]

-- fibs es la la sucesión de los números de Fibonacci. Por ejemplo,
--    take 14 fibs  == [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377]
fibs :: [Integer]
fibs = 1 : scanl (+) 1 fibs
-- (sinFibonacciConsecutivos xs) se verifica si en la sucesión
-- decreciente de número de Fibonacci xs no hay dos consecutivos. Por
-- ejemplo, 

-- (sinFibonacciConsecutivos xs) se verifica si en la sucesión
-- decreciente de número de Fibonacci xs no hay dos consecutivos. Por
-- ejemplo, 
--    sinFibonacciConsecutivos [89, 8, 3]      ==  True
--    sinFibonacciConsecutivos [55, 34, 8, 3]  ==  False
sinFibonacciConsecutivos :: [Integer] -> Bool
sinFibonacciConsecutivos xs =
  and [x /= siguienteFibonacci y | (x,y) <- zip xs (tail xs)]

-- (siguienteFibonacci n) es el menor número de Fibonacci mayor que
-- n. Por ejemplo, 
--    siguienteFibonacci 34  ==  55
siguienteFibonacci :: Integer -> Integer
siguienteFibonacci n =
  head (dropWhile (<= n) fibs)

-- 2ª solución
-- ===========

zeckendorf2 :: Integer -> [Integer]
zeckendorf2 = head . zeckendorf2Aux

zeckendorf2Aux :: Integer -> [[Integer]]
zeckendorf2Aux n = map reverse (aux n (tail fibs))
  where aux 0 _ = [[]]
        aux m (x:y:zs)
            | x <= m     = [x:xs | xs <- aux (m-x) zs] ++ aux m (y:zs)
            | otherwise  = []

-- 3ª solución
-- ===========

zeckendorf3 :: Integer -> [Integer]
zeckendorf3 0 = []
zeckendorf3 n = x : zeckendorf3 (n - x)
  where x = last (takeWhile (<= n) fibs)

-- 4ª solución
-- ===========

zeckendorf4 :: Integer -> [Integer]
zeckendorf4 n = aux n (reverse (takeWhile (<= n) fibs))
  where aux 0 _      = []
        aux m (x:xs) = x : aux (m-x) (dropWhile (>m-x) xs)

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_zeckendorf :: Positive Integer -> Bool
prop_zeckendorf (Positive n) =
  all (== zeckendorf1 n)
      [zeckendorf2 n,
       zeckendorf3 n,
       zeckendorf4 n]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_zeckendorf
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> zeckendorf1 (7*10^4)
--    [46368,17711,4181,1597,89,34,13,5,2]
--    (1.49 secs, 2,380,707,744 bytes)
--    λ> zeckendorf2 (7*10^4)
--    [46368,17711,4181,1597,89,34,13,5,2]
--    (0.07 secs, 21,532,008 bytes)
--
--    λ> zeckendorf2 (10^6)
--    [832040,121393,46368,144,55]
--    (1.40 secs, 762,413,432 bytes)
--    λ> zeckendorf3 (10^6)
--    [832040,121393,46368,144,55]
--    (0.01 secs, 542,488 bytes)
--    λ> zeckendorf4 (10^6)
--    [832040,121393,46368,144,55]
--    (0.01 secs, 536,424 bytes)
--
--    λ> length (zeckendorf3 (10^3000))
--    3947
--    (3.02 secs, 1,611,966,408 bytes)
--    λ> length (zeckendorf4 (10^2000))
--    2611
--    (0.02 secs, 10,434,336 bytes)
--
--    λ> length (zeckendorf4 (10^50000))
--    66097
--    (2.84 secs, 3,976,483,760 bytes)

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module Representacion_de_Zeckendorf where

import Data.List (subsequences)

import Test.QuickCheck

-- 1ª solución

-- ===========

zeckendorf1 :: Integer -> [Integer]

zeckendorf1 = head . zeckendorf1Aux

zeckendorf1Aux :: Integer -> [[Integer]]

zeckendorf1Aux n =

[xs | xs <- subsequences (reverse (takeWhile (<= n) (tail fibs))),

sum xs == n,

sinFibonacciConsecutivos xs]

-- fibs es la la sucesión de los números de Fibonacci. Por ejemplo,

-- take 14 fibs == [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377]

fibs :: [Integer]

fibs = 1 : scanl (+) 1 fibs

-- (sinFibonacciConsecutivos xs) se verifica si en la sucesión

-- decreciente de número de Fibonacci xs no hay dos consecutivos. Por

-- ejemplo,

-- (sinFibonacciConsecutivos xs) se verifica si en la sucesión

-- decreciente de número de Fibonacci xs no hay dos consecutivos. Por

-- ejemplo,

-- sinFibonacciConsecutivos [89, 8, 3] == True

-- sinFibonacciConsecutivos [55, 34, 8, 3] == False

sinFibonacciConsecutivos :: [Integer] -> Bool

sinFibonacciConsecutivos xs =

and [x /= siguienteFibonacci y | (x,y) <- zip xs (tail xs)]

-- (siguienteFibonacci n) es el menor número de Fibonacci mayor que

-- n. Por ejemplo,

-- siguienteFibonacci 34 == 55

siguienteFibonacci :: Integer -> Integer

siguienteFibonacci n =

head (dropWhile (<= n) fibs)

-- 2ª solución

-- ===========

zeckendorf2 :: Integer -> [Integer]

zeckendorf2 = head . zeckendorf2Aux

zeckendorf2Aux :: Integer -> [[Integer]]

zeckendorf2Aux n = map reverse (aux n (tail fibs))

where aux 0 _ = [[]]

aux m (x:y:zs)

| x <= m = [x:xs | xs <- aux (m-x) zs] ++ aux m (y:zs)

| otherwise = []

-- 3ª solución

-- ===========

zeckendorf3 :: Integer -> [Integer]

zeckendorf3 0 = []

zeckendorf3 n = x : zeckendorf3 (n - x)

where x = last (takeWhile (<= n) fibs)

-- 4ª solución

-- ===========

zeckendorf4 :: Integer -> [Integer]

zeckendorf4 n = aux n (reverse (takeWhile (<= n) fibs))

where aux 0 _ = []

aux m (x:xs) = x : aux (m-x) (dropWhile (>m-x) xs)

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_zeckendorf :: Positive Integer -> Bool

prop_zeckendorf (Positive n) =

all (== zeckendorf1 n)

[zeckendorf2 n,

zeckendorf3 n,

zeckendorf4 n]

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_zeckendorf

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> zeckendorf1 (7*10^4)

-- [46368,17711,4181,1597,89,34,13,5,2]

-- (1.49 secs, 2,380,707,744 bytes)

-- λ> zeckendorf2 (7*10^4)

-- [46368,17711,4181,1597,89,34,13,5,2]

-- (0.07 secs, 21,532,008 bytes)

-- λ> zeckendorf2 (10^6)

-- [832040,121393,46368,144,55]

-- (1.40 secs, 762,413,432 bytes)

-- λ> zeckendorf3 (10^6)

-- [832040,121393,46368,144,55]

-- (0.01 secs, 542,488 bytes)

-- λ> zeckendorf4 (10^6)

-- [832040,121393,46368,144,55]

-- (0.01 secs, 536,424 bytes)

-- λ> length (zeckendorf3 (10^3000))

-- 3947

-- (3.02 secs, 1,611,966,408 bytes)

-- λ> length (zeckendorf4 (10^2000))

-- 2611

-- (0.02 secs, 10,434,336 bytes)

-- λ> length (zeckendorf4 (10^50000))

-- 66097

-- (2.84 secs, 3,976,483,760 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Ordenada cíclicamente

PorJosé A. Alonso 22-abril-202230-abril-2022

Se dice que una sucesión x(1), …, x(n) está ordenada cíclicamente si existe un índice i tal que la sucesión

   x(i), x(i+1), ..., x(n), x(1), ..., x(i-1)

1	x(i), x(i+1), ..., x(n), x(1), ..., x(i-1)

está ordenada crecientemente de forma estricta.

Definir la función

   ordenadaCiclicamente :: Ord a => [a] -> Maybe Int

1	ordenadaCiclicamente :: Ord a => [a] -> Maybe Int

tal que (ordenadaCiclicamente xs) es el índice a partir del cual está ordenada, si la lista está ordenado cíclicamente y Nothing en caso contrario. Por ejemplo,

   ordenadaCiclicamente [1,2,3,4]      ==  Just 0
   ordenadaCiclicamente [5,8,1,3]      ==  Just 2
   ordenadaCiclicamente [4,6,7,5,1,3]  ==  Nothing
   ordenadaCiclicamente [1,0,3,2]      ==  Nothing
   ordenadaCiclicamente [1,2,0]        ==  Just 2
   ordenadaCiclicamente "cdeab"        ==  Just 3

ordenadaCiclicamente [1,2,3,4] == Just 0

ordenadaCiclicamente [5,8,1,3] == Just 2

ordenadaCiclicamente [4,6,7,5,1,3] == Nothing

ordenadaCiclicamente [1,0,3,2] == Nothing

ordenadaCiclicamente [1,2,0] == Just 2

ordenadaCiclicamente "cdeab" == Just 3

Nota: Se supone que el argumento es una lista no vacía sin elementos repetidos.

Soluciones

module Ordenada_ciclicamente where

import Test.QuickCheck (Arbitrary, Gen, NonEmptyList (NonEmpty), Property,
                        arbitrary, chooseInt, collect, quickCheck)
import Data.List       (nub, sort)
import Data.Maybe      (isJust, listToMaybe)

-- 1ª solución
-- ===========

ordenadaCiclicamente1 :: Ord a => [a] -> Maybe Int
ordenadaCiclicamente1 xs = aux 0 xs
  where n = length xs
        aux i zs
          | i == n      = Nothing
          | ordenada zs = Just i
          | otherwise   = aux (i+1) (siguienteCiclo zs)

-- (ordenada xs) se verifica si la lista xs está ordenada
-- crecientemente. Por ejemplo,
--   ordenada "acd"   ==  True
--   ordenada "acdb"  ==  False
ordenada :: Ord a => [a] -> Bool
ordenada []     = True
ordenada (x:xs) = all (x <) xs && ordenada xs

-- (siguienteCiclo xs) es la lista obtenida añadiendo el primer elemento
-- de xs al final del resto de xs. Por ejemplo,
--   siguienteCiclo [3,2,5]  =>  [2,5,3]
siguienteCiclo :: [a] -> [a]
siguienteCiclo []     = []
siguienteCiclo (x:xs) = xs ++ [x]

-- 2ª solución
-- ===========

ordenadaCiclicamente2 :: Ord a => [a] -> Maybe Int
ordenadaCiclicamente2 xs =
  listToMaybe [n | n <- [0..length xs-1],
                   ordenada (drop n xs ++ take n xs)]

-- 3ª solución
-- ===========

ordenadaCiclicamente3 :: Ord a => [a] -> Maybe Int
ordenadaCiclicamente3 xs
  | ordenada (bs ++ as) = Just k
  | otherwise           = Nothing
  where (_,k)   = minimum (zip xs [0..])
        (as,bs) = splitAt k xs

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_ordenadaCiclicamente1 :: NonEmptyList Int -> Bool
prop_ordenadaCiclicamente1 (NonEmpty xs) =
  ordenadaCiclicamente1 xs == ordenadaCiclicamente2 xs

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_ordenadaCiclicamente1
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- La propiedad para analizar los casos de prueba
prop_ordenadaCiclicamente2 :: NonEmptyList Int -> Property
prop_ordenadaCiclicamente2 (NonEmpty xs) =
  collect (isJust (ordenadaCiclicamente1 xs)) $
  ordenadaCiclicamente1 xs == ordenadaCiclicamente2 xs

-- El análisis es
--    λ> quickCheck prop_ordenadaCiclicamente2
--    +++ OK, passed 100 tests:
--    89% False
--    11% True

-- Tipo para generar listas
newtype Lista = L [Int]
  deriving Show

-- Generador de listas.
listaArbitraria :: Gen Lista
listaArbitraria = do
  x <- arbitrary
  xs <- arbitrary
  let ys = x : xs
  k <- chooseInt (0, length ys)
  let (as,bs) = splitAt k (sort (nub ys))
  return (L (bs ++ as))

-- Lista es una subclase de Arbitrary.
instance Arbitrary Lista where
  arbitrary = listaArbitraria

-- La propiedad para analizar los casos de prueba
prop_ordenadaCiclicamente3 :: Lista -> Property
prop_ordenadaCiclicamente3 (L xs) =
  collect (isJust (ordenadaCiclicamente1 xs)) $
  ordenadaCiclicamente1 xs == ordenadaCiclicamente2 xs

-- El análisis es
--    λ> quickCheck prop_ordenadaCiclicamente3
--    +++ OK, passed 100 tests (100% True).

-- Tipo para generar
newtype Lista2 = L2 [Int]
  deriving Show

-- Generador de listas
listaArbitraria2 :: Gen Lista2
listaArbitraria2 = do
  x' <- arbitrary
  xs <- arbitrary
  let ys = x' : xs
  k <- chooseInt (0, length ys)
  let (as,bs) = splitAt k (sort (nub ys))
  n <- chooseInt (0,1)
  return (if even n
          then L2 (bs ++ as)
          else L2 ys)

-- Lista es una subclase de Arbitrary.
instance Arbitrary Lista2 where
  arbitrary = listaArbitraria2

-- La propiedad para analizar los casos de prueba
prop_ordenadaCiclicamente4 :: Lista2 -> Property
prop_ordenadaCiclicamente4 (L2 xs) =
  collect (isJust (ordenadaCiclicamente1 xs)) $
  ordenadaCiclicamente1 xs == ordenadaCiclicamente2 xs

-- El análisis es
--    λ> quickCheck prop_ordenadaCiclicamente4
--    +++ OK, passed 100 tests:
--    51% True
--    49% False

-- La propiedad es
prop_ordenadaCiclicamente :: Lista2 -> Bool
prop_ordenadaCiclicamente (L2 xs) =
  all (== ordenadaCiclicamente1 xs)
      [ordenadaCiclicamente2 xs,
       ordenadaCiclicamente3 xs]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_ordenadaCiclicamente
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> ordenadaCiclicamente1 ([100..4000] ++ [1..99])
--    Just 3901
--    (3.27 secs, 2,138,864,568 bytes)
--    λ> ordenadaCiclicamente2 ([100..4000] ++ [1..99])
--    Just 3901
--    (2.44 secs, 1,430,040,008 bytes)
--    λ> ordenadaCiclicamente3 ([100..4000] ++ [1..99])
--    Just 3901
--    (1.18 secs, 515,549,200 bytes)

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module Ordenada_ciclicamente where

import Test.QuickCheck (Arbitrary, Gen, NonEmptyList (NonEmpty), Property,

arbitrary, chooseInt, collect, quickCheck)

import Data.List (nub, sort)

import Data.Maybe (isJust, listToMaybe)

-- 1ª solución

-- ===========

ordenadaCiclicamente1 :: Ord a => [a] -> Maybe Int

ordenadaCiclicamente1 xs = aux 0 xs

where n = length xs

aux i zs

| i == n = Nothing

| ordenada zs = Just i

| otherwise = aux (i+1) (siguienteCiclo zs)

-- (ordenada xs) se verifica si la lista xs está ordenada

-- crecientemente. Por ejemplo,

-- ordenada "acd" == True

-- ordenada "acdb" == False

ordenada :: Ord a => [a] -> Bool

ordenada [] = True

ordenada (x:xs) = all (x <) xs && ordenada xs

-- (siguienteCiclo xs) es la lista obtenida añadiendo el primer elemento

-- de xs al final del resto de xs. Por ejemplo,

-- siguienteCiclo [3,2,5] => [2,5,3]

siguienteCiclo :: [a] -> [a]

siguienteCiclo [] = []

siguienteCiclo (x:xs) = xs ++ [x]

-- 2ª solución

-- ===========

ordenadaCiclicamente2 :: Ord a => [a] -> Maybe Int

ordenadaCiclicamente2 xs =

listToMaybe [n | n <- [0..length xs-1],

ordenada (drop n xs ++ take n xs)]

-- 3ª solución

-- ===========

ordenadaCiclicamente3 :: Ord a => [a] -> Maybe Int

ordenadaCiclicamente3 xs

| ordenada (bs ++ as) = Just k

| otherwise = Nothing

where (_,k) = minimum (zip xs [0..])

(as,bs) = splitAt k xs

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_ordenadaCiclicamente1 :: NonEmptyList Int -> Bool

prop_ordenadaCiclicamente1 (NonEmpty xs) =

ordenadaCiclicamente1 xs == ordenadaCiclicamente2 xs

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_ordenadaCiclicamente1

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- La propiedad para analizar los casos de prueba

prop_ordenadaCiclicamente2 :: NonEmptyList Int -> Property

prop_ordenadaCiclicamente2 (NonEmpty xs) =

collect (isJust (ordenadaCiclicamente1 xs)) $

ordenadaCiclicamente1 xs == ordenadaCiclicamente2 xs

-- El análisis es

-- λ> quickCheck prop_ordenadaCiclicamente2

-- +++ OK, passed 100 tests:

-- 89% False

-- 11% True

-- Tipo para generar listas

newtype Lista = L [Int]

deriving Show

-- Generador de listas.

listaArbitraria :: Gen Lista

listaArbitraria = do

x <- arbitrary

xs <- arbitrary

let ys = x : xs

k <- chooseInt (0, length ys)

let (as,bs) = splitAt k (sort (nub ys))

return (L (bs ++ as))

-- Lista es una subclase de Arbitrary.

instance Arbitrary Lista where

arbitrary = listaArbitraria

-- La propiedad para analizar los casos de prueba

prop_ordenadaCiclicamente3 :: Lista -> Property

prop_ordenadaCiclicamente3 (L xs) =

collect (isJust (ordenadaCiclicamente1 xs)) $

ordenadaCiclicamente1 xs == ordenadaCiclicamente2 xs

-- El análisis es

-- λ> quickCheck prop_ordenadaCiclicamente3

-- +++ OK, passed 100 tests (100% True).

-- Tipo para generar

newtype Lista2 = L2 [Int]

deriving Show

-- Generador de listas

listaArbitraria2 :: Gen Lista2

listaArbitraria2 = do

x' <- arbitrary

xs <- arbitrary

let ys = x' : xs

k <- chooseInt (0, length ys)

let (as,bs) = splitAt k (sort (nub ys))

n <- chooseInt (0,1)

return (if even n

then L2 (bs ++ as)

else L2 ys)

-- Lista es una subclase de Arbitrary.

instance Arbitrary Lista2 where

arbitrary = listaArbitraria2

-- La propiedad para analizar los casos de prueba

prop_ordenadaCiclicamente4 :: Lista2 -> Property

prop_ordenadaCiclicamente4 (L2 xs) =

collect (isJust (ordenadaCiclicamente1 xs)) $

ordenadaCiclicamente1 xs == ordenadaCiclicamente2 xs

-- El análisis es

-- λ> quickCheck prop_ordenadaCiclicamente4

-- +++ OK, passed 100 tests:

-- 51% True

-- 49% False

-- La propiedad es

prop_ordenadaCiclicamente :: Lista2 -> Bool

prop_ordenadaCiclicamente (L2 xs) =

all (== ordenadaCiclicamente1 xs)

[ordenadaCiclicamente2 xs,

ordenadaCiclicamente3 xs]

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_ordenadaCiclicamente

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> ordenadaCiclicamente1 ([100..4000] ++ [1..99])

-- Just 3901

-- (3.27 secs, 2,138,864,568 bytes)

-- λ> ordenadaCiclicamente2 ([100..4000] ++ [1..99])

-- Just 3901

-- (2.44 secs, 1,430,040,008 bytes)

-- λ> ordenadaCiclicamente3 ([100..4000] ++ [1..99])

-- Just 3901

-- (1.18 secs, 515,549,200 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Eliminación de las ocurrencias aisladas.

PorJosé A. Alonso 20-abril-202230-abril-2022

Definir la función

   eliminaAisladas :: Eq a => a -> [a] -> [a]

1	eliminaAisladas :: Eq a => a -> [a] -> [a]

tal que (eliminaAisladas x ys) es la lista obtenida eliminando en ys las ocurrencias aisladas de x (es decir, aquellas ocurrencias de x tales que su elemento anterior y posterior son distintos de x). Por ejemplo,

   eliminaAisladas 'X' ""                  == ""
   eliminaAisladas 'X' "X"                 == ""
   eliminaAisladas 'X' "XX"                == "XX"
   eliminaAisladas 'X' "XXX"               == "XXX"
   eliminaAisladas 'X' "abcd"              == "abcd"
   eliminaAisladas 'X' "Xabcd"             == "abcd"
   eliminaAisladas 'X' "XXabcd"            == "XXabcd"
   eliminaAisladas 'X' "XXXabcd"           == "XXXabcd"
   eliminaAisladas 'X' "abcdX"             == "abcd"
   eliminaAisladas 'X' "abcdXX"            == "abcdXX"
   eliminaAisladas 'X' "abcdXXX"           == "abcdXXX"
   eliminaAisladas 'X' "abXcd"             == "abcd"
   eliminaAisladas 'X' "abXXcd"            == "abXXcd"
   eliminaAisladas 'X' "abXXXcd"           == "abXXXcd"
   eliminaAisladas 'X' "XabXcdX"           == "abcd"
   eliminaAisladas 'X' "XXabXXcdXX"        == "XXabXXcdXX"
   eliminaAisladas 'X' "XXXabXXXcdXXX"     == "XXXabXXXcdXXX"
   eliminaAisladas 'X' "XabXXcdXeXXXfXx"   == "abXXcdeXXXfx"

eliminaAisladas 'X' "" == ""

eliminaAisladas 'X' "X" == ""

eliminaAisladas 'X' "XX" == "XX"

eliminaAisladas 'X' "XXX" == "XXX"

eliminaAisladas 'X' "abcd" == "abcd"

eliminaAisladas 'X' "Xabcd" == "abcd"

eliminaAisladas 'X' "XXabcd" == "XXabcd"

eliminaAisladas 'X' "XXXabcd" == "XXXabcd"

eliminaAisladas 'X' "abcdX" == "abcd"

eliminaAisladas 'X' "abcdXX" == "abcdXX"

eliminaAisladas 'X' "abcdXXX" == "abcdXXX"

eliminaAisladas 'X' "abXcd" == "abcd"

eliminaAisladas 'X' "abXXcd" == "abXXcd"

eliminaAisladas 'X' "abXXXcd" == "abXXXcd"

eliminaAisladas 'X' "XabXcdX" == "abcd"

eliminaAisladas 'X' "XXabXXcdXX" == "XXabXXcdXX"

eliminaAisladas 'X' "XXXabXXXcdXXX" == "XXXabXXXcdXXX"

eliminaAisladas 'X' "XabXXcdXeXXXfXx" == "abXXcdeXXXfx"

Soluciones

module Elimina_aisladas where

import Data.List (group)
import Test.QuickCheck

-- 1ª solución
-- ===========

eliminaAisladas1 :: Eq a => a -> [a] -> [a]
eliminaAisladas1 _ [] = []
eliminaAisladas1 x [y]
  | x == y    = []
  | otherwise = [y]
eliminaAisladas1 x (y1:y2:ys)
  | y1 /= x   = y1 : eliminaAisladas1 x (y2:ys)
  | y2 /= x   = y2 : eliminaAisladas1 x ys
  | otherwise = takeWhile (==x) (y1:y2:ys) ++
                eliminaAisladas1 x (dropWhile (==x) ys)

-- 2ª solución
-- ===========

eliminaAisladas2 :: Eq a => a -> [a] -> [a]
eliminaAisladas2 _ [] = []
eliminaAisladas2 x ys
  | cs == [x] = as ++ eliminaAisladas2 x ds
  | otherwise = as ++ cs ++ eliminaAisladas2 x ds
  where (as,bs) = span (/=x) ys
        (cs,ds) = span (==x) bs

-- 3ª solución
-- ===========

eliminaAisladas3 :: Eq a => a -> [a] -> [a]
eliminaAisladas3 x ys = concat [zs | zs <- group ys, zs /= [x]]

-- 4ª solución
-- ===========

eliminaAisladas4 :: Eq a => a -> [a] -> [a]
eliminaAisladas4 x = concat . filter (/= [x]) . group


-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_eliminaAisladas :: Int -> [Int] -> Bool
prop_eliminaAisladas x ys =
  all (== eliminaAisladas1 x ys)
      [eliminaAisladas2 x ys,
       eliminaAisladas3 x ys,
       eliminaAisladas4 x ys]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_eliminaAisladas
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> length (eliminaAisladas1 'a' (take (5*10^6) (cycle "abca")))
--    4999998
--    (3.86 secs, 2,030,515,400 bytes)
--    λ> length (eliminaAisladas2 'a' (take (5*10^6) (cycle "abca")))
--    4999998
--    (3.41 secs, 2,210,516,832 bytes)
--    λ> length (eliminaAisladas3 'a' (take (5*10^6) (cycle "abca")))
--    4999998
--    (2.11 secs, 2,280,516,448 bytes)
--    λ> length (eliminaAisladas4 'a' (take (5*10^6) (cycle "abca")))
--    4999998
--    (0.92 secs, 1,920,516,704 bytes)

module Elimina_aisladas where

import Data.List (group)

import Test.QuickCheck

-- 1ª solución

-- ===========

eliminaAisladas1 :: Eq a => a -> [a] -> [a]

eliminaAisladas1 _ [] = []

eliminaAisladas1 x [y]

| x == y = []

| otherwise = [y]

eliminaAisladas1 x (y1:y2:ys)

| y1 /= x = y1 : eliminaAisladas1 x (y2:ys)

| y2 /= x = y2 : eliminaAisladas1 x ys

| otherwise = takeWhile (==x) (y1:y2:ys) ++

eliminaAisladas1 x (dropWhile (==x) ys)

-- 2ª solución

-- ===========

eliminaAisladas2 :: Eq a => a -> [a] -> [a]

eliminaAisladas2 _ [] = []

eliminaAisladas2 x ys

| cs == [x] = as ++ eliminaAisladas2 x ds

| otherwise = as ++ cs ++ eliminaAisladas2 x ds

where (as,bs) = span (/=x) ys

(cs,ds) = span (==x) bs

-- 3ª solución

-- ===========

eliminaAisladas3 :: Eq a => a -> [a] -> [a]

eliminaAisladas3 x ys = concat [zs | zs <- group ys, zs /= [x]]

-- 4ª solución

-- ===========

eliminaAisladas4 :: Eq a => a -> [a] -> [a]

eliminaAisladas4 x = concat . filter (/= [x]) . group

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_eliminaAisladas :: Int -> [Int] -> Bool

prop_eliminaAisladas x ys =

all (== eliminaAisladas1 x ys)

[eliminaAisladas2 x ys,

eliminaAisladas3 x ys,

eliminaAisladas4 x ys]

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_eliminaAisladas

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> length (eliminaAisladas1 'a' (take (5*10^6) (cycle "abca")))

-- 4999998

-- (3.86 secs, 2,030,515,400 bytes)

-- λ> length (eliminaAisladas2 'a' (take (5*10^6) (cycle "abca")))

-- 4999998

-- (3.41 secs, 2,210,516,832 bytes)

-- λ> length (eliminaAisladas3 'a' (take (5*10^6) (cycle "abca")))

-- 4999998

-- (2.11 secs, 2,280,516,448 bytes)

-- λ> length (eliminaAisladas4 'a' (take (5*10^6) (cycle "abca")))

-- 4999998

-- (0.92 secs, 1,920,516,704 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Emparejamiento de árboles

PorJosé A. Alonso 18-abril-202230-abril-2022

Los árboles se pueden representar mediante el siguiente tipo de datos

   data Arbol a = N a [Arbol a]
     deriving (Show, Eq)

1 2	data Arbol a = N a [Arbol a] deriving (Show, Eq)

Por ejemplo, los árboles

     1               3
    / \             /|\
   6   3           / | \
       |          5  4  7
       5          |     /\
                  6    2  1

1 3

/ \ /|\

6 3 / | \

| 5 4 7

5 | /\

6 2 1

se representan por

   ej1, ej2 :: Arbol Int
   ej1 = N 1 [N 6 [],N 3 [N 5 []]]
   ej2 = N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]]

ej1, ej2 :: Arbol Int

ej1 = N 1 [N 6 [],N 3 [N 5 []]]

ej2 = N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]]

Definir la función

   emparejaArboles :: (a -> b -> c) -> Arbol a -> Arbol b -> Arbol c

1	emparejaArboles :: (a -> b -> c) -> Arbol a -> Arbol b -> Arbol c

tal que (emparejaArboles f a1 a2) es el árbol obtenido aplicando la función f a los elementos de los árboles a1 y a2 que se encuentran en la misma posición. Por ejemplo,

   λ> emparejaArboles (+) (N 1 [N 2 [], N 3[]]) (N 1 [N 6 []])
   N 2 [N 8 []]
   λ> emparejaArboles (+) ej1 ej2
   N 4 [N 11 [],N 7 []]
   λ> emparejaArboles (+) ej1 ej1
   N 2 [N 12 [],N 6 [N 10 []]]

λ> emparejaArboles (+) (N 1 [N 2 [], N 3[]]) (N 1 [N 6 []])

N 2 [N 8 []]

λ> emparejaArboles (+) ej1 ej2

N 4 [N 11 [],N 7 []]

λ> emparejaArboles (+) ej1 ej1

N 2 [N 12 [],N 6 [N 10 []]]

Soluciones

module Emparejamiento_de_arboles where

import Data.Tree (Tree (..))
import Control.Monad.Zip (mzipWith)
import Test.QuickCheck (Arbitrary, Gen, arbitrary, sublistOf, sized, quickCheck)

data Arbol a = N a [Arbol a]
  deriving (Show, Eq)

ej1, ej2 :: Arbol Int
ej1 = N 1 [N 6 [],N 3 [N 5 []]]
ej2 = N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]]

-- 1ª solución
-- ===========

emparejaArboles1 :: (a -> b -> c) -> Arbol a -> Arbol b -> Arbol c
emparejaArboles1 f (N x xs) (N y ys) =
  N (f x y) (zipWith (emparejaArboles1 f) xs ys)

-- 2ª solución
-- ===========

emparejaArboles2 :: (a -> b -> c) -> Arbol a -> Arbol b -> Arbol c
emparejaArboles2 f x y =
  treeAarbol (mzipWith f (arbolAtree x) (arbolAtree y))

arbolAtree :: Arbol a -> Tree a
arbolAtree (N x xs) = Node x (map arbolAtree xs)

treeAarbol :: Tree a -> Arbol a
treeAarbol (Node x xs) = N x (map treeAarbol xs)

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- (arbolArbitrario n) es un árbol aleatorio de orden n. Por ejemplo,
--    λ> generate (arbolArbitrario 5 :: Gen (Arbol Int))
--    N (-26) [N 8 [N 6 [N 11 []]],N 7 []]
--    λ> generate (arbolArbitrario 5 :: Gen (Arbol Int))
--    N 1 []
--    λ> generate (arbolArbitrario 5 :: Gen (Arbol Int))
--    N (-19) [N (-11) [],N 25 [],N 19 [N (-27) [],N (-19) [N 17 []]]]
arbolArbitrario :: Arbitrary a => Int -> Gen (Arbol a)
arbolArbitrario n = do
  x  <- arbitrary
  ms <- sublistOf [0 .. n `div` 2]
  as <- mapM arbolArbitrario ms
  return (N x as)

-- Arbol es una subclase de Arbitraria
instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where
  arbitrary = sized arbolArbitrario

-- La propiedad es
prop_emparejaArboles :: Arbol Int -> Arbol Int -> Bool
prop_emparejaArboles x y =
  emparejaArboles1 (+) x y == emparejaArboles2 (+) x y &&
  emparejaArboles1 (*) x y == emparejaArboles2 (*) x y

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_emparejaArboles
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> a500 <- generate (arbolArbitrario 500 :: Gen (Arbol Int))
--    λ> emparejaArboles1 (+) a500 a500 == emparejaArboles1 (+) a500 a500
--    True
--    (1.92 secs, 1,115,813,352 bytes)
--    λ> emparejaArboles2 (+) a500 a500 == emparejaArboles2 (+) a500 a500
--    True
--    (3.28 secs, 2,212,257,928 bytes)
--
--    λ> b500 = arbolAtree a500
--    λ> mzipWith (+) b500 b500 == mzipWith (+) b500 b500
--    True
--    (0.21 secs, 563,503,112 bytes)

module Emparejamiento_de_arboles where

import Data.Tree (Tree (..))

import Control.Monad.Zip (mzipWith)

import Test.QuickCheck (Arbitrary, Gen, arbitrary, sublistOf, sized, quickCheck)

data Arbol a = N a [Arbol a]

deriving (Show, Eq)

ej1, ej2 :: Arbol Int

ej1 = N 1 [N 6 [],N 3 [N 5 []]]

ej2 = N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]]

-- 1ª solución

-- ===========

emparejaArboles1 :: (a -> b -> c) -> Arbol a -> Arbol b -> Arbol c

emparejaArboles1 f (N x xs) (N y ys) =

N (f x y) (zipWith (emparejaArboles1 f) xs ys)

-- 2ª solución

-- ===========

emparejaArboles2 :: (a -> b -> c) -> Arbol a -> Arbol b -> Arbol c

emparejaArboles2 f x y =

treeAarbol (mzipWith f (arbolAtree x) (arbolAtree y))

arbolAtree :: Arbol a -> Tree a

arbolAtree (N x xs) = Node x (map arbolAtree xs)

treeAarbol :: Tree a -> Arbol a

treeAarbol (Node x xs) = N x (map treeAarbol xs)

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- (arbolArbitrario n) es un árbol aleatorio de orden n. Por ejemplo,

-- λ> generate (arbolArbitrario 5 :: Gen (Arbol Int))

-- N (-26) [N 8 [N 6 [N 11 []]],N 7 []]

-- λ> generate (arbolArbitrario 5 :: Gen (Arbol Int))

-- N 1 []

-- λ> generate (arbolArbitrario 5 :: Gen (Arbol Int))

-- N (-19) [N (-11) [],N 25 [],N 19 [N (-27) [],N (-19) [N 17 []]]]

arbolArbitrario :: Arbitrary a => Int -> Gen (Arbol a)

arbolArbitrario n = do

x <- arbitrary

ms <- sublistOf [0 .. n `div` 2]

as <- mapM arbolArbitrario ms

return (N x as)

-- Arbol es una subclase de Arbitraria

instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where

arbitrary = sized arbolArbitrario

-- La propiedad es

prop_emparejaArboles :: Arbol Int -> Arbol Int -> Bool

prop_emparejaArboles x y =

emparejaArboles1 (+) x y == emparejaArboles2 (+) x y &&

emparejaArboles1 (*) x y == emparejaArboles2 (*) x y

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_emparejaArboles

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> a500 <- generate (arbolArbitrario 500 :: Gen (Arbol Int))

-- λ> emparejaArboles1 (+) a500 a500 == emparejaArboles1 (+) a500 a500

-- True

-- (1.92 secs, 1,115,813,352 bytes)

-- λ> emparejaArboles2 (+) a500 a500 == emparejaArboles2 (+) a500 a500

-- True

-- (3.28 secs, 2,212,257,928 bytes)

-- λ> b500 = arbolAtree a500

-- λ> mzipWith (+) b500 b500 == mzipWith (+) b500 b500

-- True

-- (0.21 secs, 563,503,112 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Separación por posición

PorJosé A. Alonso 15-abril-202230-abril-2022

Definir la función

   particion :: [a] -> ([a],[a])

1	particion :: [a] -> ([a],[a])

tal que (particion xs) es el par cuya primera componente son los elementos de xs en posiciones pares y su segunda componente son los restantes elementos. Por ejemplo,

   particion [3,5,6,2]    ==  ([3,6],[5,2])
   particion [3,5,6,2,7]  ==  ([3,6,7],[5,2])
   particion "particion"  ==  ("priin","atco")

particion [3,5,6,2] == ([3,6],[5,2])

particion [3,5,6,2,7] == ([3,6,7],[5,2])

particion "particion" == ("priin","atco")

Soluciones

module Separacion_por_posicion where

import Data.List (partition)
import qualified Data.Vector as V ((!), fromList, length)
import Test.QuickCheck (quickCheck)

-- 1ª solución
-- ===========

particion1 :: [a] -> ([a],[a])
particion1 xs = ([x | (n,x) <- nxs, even n],
                 [x | (n,x) <- nxs, odd n])
  where nxs = enumeracion xs

--(numeracion xs) es la enumeración de xs. Por ejemplo,
--    enumeracion [7,9,6,8]  ==  [(0,7),(1,9),(2,6),(3,8)]
enumeracion :: [a] -> [(Int,a)]
enumeracion = zip [0..]

-- 2ª solución
-- ===========

particion2 :: [a] -> ([a],[a])
particion2 []     = ([],[])
particion2 (x:xs) = (x:zs,ys)
  where (ys,zs) = particion2 xs

-- 3ª solución
-- ===========

particion3 :: [a] -> ([a],[a])
particion3 = foldr f ([],[])
  where f x (ys,zs) = (x:zs,ys)

-- 4ª solución
-- ===========

particion4 :: [a] -> ([a],[a])
particion4 = foldr (\x (ys,zs) -> (x:zs,ys)) ([],[])

-- 5ª solución
-- ===========

particion5 :: [a] -> ([a],[a])
particion5 xs =
  ([xs!!k | k <- [0,2..n]],
   [xs!!k | k <- [1,3..n]])
  where n = length xs - 1

-- 6ª solución
-- ===========

particion6 :: [a] -> ([a],[a])
particion6 xs = (pares xs, impares xs)

-- (pares xs) es la lista de los elementos de xs en posiciones
-- pares. Por ejemplo,
--    pares [3,5,6,2]  ==  [3,6]
pares :: [a] -> [a]
pares []     = []
pares (x:xs) = x : impares xs

-- (impares xs) es la lista de los elementos de xs en posiciones
-- impares. Por ejemplo,
--    impares [3,5,6,2]  ==  [5,2]
impares :: [a] -> [a]
impares []     = []
impares (_:xs) = pares xs

-- 7ª solución
-- ===========

particion7 :: [a] -> ([a],[a])
particion7 [] = ([],[])
particion7 xs =
  ([v V.! k | k <- [0,2..n-1]],
   [v V.! k | k <- [1,3..n-1]])
  where v = V.fromList xs
        n = V.length v

-- 8ª solución
-- ===========

particion8 :: [a] -> ([a],[a])
particion8 xs =
  (map snd ys, map snd zs)
  where (ys,zs) = partition posicionPar (zip [0..] xs)

posicionPar :: (Int,a) -> Bool
posicionPar = even . fst

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_particion :: [Int] -> Bool
prop_particion xs =
  all (== particion1 xs)
      [particion2 xs,
       particion3 xs,
       particion4 xs,
       particion5 xs,
       particion6 xs,
       particion7 xs,
       particion8 xs]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_particion
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> last (snd (particion1 [1..6*10^6]))
--    6000000
--    (2.74 secs, 2,184,516,080 bytes)
--    λ> last (snd (particion2 [1..6*10^6]))
--    6000000
--    (2.02 secs, 1,992,515,880 bytes)
--    λ> last (snd (particion3 [1..6*10^6]))
--    6000000
--    (3.17 secs, 1,767,423,240 bytes)
--    λ> last (snd (particion4 [1..6*10^6]))
--    6000000
--    (3.23 secs, 1,767,423,240 bytes)
--    λ> last (snd (particion5 [1..6*10^6]))
--    6000000
--    (1.62 secs, 1,032,516,192 bytes)
--    λ> last (snd (particion5 [1..6*10^6]))
--    6000000
--    (1.33 secs, 1,032,516,192 bytes)
--    λ> last (snd (particion6 [1..6*10^6]))
--    6000000
--    (1.80 secs, 888,515,960 bytes)
--    λ> last (snd (particion7 [1..6*10^6]))
--    6000000
--    (1.29 secs, 1,166,865,672 bytes)
--    λ> last (snd (particion8 [1..6*10^6]))
--    6000000
--    (0.87 secs, 3,384,516,616 bytes)
--
--    λ> last (snd (particion5 [1..10^7]))
--    10000000
--    (1.94 secs, 1,720,516,872 bytes)
--    λ> last (snd (particion7 [1..10^7]))
--    10000000
--    (2.54 secs, 1,989,215,176 bytes)
--    λ> last (snd (particion8 [1..10^7]))
--    10000000
--    (1.33 secs, 5,640,516,960 bytes)

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

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141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

module Separacion_por_posicion where

import Data.List (partition)

import qualified Data.Vector as V ((!), fromList, length)

import Test.QuickCheck (quickCheck)

-- 1ª solución

-- ===========

particion1 :: [a] -> ([a],[a])

particion1 xs = ([x | (n,x) <- nxs, even n],

[x | (n,x) <- nxs, odd n])

where nxs = enumeracion xs

--(numeracion xs) es la enumeración de xs. Por ejemplo,

-- enumeracion [7,9,6,8] == [(0,7),(1,9),(2,6),(3,8)]

enumeracion :: [a] -> [(Int,a)]

enumeracion = zip [0..]

-- 2ª solución

-- ===========

particion2 :: [a] -> ([a],[a])

particion2 [] = ([],[])

particion2 (x:xs) = (x:zs,ys)

where (ys,zs) = particion2 xs

-- 3ª solución

-- ===========

particion3 :: [a] -> ([a],[a])

particion3 = foldr f ([],[])

where f x (ys,zs) = (x:zs,ys)

-- 4ª solución

-- ===========

particion4 :: [a] -> ([a],[a])

particion4 = foldr (\x (ys,zs) -> (x:zs,ys)) ([],[])

-- 5ª solución

-- ===========

particion5 :: [a] -> ([a],[a])

particion5 xs =

([xs!!k | k <- [0,2..n]],

[xs!!k | k <- [1,3..n]])

where n = length xs - 1

-- 6ª solución

-- ===========

particion6 :: [a] -> ([a],[a])

particion6 xs = (pares xs, impares xs)

-- (pares xs) es la lista de los elementos de xs en posiciones

-- pares. Por ejemplo,

-- pares [3,5,6,2] == [3,6]

pares :: [a] -> [a]

pares [] = []

pares (x:xs) = x : impares xs

-- (impares xs) es la lista de los elementos de xs en posiciones

-- impares. Por ejemplo,

-- impares [3,5,6,2] == [5,2]

impares :: [a] -> [a]

impares [] = []

impares (_:xs) = pares xs

-- 7ª solución

-- ===========

particion7 :: [a] -> ([a],[a])

particion7 [] = ([],[])

particion7 xs =

([v V.! k | k <- [0,2..n-1]],

[v V.! k | k <- [1,3..n-1]])

where v = V.fromList xs

n = V.length v

-- 8ª solución

-- ===========

particion8 :: [a] -> ([a],[a])

particion8 xs =

(map snd ys, map snd zs)

where (ys,zs) = partition posicionPar (zip [0..] xs)

posicionPar :: (Int,a) -> Bool

posicionPar = even . fst

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_particion :: [Int] -> Bool

prop_particion xs =

all (== particion1 xs)

[particion2 xs,

particion3 xs,

particion4 xs,

particion5 xs,

particion6 xs,

particion7 xs,

particion8 xs]

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_particion

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> last (snd (particion1 [1..6*10^6]))

-- 6000000

-- (2.74 secs, 2,184,516,080 bytes)

-- λ> last (snd (particion2 [1..6*10^6]))

-- 6000000

-- (2.02 secs, 1,992,515,880 bytes)

-- λ> last (snd (particion3 [1..6*10^6]))

-- 6000000

-- (3.17 secs, 1,767,423,240 bytes)

-- λ> last (snd (particion4 [1..6*10^6]))

-- 6000000

-- (3.23 secs, 1,767,423,240 bytes)

-- λ> last (snd (particion5 [1..6*10^6]))

-- 6000000

-- (1.62 secs, 1,032,516,192 bytes)

-- λ> last (snd (particion5 [1..6*10^6]))

-- 6000000

-- (1.33 secs, 1,032,516,192 bytes)

-- λ> last (snd (particion6 [1..6*10^6]))

-- 6000000

-- (1.80 secs, 888,515,960 bytes)

-- λ> last (snd (particion7 [1..6*10^6]))

-- 6000000

-- (1.29 secs, 1,166,865,672 bytes)

-- λ> last (snd (particion8 [1..6*10^6]))

-- 6000000

-- (0.87 secs, 3,384,516,616 bytes)

-- λ> last (snd (particion5 [1..10^7]))

-- 10000000

-- (1.94 secs, 1,720,516,872 bytes)

-- λ> last (snd (particion7 [1..10^7]))

-- 10000000

-- (2.54 secs, 1,989,215,176 bytes)

-- λ> last (snd (particion8 [1..10^7]))

-- 10000000

-- (1.33 secs, 5,640,516,960 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Número de inversiones

PorJosé A. Alonso 14-abril-202213-abril-2022

Se dice que en una sucesión de números x(1), x(2), …, x(n) hay una inversión cuando existe un par de números x(i) > x(j), siendo i < j. Por ejemplo, en la permutación 2, 1, 4, 3 hay dos inversiones (2 antes que 1 y 4 antes que 3) y en la permutación 4, 3, 1, 2 hay cinco inversiones (4 antes 3, 4 antes 1, 4 antes 2, 3 antes 1, 3 antes 2).

Definir la función

   numeroInversiones :: Ord a => [a] -> Int

1	numeroInversiones :: Ord a => [a] -> Int

tal que (numeroInversiones xs) es el número de inversiones de xs. Por ejemplo,

   numeroInversiones [2,1,4,3]  ==  2
   numeroInversiones [4,3,1,2]  ==  5

1 2	numeroInversiones [2,1,4,3] == 2 numeroInversiones [4,3,1,2] == 5

Soluciones

[schedule expon=’2022-04-21′ expat=»06:00″]

Las soluciones se pueden escribir en los comentarios.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

[/schedule]

[schedule on=’2022-04-21′ at=»06:00″]

import Test.QuickCheck (quickCheck)
import Data.Array ((!), listArray)

-- 1ª solución
-- ===========

numeroInversiones1 :: Ord a => [a] -> Int
numeroInversiones1 = length . indicesInversiones

-- (indicesInversiones xs) es la lista de los índices de las inversiones
-- de xs. Por ejemplo,
--    indicesInversiones [2,1,4,3]  ==  [(0,1),(2,3)]
--    indicesInversiones [4,3,1,2]  ==  [(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3)]
indicesInversiones :: Ord a => [a] -> [(Int,Int)]
indicesInversiones xs = [(i,j) | i <- [0..n-2],
                                 j <- [i+1..n-1],
                                 xs!!i > xs!!j]
  where n = length xs

-- 2ª solución
-- ===========

numeroInversiones2 :: Ord a => [a] -> Int
numeroInversiones2 = length . indicesInversiones2

indicesInversiones2 :: Ord a => [a] -> [(Int,Int)]
indicesInversiones2 xs = [(i,j) | i <- [0..n-2],
                                  j <- [i+1..n-1],
                                  v!i > v!j]
  where n = length xs
        v = listArray (0,n-1) xs

-- 3ª solución
-- ===========

numeroInversiones3 :: Ord a => [a] -> Int
numeroInversiones3 = length . inversiones

-- (inversiones xs) es la lista de las inversiones  de xs. Por ejemplo,
--    Inversiones [2,1,4,3]  ==  [(2,1),(4,3)]
--    Inversiones [4,3,1,2]  ==  [(4,3),(4,1),(4,2),(3,1),(3,2)]
inversiones :: Ord a => [a] -> [(a,a)]
inversiones []     = []
inversiones (x:xs) = [(x,y) | y <- xs, y < x] ++ inversiones xs

-- 4ª solución
-- ===========

numeroInversiones4 :: Ord a => [a] -> Int
numeroInversiones4 []     = 0
numeroInversiones4 (x:xs) = length (filter (x>) xs) + numeroInversiones4 xs

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_numeroInversiones :: [Int] -> Bool
prop_numeroInversiones xs =
  all (== numeroInversiones1 xs)
      [numeroInversiones2 xs,
       numeroInversiones3 xs,
       numeroInversiones4 xs]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_numeroInversiones
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> numeroInversiones1 [1200,1199..1]
--    719400
--    (2.30 secs, 236,976,776 bytes)
--    λ> numeroInversiones2 [1200,1199..1]
--    719400
--    (0.61 secs, 294,538,488 bytes)
--    λ> numeroInversiones3 [1200,1199..1]
--    719400
--    (0.26 secs, 150,543,056 bytes)
--    λ> numeroInversiones4 [1200,1199..1]
--    719400
--    (0.10 secs, 41,274,888 bytes)
--
--    λ> numeroInversiones3 [3000,2999..1]
--    4498500
--    (1.35 secs, 937,186,992 bytes)
--    λ> numeroInversiones4 [3000,2999..1]
--    4498500
--    (0.61 secs, 253,665,928 bytes)

import Test.QuickCheck (quickCheck)

import Data.Array ((!), listArray)

-- 1ª solución

-- ===========

numeroInversiones1 :: Ord a => [a] -> Int

numeroInversiones1 = length . indicesInversiones

-- (indicesInversiones xs) es la lista de los índices de las inversiones

-- de xs. Por ejemplo,

-- indicesInversiones [2,1,4,3] == [(0,1),(2,3)]

-- indicesInversiones [4,3,1,2] == [(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3)]

indicesInversiones :: Ord a => [a] -> [(Int,Int)]

indicesInversiones xs = [(i,j) | i <- [0..n-2],

j <- [i+1..n-1],

xs!!i > xs!!j]

where n = length xs

-- 2ª solución

-- ===========

numeroInversiones2 :: Ord a => [a] -> Int

numeroInversiones2 = length . indicesInversiones2

indicesInversiones2 :: Ord a => [a] -> [(Int,Int)]

indicesInversiones2 xs = [(i,j) | i <- [0..n-2],

j <- [i+1..n-1],

v!i > v!j]

where n = length xs

v = listArray (0,n-1) xs

-- 3ª solución

-- ===========

numeroInversiones3 :: Ord a => [a] -> Int

numeroInversiones3 = length . inversiones

-- (inversiones xs) es la lista de las inversiones de xs. Por ejemplo,

-- Inversiones [2,1,4,3] == [(2,1),(4,3)]

-- Inversiones [4,3,1,2] == [(4,3),(4,1),(4,2),(3,1),(3,2)]

inversiones :: Ord a => [a] -> [(a,a)]

inversiones [] = []

inversiones (x:xs) = [(x,y) | y <- xs, y < x] ++ inversiones xs

-- 4ª solución

-- ===========

numeroInversiones4 :: Ord a => [a] -> Int

numeroInversiones4 [] = 0

numeroInversiones4 (x:xs) = length (filter (x>) xs) + numeroInversiones4 xs

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_numeroInversiones :: [Int] -> Bool

prop_numeroInversiones xs =

all (== numeroInversiones1 xs)

[numeroInversiones2 xs,

numeroInversiones3 xs,

numeroInversiones4 xs]

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_numeroInversiones

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> numeroInversiones1 [1200,1199..1]

-- 719400

-- (2.30 secs, 236,976,776 bytes)

-- λ> numeroInversiones2 [1200,1199..1]

-- 719400

-- (0.61 secs, 294,538,488 bytes)

-- λ> numeroInversiones3 [1200,1199..1]

-- 719400

-- (0.26 secs, 150,543,056 bytes)

-- λ> numeroInversiones4 [1200,1199..1]

-- 719400

-- (0.10 secs, 41,274,888 bytes)

-- λ> numeroInversiones3 [3000,2999..1]

-- 4498500

-- (1.35 secs, 937,186,992 bytes)

-- λ> numeroInversiones4 [3000,2999..1]

-- 4498500

-- (0.61 secs, 253,665,928 bytes)

El código se encuentra en [GitHub](https://github.com/jaalonso/Exercitium/blob/main/src/

La elaboración de las soluciones se describe en el siguiente vídeo

Nuevas soluciones

En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

[/schedule]

Descomposiciones triangulares

PorJosé A. Alonso 13-abril-202215-abril-2022

Los números triangulares se forman como sigue

   *     *      *
        * *    * *
              * * *
   1     3      6

* * *

* * * *

* * *

1 3 6

La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales. Así, los 5 primeros números triangulares son

    1 = 1
    3 = 1 + 2
    6 = 1 + 2 + 3
   10 = 1 + 2 + 3 + 4
   15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

1 = 1

3 = 1 + 2

6 = 1 + 2 + 3

10 = 1 + 2 + 3 + 4

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Definir la función

   descomposicionesTriangulares :: Int -> [(Int, Int, Int)]

1	descomposicionesTriangulares :: Int -> [(Int, Int, Int)]

tal que (descomposicionesTriangulares n) es la lista de las ternas correspondientes a las descomposiciones de n en tres sumandos formados por números triangulares. Por ejemplo,

   descomposicionesTriangulares  4 == []
   descomposicionesTriangulares  5 == [(1,1,3)]
   descomposicionesTriangulares 12 == [(1,1,10),(3,3,6)]
   descomposicionesTriangulares 30 == [(1,1,28),(3,6,21),(10,10,10)]
   descomposicionesTriangulares 61 == [(1,15,45),(3,3,55),(6,10,45),(10,15,36)]
   descomposicionesTriangulares 52 == [(1,6,45),(1,15,36),(3,21,28),(6,10,36),(10,21,21)]
   descomposicionesTriangulares 82 == [(1,3,78),(1,15,66),(1,36,45),(6,10,66),(6,21,55),(10,36,36)]
   length (descomposicionesTriangulares (5*10^5)) == 124

descomposicionesTriangulares 4 == []

descomposicionesTriangulares 5 == [(1,1,3)]

descomposicionesTriangulares 12 == [(1,1,10),(3,3,6)]

descomposicionesTriangulares 30 == [(1,1,28),(3,6,21),(10,10,10)]

descomposicionesTriangulares 61 == [(1,15,45),(3,3,55),(6,10,45),(10,15,36)]

descomposicionesTriangulares 52 == [(1,6,45),(1,15,36),(3,21,28),(6,10,36),(10,21,21)]

descomposicionesTriangulares 82 == [(1,3,78),(1,15,66),(1,36,45),(6,10,66),(6,21,55),(10,36,36)]

length (descomposicionesTriangulares (5*10^5)) == 124

Soluciones

[schedule expon=’2022-04-20′ expat=»06:00″]

Las soluciones se pueden escribir en los comentarios.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

[/schedule]

[schedule on=’2022-04-20′ at=»06:00″]

import Test.QuickCheck

-- 1ª solución
-- ===========

descomposicionesTriangulares1 :: Int -> [(Int, Int, Int)]
descomposicionesTriangulares1 n =
  [(x,y,z) | x <- xs,
             y <- xs,
             z <- xs,
             x <= y && y <= z,
             x + y + z == n]
  where xs = takeWhile (<=n) triangulares

-- triangulares es la lista de los números triangulares. Por ejemplo,
--    take 9 triangulares  ==  [1,3,6,10,15,21,28,36,45]
triangulares :: [Int]
triangulares = scanl (+) 1 [2..]

-- 2ª solución
-- ===========

descomposicionesTriangulares2 :: Int -> [(Int, Int, Int)]
descomposicionesTriangulares2 n =
  [(x,y,z) | x <- xs,
             y <- xs,
             x <= y,
             z <- xs,
             y <= z,
             x + y + z == n]
  where xs = takeWhile (<=n) triangulares

-- 3ª solución
-- ===========

descomposicionesTriangulares3 :: Int -> [(Int, Int, Int)]
descomposicionesTriangulares3 n =
  [(x,y,z) | x <- xs,
             y <- xs,
             x <= y,
             let z = n - x - y,
             y <= z,
             z `elem` xs]
  where xs = takeWhile (<=n) triangulares

-- 4ª solución
-- ===========

descomposicionesTriangulares4 :: Int -> [(Int, Int, Int)]
descomposicionesTriangulares4 n =
  [(x,y,n-x-y) | x <- xs,
                 y <- dropWhile (<x) xs,
                 let z = n - x - y,
                 y <= z,
                 z `elem` xs]
  where xs = takeWhile (<=n) triangulares

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_descomposicionesTriangulares ::  Positive Int -> Bool
prop_descomposicionesTriangulares (Positive n) =
  all (== descomposicionesTriangulares1 n)
      [descomposicionesTriangulares2 n,
       descomposicionesTriangulares3 n,
       descomposicionesTriangulares4 n]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_descomposicionesTriangulares
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--   λ> last (descomposicionesTriangulares1 (2*10^4))
--   (5671,6328,8001)
--   (3.34 secs, 1,469,517,168 bytes)
--   λ> last (descomposicionesTriangulares2 (2*10^4))
--   (5671,6328,8001)
--   (1.29 secs, 461,433,928 bytes)
--   λ> last (descomposicionesTriangulares3 (2*10^4))
--   (5671,6328,8001)
--   (0.08 secs, 6,574,056 bytes)
--
--   λ> last (descomposicionesTriangulares3 (5*10^5))
--   (140185,148240,211575)
--   (2.12 secs, 151,137,280 bytes)
--   λ> last (descomposicionesTriangulares4 (5*10^5))
--   (140185,148240,211575)
--   (2.30 secs, 103,280,216 bytes)

import Test.QuickCheck

-- 1ª solución

-- ===========

descomposicionesTriangulares1 :: Int -> [(Int, Int, Int)]

descomposicionesTriangulares1 n =

[(x,y,z) | x <- xs,

y <- xs,

z <- xs,

x <= y && y <= z,

x + y + z == n]

where