maximum

Mínimo número de cambios para igualar una lista

PorJosé A. Alonso 23-febrero-201525-abril-2021

Definir la función

   nMinimoCambios :: Ord a => [a] -> Int

1	nMinimoCambios :: Ord a => [a] -> Int

tal que (nMinimoCambios xs) es el menor número de elementos de xs que hay que cambiar para que todos sean iguales. Por ejemplo,

   nMinimoCambios [3,5,3,7,9,6]      ==  4
   nMinimoCambios [3,5,3,7,3,3]      ==  2
   nMinimoCambios "Salamanca"        ==  5
   nMinimoCambios (4 : [1..500000])  ==  499999

nMinimoCambios [3,5,3,7,9,6] == 4

nMinimoCambios [3,5,3,7,3,3] == 2

nMinimoCambios "Salamanca" == 5

nMinimoCambios (4 : [1..500000]) == 499999

En el primer ejemplo, los elementos que hay que cambiar son 5, 7, 9 y 6.

Soluciones

import Data.List (group, nub, sort)

-- 1ª definición
-- =============

nMinimoCambios1 :: Ord a => [a] -> Int
nMinimoCambios1 xs = 
    length xs - fst (last (sort (frecuencias xs)))

-- (frecuencias xs) es la lista de los pares de los elementos de xs y el
-- número de veces que ocurren en xs. Por ejemplo,
--    frecuencias [3,5,3,7,9,6]  ==  [(2,3),(1,5),(1,7),(1,9),(1,6)]
--    frecuencias [3,5,3,7,5,5]  ==  [(2,3),(3,5),(1,7)]
frecuencias :: Ord a => [a] -> [(Int,a)]
frecuencias xs = [(cuenta x xs,x) | x <- nub xs]

-- (cuenta x ys) es el número de veces que ocurre x en ys. Por ejemplo,
--    cuenta 3 [3,5,3,7,9,6]  ==  2
cuenta :: Ord a => a -> [a] -> Int
cuenta x ys = length [y | y <- ys, y == x]

-- 2ª definición
-- =============

nMinimoCambios2 :: Ord a => [a] -> Int
nMinimoCambios2 xs = 
    length xs - fst (last (sort (frecuencias2 xs)))

-- (frecuencias2 xs) es la lista de los pares de los elementos de xs y el
-- número de veces que ocurren en xs. Por ejemplo,
--    frecuencias2 [3,5,3,7,9,6]  ==  [(2,3),(1,5),(1,7),(1,9),(1,6)]
--    frecuencias2 [3,5,3,7,5,5]  ==  [(2,3),(3,5),(1,7)]
frecuencias2 :: Ord a  => [a] -> [(Int,a)]
frecuencias2 xs = 
    [(1 + length ys, y) | (y:ys) <- group (sort xs)] 

-- 3ª definición
-- =============

nMinimoCambios3 :: Ord a => [a] -> Int
nMinimoCambios3 xs = sum ys - maximum ys
    where ys = [length ys | ys <- group (sort xs)]

import Data.List (group, nub, sort)

-- 1ª definición

-- =============

nMinimoCambios1 :: Ord a => [a] -> Int

nMinimoCambios1 xs =

length xs - fst (last (sort (frecuencias xs)))

-- (frecuencias xs) es la lista de los pares de los elementos de xs y el

-- número de veces que ocurren en xs. Por ejemplo,

-- frecuencias [3,5,3,7,9,6] == [(2,3),(1,5),(1,7),(1,9),(1,6)]

-- frecuencias [3,5,3,7,5,5] == [(2,3),(3,5),(1,7)]

frecuencias :: Ord a => [a] -> [(Int,a)]

frecuencias xs = [(cuenta x xs,x) | x <- nub xs]

-- (cuenta x ys) es el número de veces que ocurre x en ys. Por ejemplo,

-- cuenta 3 [3,5,3,7,9,6] == 2

cuenta :: Ord a => a -> [a] -> Int

cuenta x ys = length [y | y <- ys, y == x]

-- 2ª definición

-- =============

nMinimoCambios2 :: Ord a => [a] -> Int

nMinimoCambios2 xs =

length xs - fst (last (sort (frecuencias2 xs)))

-- (frecuencias2 xs) es la lista de los pares de los elementos de xs y el

-- número de veces que ocurren en xs. Por ejemplo,

-- frecuencias2 [3,5,3,7,9,6] == [(2,3),(1,5),(1,7),(1,9),(1,6)]

-- frecuencias2 [3,5,3,7,5,5] == [(2,3),(3,5),(1,7)]

frecuencias2 :: Ord a => [a] -> [(Int,a)]

frecuencias2 xs =

[(1 + length ys, y) | (y:ys) <- group (sort xs)]

-- 3ª definición

-- =============

nMinimoCambios3 :: Ord a => [a] -> Int

nMinimoCambios3 xs = sum ys - maximum ys

where ys = [length ys | ys <- group (sort xs)]

Mayor producto de n dígitos consecutivos de un número

PorJosé A. Alonso 12-febrero-201525-abril-2021

Definir la función

   mayorProducto :: Int -> Integer -> Integer

1	mayorProducto :: Int -> Integer -> Integer

tal que (mayorProducto n x) es el mayor producto de n dígitos consecutivos del número x (suponiendo que x tiene al menos n dígitos). Por ejemplo,

   mayorProducto 2 325                  ==  10
   mayorProducto 5 11111                ==  1
   mayorProducto 5 113111               ==  3
   mayorProducto 5 110111               ==  0
   mayorProducto 5 10151112             ==  10
   mayorProducto 5 101511124            ==  10
   mayorProducto 5 (product [1..1000])  ==  41472

mayorProducto 2 325 == 10

mayorProducto 5 11111 == 1

mayorProducto 5 113111 == 3

mayorProducto 5 110111 == 0

mayorProducto 5 10151112 == 10

mayorProducto 5 101511124 == 10

mayorProducto 5 (product [1..1000]) == 41472

Soluciones

import Data.List (inits, tails)
import Data.Char (digitToInt)

-- 1ª solución
-- ===========

mayorProducto1 :: Int -> Integer -> Integer
mayorProducto1 n x = 
    maximum [product xs | xs <- segmentos n (cifras x)]

-- (cifras x) es la lista de las cifras del número x, de derecha a
-- izquierda. Por ejemplo, 
--    cifras 325  ==  [5,2,3]
cifras :: Integer -> [Integer]
cifras x 
    | x < 10    = [x]
    | otherwise = r : cifras q
    where (q,r) = quotRem x 10

-- (segmentos n xs) es la lista de los segmentos de longitud n de la
-- lista xs. Por ejemplo,
--    segmentos 2 [3,5,4,6]  ==  [[3,5],[5,4],[4,6]]
segmentos :: Int -> [Integer] -> [[Integer]]
segmentos n xs = take (length xs - n + 1) (map (take n) (tails xs))

-- 2ª solución
-- ===========

mayorProducto2 :: Int -> Integer -> Integer
mayorProducto2 n x = maximum (aux ns)
    where ns     = [read [d] | d <- show x]
          aux xs | length xs < n = []
                 | otherwise     = product (take n xs) : aux (tail xs)

-- 3ª solución
-- ===========

mayorProducto3 :: Int -> Integer -> Integer
mayorProducto3 n = maximum . 
                   map (product . take n) .
                   filter ((>=n) . length) .
                   tails . 
                   cifras

-- 4ª solución
-- ===========

mayorProducto4 :: Int -> Integer -> Integer
mayorProducto4 n = maximum . 
                   map (product . map (fromIntegral . digitToInt)) . 
                   filter ((==n) . length) . 
                   concatMap inits . 
                   tails .
                   show

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Comparación de soluciones                                          --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Tiempo (en segundos) del cálculo de (mayorProducto4 5 (product [1..]))
-- 
--    | Def | 10   | 100  | 1000 | 5000  |
--    |-----+------+------+------+-------|
--    | 1   | 0.01 | 0.01 | 0.04 |  0.34 |
--    | 2   | 0.01 | 0.01 | 0.07 |  2.86 |
--    | 3   | 0.01 | 0.01 | 0.06 | 12.48 |
--    | 4   | 0.00 | 0.12 |      |       |
...

import Data.List (inits, tails)

import Data.Char (digitToInt)

-- 1ª solución

-- ===========

mayorProducto1 :: Int -> Integer -> Integer

mayorProducto1 n x =

maximum [product xs | xs <- segmentos n (cifras x)]

-- (cifras x) es la lista de las cifras del número x, de derecha a

-- izquierda. Por ejemplo,

-- cifras 325 == [5,2,3]

cifras :: Integer -> [Integer]

cifras x

| x < 10 = [x]

| otherwise = r : cifras q

where (q,r) = quotRem x 10

-- (segmentos n xs) es la lista de los segmentos de longitud n de la

-- lista xs. Por ejemplo,

-- segmentos 2 [3,5,4,6] == [[3,5],[5,4],[4,6]]

segmentos :: Int -> [Integer] -> [[Integer]]

segmentos n xs = take (length xs - n + 1) (map (take n) (tails xs))

-- 2ª solución

-- ===========

mayorProducto2 :: Int -> Integer -> Integer

mayorProducto2 n x = maximum (aux ns)

where ns = [read [d] | d <- show x]

aux xs | length xs < n = []

| otherwise = product (take n xs) : aux (tail xs)

-- 3ª solución

-- ===========

mayorProducto3 :: Int -> Integer -> Integer

mayorProducto3 n = maximum .

map (product . take n) .

filter ((>=n) . length) .

tails .

cifras

-- 4ª solución

-- ===========

mayorProducto4 :: Int -> Integer -> Integer

mayorProducto4 n = maximum .

map (product . map (fromIntegral . digitToInt)) .

filter ((==n) . length) .

concatMap inits .

tails .

show

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Comparación de soluciones --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Tiempo (en segundos) del cálculo de (mayorProducto4 5 (product [1..]))

-- | Def | 10 | 100 | 1000 | 5000 |

-- |-----+------+------+------+-------|

-- | 1 | 0.01 | 0.01 | 0.04 | 0.34 |

-- | 2 | 0.01 | 0.01 | 0.07 | 2.86 |

-- | 3 | 0.01 | 0.01 | 0.06 | 12.48 |

-- | 4 | 0.00 | 0.12 | | |

...

Mayor capicúa producto de dos números de n cifras

PorJosé A. Alonso 3-febrero-201525-abril-2021

Un capicúa es un número que es igual leído de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

Definir la función

   mayorCapicuaP :: Integer -> Integer

1	mayorCapicuaP :: Integer -> Integer

tal que (mayorCapicuaP n) es el mayor capicúa que es el producto de dos números de n cifras. Por ejemplo,

   mayorCapicuaP 2  ==  9009
   mayorCapicuaP 3  ==  906609
   mayorCapicuaP 4  ==  99000099
   mayorCapicuaP 5  ==  9966006699

mayorCapicuaP 2 == 9009

mayorCapicuaP 3 == 906609

mayorCapicuaP 4 == 99000099

mayorCapicuaP 5 == 9966006699

Soluciones

-- 1ª solución
-- ===========

mayorCapicuaP1 :: Integer -> Integer
mayorCapicuaP1 n = head (capicuasP n)

-- (capicuasP n) es la lista de las capicúas de 2*n cifras que
-- pueden escribirse como productos de dos números de n cifras. Por
-- ejemplo, Por ejemplo,
--    ghci> capicuasP 2
--    [9009,8448,8118,8008,7227,7007,6776,6336,6006,5775,5445,5335,
--     5225,5115,5005,4884,4774,4664,4554,4224,4004,3773,3663,3003,
--     2992,2772,2552,2442,2332,2112,2002,1881,1771,1551,1221,1001]
capicuasP n = [x | x <- capicuas n,
                        not (null (productosDosNumerosCifras n x))]

-- (capicuas n) es la lista de las capicúas de 2*n cifras de mayor a
-- menor. Por ejemplo, 
--    capicuas 1           ==  [99,88,77,66,55,44,33,22,11]
--    take 7 (capicuas 2)  ==  [9999,9889,9779,9669,9559,9449,9339]
capicuas :: Integer -> [Integer]
capicuas n = [capicua x | x <- numerosCifras n]

-- (numerosCifras n) es la lista de los números de n cifras de mayor a
-- menor. Por ejemplo,
--    numerosCifras 1           ==  [9,8,7,6,5,4,3,2,1]
--    take 7 (numerosCifras 2)  ==  [99,98,97,96,95,94,93]
--    take 7 (numerosCifras 3)  ==  [999,998,997,996,995,994,993]
numerosCifras :: Integer -> [Integer]
numerosCifras n = [a,a-1..b]
    where a = 10^n-1
          b = 10^(n-1) 

-- (capicua n) es la capicúa formada añadiendo el inverso de n a
--  continuación de n. Por ejemplo,
--    capicua 93  ==  9339
capicua :: Integer -> Integer
capicua n = read (xs ++ (reverse xs))
    where xs = show n

-- (productosDosNumerosCifras n x) es la lista de los números y de n
-- cifras tales que existe un z de n cifras y x es el producto de y por
-- z. Por ejemplo, 
--    productosDosNumerosCifras 2 9009  ==  [99,91]
productosDosNumerosCifras n x = [y | y <- numeros,
                                     mod x y == 0,
                                     div x y `elem` numeros]
    where numeros = numerosCifras n

-- 2ª solución
-- ===========

mayorCapicuaP2 :: Integer -> Integer
mayorCapicuaP2 n = maximum [x*y | x <- [a,a-1..b],
                                  y <- [a,a-1..b],
                                  esCapicua (x*y)] 
    where a = 10^n-1
          b = 10^(n-1)

-- (esCapicua x) se verifica si x es capicúa. Por ejemplo,
--    esCapicua 353  ==  True
--    esCapicua 357  ==  False
esCapicua :: Integer -> Bool
esCapicua n = xs == reverse xs
    where xs = show n

-- 3ª solución
-- ===========

mayorCapicuaP3 :: Integer -> Integer
mayorCapicuaP3 n = maximum [x*y | (x,y) <- pares a b, 
                                  esCapicua (x*y)] 
     where a = 10^n-1
           b = 10^(n-1)

-- (pares a b) es la lista de los pares de números entre a y b de forma
-- que su suma es decreciente. Por ejemplo,
--    pares 9 7  ==  [(9,9),(8,9),(8,8),(7,9),(7,8),(7,7)]
pares a b = [(x,z-x) | z <- [a1,a1-1..b1],
                       x <- [a,a-1..b],
                       x <= z-x, z-x <= a]
            where a1 = 2*a
                  b1 = 2*b

-- 4ª solución
-- ===========

mayorCapicuaP4 :: Integer -> Integer
mayorCapicuaP4 n = maximum [x | y <- [a..b],
                                z <- [y..b],
                                let x = y * z,
                                let s = show x,
                                s == reverse s]
     where a = 10^(n-1)
           b = 10^n-1
     
-- 5ª solución
-- ===========

mayorCapicuaP5 :: Integer -> Integer
mayorCapicuaP5 n = maximum [x*y | (x,y) <- pares2 b a, esCapicua (x*y)]
     where a = 10^(n-1)
           b = 10^n-1
                       
-- (pares2 a b) es la lista de los pares de números entre a y b de forma
-- que su suma es decreciente. Por ejemplo,
--    pares2 9 7  ==  [(9,9),(8,9),(8,8),(7,9),(7,8),(7,7)]
pares2 a b = [(x,y) | x <- [a,a-1..b], y <- [a,a-1..x]]

-- 6ª solución
-- ===========

mayorCapicuaP6 :: Integer -> Integer
mayorCapicuaP6 n = maximum [x*y | x <- [a..b], 
                                  y <- [x..b] , 
                                  esCapicua (x*y)]
     where a = 10^(n-1)
           b = 10^n-1
 
-- (cifras n) es la lista de las cifras de n en orden inverso. Por
-- ejemplo,  
--    cifras 325  == [5,2,3]
cifras :: Integer -> [Integer]
cifras n 
    | n < 10    = [n]
    | otherwise = (ultima n) : (cifras (quitarUltima n))

-- (ultima n) es la última cifra de n. Por ejemplo,
--    ultima 325  ==  5
ultima  :: Integer -> Integer
ultima n =  n - (n `div` 10)*10

-- (quitarUltima n) es el número obtenido al quitarle a n su última
-- cifra. Por ejemplo,
--    quitarUltima 325  =>  32 
quitarUltima :: Integer -> Integer
quitarUltima n = (n - (ultima n)) `div` 10

-- 7ª solución
-- ===========

mayorCapicuaP7 :: Integer -> Integer
mayorCapicuaP7 n = head [x | x <- capicuas n, esFactorizable x n]

-- (esFactorizable x n) se verifica si x se puede escribir como producto
-- de dos números de n dígitos. Por ejemplo,
--    esFactorizable 1219 2  ==  True
--    esFactorizable 1217 2  ==  False
esFactorizable x n = aux i x
    where b = 10^n-1
          i = floor (sqrt (fromIntegral x))
          aux i x | i > b          = False
                  | x `mod` i == 0 = x `div` i < b 
                  | otherwise      = aux (i+1) x

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Comparación de soluciones                                          --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Tiempo (en segundos) de cálculo de (mayorCapicuaP n) con las 7
-- definiciones
--    +------+------+------+------+
--    | Def. | 2    | 3    | 4    |
--    |------+------+------+------|
--    |    1 | 0.01 | 0.13 | 1.39 |
--    |    2 | 0.03 | 2.07 |      |
--    |    3 | 0.05 | 3.86 |      |
--    |    4 | 0.01 | 0.89 |      |
--    |    5 | 0.03 | 1.23 |      |
--    |    6 | 0.02 | 1.03 |      |
--    |    7 | 0.01 | 0.02 | 0.02 |
--    +------+------+------+------+

100

101

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103

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172

-- 1ª solución

-- ===========

mayorCapicuaP1 :: Integer -> Integer

mayorCapicuaP1 n = head (capicuasP n)

-- (capicuasP n) es la lista de las capicúas de 2*n cifras que

-- pueden escribirse como productos de dos números de n cifras. Por

-- ejemplo, Por ejemplo,

-- ghci> capicuasP 2

-- [9009,8448,8118,8008,7227,7007,6776,6336,6006,5775,5445,5335,

-- 5225,5115,5005,4884,4774,4664,4554,4224,4004,3773,3663,3003,

-- 2992,2772,2552,2442,2332,2112,2002,1881,1771,1551,1221,1001]

capicuasP n = [x | x <- capicuas n,

not (null (productosDosNumerosCifras n x))]

-- (capicuas n) es la lista de las capicúas de 2*n cifras de mayor a

-- menor. Por ejemplo,

-- capicuas 1 == [99,88,77,66,55,44,33,22,11]

-- take 7 (capicuas 2) == [9999,9889,9779,9669,9559,9449,9339]

capicuas :: Integer -> [Integer]

capicuas n = [capicua x | x <- numerosCifras n]

-- (numerosCifras n) es la lista de los números de n cifras de mayor a

-- menor. Por ejemplo,

-- numerosCifras 1 == [9,8,7,6,5,4,3,2,1]

-- take 7 (numerosCifras 2) == [99,98,97,96,95,94,93]

-- take 7 (numerosCifras 3) == [999,998,997,996,995,994,993]

numerosCifras :: Integer -> [Integer]

numerosCifras n = [a,a-1..b]

where a = 10^n-1

b = 10^(n-1)

-- (capicua n) es la capicúa formada añadiendo el inverso de n a

-- continuación de n. Por ejemplo,

-- capicua 93 == 9339

capicua :: Integer -> Integer

capicua n = read (xs ++ (reverse xs))

where xs = show n

-- (productosDosNumerosCifras n x) es la lista de los números y de n

-- cifras tales que existe un z de n cifras y x es el producto de y por

-- z. Por ejemplo,

-- productosDosNumerosCifras 2 9009 == [99,91]

productosDosNumerosCifras n x = [y | y <- numeros,

mod x y == 0,

div x y `elem` numeros]

where numeros = numerosCifras n

-- 2ª solución

-- ===========

mayorCapicuaP2 :: Integer -> Integer

mayorCapicuaP2 n = maximum [x*y | x <- [a,a-1..b],

y <- [a,a-1..b],

esCapicua (x*y)]

where a = 10^n-1

b = 10^(n-1)

-- (esCapicua x) se verifica si x es capicúa. Por ejemplo,

-- esCapicua 353 == True

-- esCapicua 357 == False

esCapicua :: Integer -> Bool

esCapicua n = xs == reverse xs

where xs = show n

-- 3ª solución

-- ===========

mayorCapicuaP3 :: Integer -> Integer

mayorCapicuaP3 n = maximum [x*y | (x,y) <- pares a b,

esCapicua (x*y)]

where a = 10^n-1

b = 10^(n-1)

-- (pares a b) es la lista de los pares de números entre a y b de forma

-- que su suma es decreciente. Por ejemplo,

-- pares 9 7 == [(9,9),(8,9),(8,8),(7,9),(7,8),(7,7)]

pares a b = [(x,z-x) | z <- [a1,a1-1..b1],

x <- [a,a-1..b],

x <= z-x, z-x <= a]

where a1 = 2*a

b1 = 2*b

-- 4ª solución

-- ===========

mayorCapicuaP4 :: Integer -> Integer

mayorCapicuaP4 n = maximum [x | y <- [a..b],

z <- [y..b],

let x = y * z,

let s = show x,

s == reverse s]

where a = 10^(n-1)

b = 10^n-1

-- 5ª solución

-- ===========

mayorCapicuaP5 :: Integer -> Integer

mayorCapicuaP5 n = maximum [x*y | (x,y) <- pares2 b a, esCapicua (x*y)]

where a = 10^(n-1)

b = 10^n-1

-- (pares2 a b) es la lista de los pares de números entre a y b de forma

-- que su suma es decreciente. Por ejemplo,

-- pares2 9 7 == [(9,9),(8,9),(8,8),(7,9),(7,8),(7,7)]

pares2 a b = [(x,y) | x <- [a,a-1..b], y <- [a,a-1..x]]

-- 6ª solución

-- ===========

mayorCapicuaP6 :: Integer -> Integer

mayorCapicuaP6 n = maximum [x*y | x <- [a..b],

y <- [x..b] ,

esCapicua (x*y)]

where a = 10^(n-1)

b = 10^n-1

-- (cifras n) es la lista de las cifras de n en orden inverso. Por

-- ejemplo,

-- cifras 325 == [5,2,3]

cifras :: Integer -> [Integer]

cifras n

| n < 10 = [n]

| otherwise = (ultima n) : (cifras (quitarUltima n))

-- (ultima n) es la última cifra de n. Por ejemplo,

-- ultima 325 == 5

ultima :: Integer -> Integer

ultima n = n - (n `div` 10)*10

-- (quitarUltima n) es el número obtenido al quitarle a n su última

-- cifra. Por ejemplo,

-- quitarUltima 325 => 32

quitarUltima :: Integer -> Integer

quitarUltima n = (n - (ultima n)) `div` 10

-- 7ª solución

-- ===========

mayorCapicuaP7 :: Integer -> Integer

mayorCapicuaP7 n = head [x | x <- capicuas n, esFactorizable x n]

-- (esFactorizable x n) se verifica si x se puede escribir como producto

-- de dos números de n dígitos. Por ejemplo,

-- esFactorizable 1219 2 == True

-- esFactorizable 1217 2 == False

esFactorizable x n = aux i x

where b = 10^n-1

i = floor (sqrt (fromIntegral x))

aux i x | i > b = False

| x `mod` i == 0 = x `div` i < b

| otherwise = aux (i+1) x

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Comparación de soluciones --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Tiempo (en segundos) de cálculo de (mayorCapicuaP n) con las 7

-- definiciones

-- +------+------+------+------+

-- | Def. | 2 | 3 | 4 |

-- |------+------+------+------|

-- | 1 | 0.01 | 0.13 | 1.39 |

-- | 2 | 0.03 | 2.07 | |

-- | 3 | 0.05 | 3.86 | |

-- | 4 | 0.01 | 0.89 | |

-- | 5 | 0.03 | 1.23 | |

-- | 6 | 0.02 | 1.03 | |

-- | 7 | 0.01 | 0.02 | 0.02 |

-- +------+------+------+------+

Máxima suma de los segmentos

PorJosé A. Alonso 13-enero-201525-abril-2021

Un segmento de una lista xs es una sublista de xs formada por elementos consecutivos en la lista. El problema de la máxima suma de segmentos consiste en dada una lista de números enteros calcular el máximo de las sumas de todos los segmentos de la lista. Por ejemplo, para la lista [-1,2,-3,5,-2,1,3,-2,-2,-3,6] la máxima suma de segmentos es 7 que es la suma del segmento [5,-2,1,3] y para la lista [-1,-2,-3] es 0 que es la suma de la lista vacía.

Definir la función

   mss :: [Integer] -> Integer

1	mss :: [Integer] -> Integer

tal que (mss xs) es la máxima suma de los segmentos de xs. Por ejemplo,

   mss [-1,2,-3,5,-2,1,3,-2,-2,-3,6]  ==  7
   mss [-1,-2,-3]                     ==  0
   mss [1..500]                       ==  125250
   mss [1..1000]                      ==  500500
   mss [-500..3]                      ==  6
   mss [-1000..3]                     ==  6

mss [-1,2,-3,5,-2,1,3,-2,-2,-3,6] == 7

mss [-1,-2,-3] == 0

mss [1..500] == 125250

mss [1..1000] == 500500

mss [-500..3] == 6

mss [-1000..3] == 6

Soluciones

import Data.List (inits,tails)

-- 1ª solución
mss :: [Integer] -> Integer
mss = maximum . map sum . segmentos

-- (segmentos xs) es la lista de los segmentos de xs. Por ejemplo,
--    ghci> segmentos "abc"
--    ["","a","ab","abc","","b","bc","","c",""]
segmentos :: [a] -> [[a]]
segmentos = concat . map inits . tails

-- 2ª definición:
mss2 :: [Integer] -> Integer
mss2 = maximum . map (maximum . scanl (+) 0) . tails

-- 3ª definición:
mss3 :: [Integer] -> Integer
mss3 = maximum . map sum . concatMap tails . inits 

-- 4ª definición
mss4 :: [Integer] -> Integer
mss4  = fst . foldr (\x (b,a) -> (max (a+x) b, max 0 (a+x))) (0,0) 

-- 5ª definición (con scanl):
mss5 :: [Integer] -> Integer
mss5 = maximum . scanl (\a x -> max 0 a + x) 0

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    ghci> mss [1..500]
--    125250
--    (7.52 secs, 2022130824 bytes)
--    
--    ghci> mss2 [1..500]
--    125250
--    (0.01 secs, 10474956 bytes)
--    
--    ghci> mss3 [1..500]
--    125250
--    (0.98 secs, 841862016 bytes)
--    
--    ghci> mss4 [1..500]
--    125250
--    (0.01 secs, 552252 bytes)
--    
--    ghci> mss2 [1..1000]
--    500500
--    (0.06 secs, 54575712 bytes)
--    
--    ghci> mss3 [1..1000]
--    500500
--    (7.87 secs, 7061347900 bytes)
--
--    ghci> mss4 [1..1000]
--    500500
--    (0.01 secs, 549700 bytes)
--    
--    ghci> mss2 [1..2000]
--    2001000
--    (0.29 secs, 216424336 bytes)
--    
--    ghci> mss2 [1..5000]
--    12502500
--    (2.37 secs, 1356384840 bytes)
--    
--    ghci> mss4 [1..5000]
--    12502500
--    (0.02 secs, 1913548 bytes)
--
--    ghci> mss5 [1..5000]
--    12502500
--    (0.01 secs, 2886360 bytes)

import Data.List (inits,tails)

-- 1ª solución

mss :: [Integer] -> Integer

mss = maximum . map sum . segmentos

-- (segmentos xs) es la lista de los segmentos de xs. Por ejemplo,

-- ghci> segmentos "abc"

-- ["","a","ab","abc","","b","bc","","c",""]

segmentos :: [a] -> [[a]]

segmentos = concat . map inits . tails

-- 2ª definición:

mss2 :: [Integer] -> Integer

mss2 = maximum . map (maximum . scanl (+) 0) . tails

-- 3ª definición:

mss3 :: [Integer] -> Integer

mss3 = maximum . map sum . concatMap tails . inits

-- 4ª definición

mss4 :: [Integer] -> Integer

mss4 = fst . foldr (\x (b,a) -> (max (a+x) b, max 0 (a+x))) (0,0)

-- 5ª definición (con scanl):

mss5 :: [Integer] -> Integer

mss5 = maximum . scanl (\a x -> max 0 a + x) 0

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- ghci> mss [1..500]

-- 125250

-- (7.52 secs, 2022130824 bytes)

-- ghci> mss2 [1..500]

-- 125250

-- (0.01 secs, 10474956 bytes)

-- ghci> mss3 [1..500]

-- 125250

-- (0.98 secs, 841862016 bytes)

-- ghci> mss4 [1..500]

-- 125250

-- (0.01 secs, 552252 bytes)

-- ghci> mss2 [1..1000]

-- 500500

-- (0.06 secs, 54575712 bytes)

-- ghci> mss3 [1..1000]

-- 500500

-- (7.87 secs, 7061347900 bytes)

-- ghci> mss4 [1..1000]

-- 500500

-- (0.01 secs, 549700 bytes)

-- ghci> mss2 [1..2000]

-- 2001000

-- (0.29 secs, 216424336 bytes)

-- ghci> mss2 [1..5000]

-- 12502500

-- (2.37 secs, 1356384840 bytes)

-- ghci> mss4 [1..5000]

-- 12502500

-- (0.02 secs, 1913548 bytes)

-- ghci> mss5 [1..5000]

-- 12502500

-- (0.01 secs, 2886360 bytes)

Referencias

El ejercicio está basado en la función mss del libro de Bird Thinking functionally with Haskell (página 127).
Las soluciones 3ª y 4ª las publicó josejuan aquí

Máximo de una función

PorJosé A. Alonso 4-noviembre-201427-diciembre-2014

Enunciado

-- Se considera la siguiente función
--    g :: Integer -> Integer
--    g n = if n < 10 then n*n else n
-- 
-- Definir la función 
--    max_g :: Integer -> Integer
-- tal que (max_g n) es el punto i del intervalo [0,n] donde g alcanza
-- el máximo de sus valores, si n es positivo y 0 en caso contrario. Por
-- ejemplo,
--    max_g (-7)  ==  0
--    max_g 7     ==  7
--    max_g 14    ==  9
--    max_g 84    ==  84
-- 
-- Comprobar con QuickCheck que la función max_g es equivalente a la
-- función f definida por  
--    f :: Integer -> Integer
--    f n | n < 0             = 0
--        | n >= 10 && n < 81 = 9
--        | otherwise         = n
--
-- Nota: Se piden dos definiciones de max_g, una por comprensión y otra
-- por recursión.

-- Se considera la siguiente función

-- g :: Integer -> Integer

-- g n = if n < 10 then n*n else n

-- Definir la función

-- max_g :: Integer -> Integer

-- tal que (max_g n) es el punto i del intervalo [0,n] donde g alcanza

-- el máximo de sus valores, si n es positivo y 0 en caso contrario. Por

-- ejemplo,

-- max_g (-7) == 0

-- max_g 7 == 7

-- max_g 14 == 9

-- max_g 84 == 84

-- Comprobar con QuickCheck que la función max_g es equivalente a la

-- función f definida por

-- f :: Integer -> Integer

-- f n | n < 0 = 0

-- | n >= 10 && n < 81 = 9

-- | otherwise = n

-- Nota: Se piden dos definiciones de max_g, una por comprensión y otra

-- por recursión.

Soluciones

import Test.QuickCheck

g :: Integer -> Integer
g n = if n < 10 then n*n else n

-- 1ª definición (por comprensión):
max_gC :: Integer -> Integer
max_gC n | n < 0     = 0 
         | otherwise = snd (maximum [(g i,i) | i <- [0..n]])

-- 2ª definición (por recursión):
max_gR :: Integer -> Integer
max_gR n | n < 0      = 0
         | g m > g n  = m 
         | otherwise  = n
         where m = max_gR (n - 1)

f :: Integer -> Integer
f n | n < 0             = 0
    | n >= 10 && n < 81 = 9
    | otherwise         = n

-- La propiedad con max_gR es
prop_max_gR n = max_gR n == f n

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_max_gR
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- La propiedad con max_gC es
prop_max_gC n = max_gC n == f n

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_max_gC
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Test.QuickCheck

g :: Integer -> Integer

g n = if n < 10 then n*n else n

-- 1ª definición (por comprensión):

max_gC :: Integer -> Integer

max_gC n | n < 0 = 0

| otherwise = snd (maximum [(g i,i) | i <- [0..n]])

-- 2ª definición (por recursión):

max_gR :: Integer -> Integer

max_gR n | n < 0 = 0

| g m > g n = m

| otherwise = n

where m = max_gR (n - 1)

f :: Integer -> Integer

f n | n < 0 = 0

| n >= 10 && n < 81 = 9

| otherwise = n

-- La propiedad con max_gR es

prop_max_gR n = max_gR n == f n

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_max_gR

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- La propiedad con max_gC es

prop_max_gC n = max_gC n == f n

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_max_gC

-- +++ OK, passed 100 tests.

Mayor producto de n dígitos consecutivos de un número

Soluciones

Mayor capicúa producto de dos números de n cifras

Soluciones

Máxima suma de los segmentos

Soluciones

Referencias

Máximo de una función

Enunciado

Soluciones

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