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Matrices centro simétricas

PorJosé A. Alonso 2-marzo-201814-marzo-2018

Una matriz centro simétrica es una matriz cuadrada que es simétrica respecto de su centro. Por ejemplo, de las siguientes matrices, las dos primeras son simétricas y las otras no lo son

   (1 2)   (1 2 3)   (1 2 3)   (1 2 3)    
   (2 1)   (4 5 4)   (4 5 4)   (4 5 4)
           (3 2 1)   (3 2 2)

(1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3)

(2 1) (4 5 4) (4 5 4) (4 5 4)

(3 2 1) (3 2 2)

Definir la función

   esCentroSimetrica :: Eq t => Array (Int,Int) t -> Bool

1	esCentroSimetrica :: Eq t => Array (Int,Int) t -> Bool

tal que (esCentroSimetrica a) se verifica si la matriz a es centro simétrica. Por ejemplo,

   λ> esCentroSimetrica (listArray ((1,1),(2,2)) [1,2, 2,1])
   True
   λ> esCentroSimetrica (listArray ((1,1),(3,3)) [1,2,3, 4,5,4, 3,2,1])
   True
   λ> esCentroSimetrica (listArray ((1,1),(3,3)) [1,2,3, 4,5,4, 3,2,2])
   False
   λ> esCentroSimetrica (listArray ((1,1),(2,3)) [1,2,3, 4,5,4])
   False

λ> esCentroSimetrica (listArray ((1,1),(2,2)) [1,2, 2,1])

True

λ> esCentroSimetrica (listArray ((1,1),(3,3)) [1,2,3, 4,5,4, 3,2,1])

True

λ> esCentroSimetrica (listArray ((1,1),(3,3)) [1,2,3, 4,5,4, 3,2,2])

False

λ> esCentroSimetrica (listArray ((1,1),(2,3)) [1,2,3, 4,5,4])

False

Soluciones

import Data.Array 

esCentroSimetrica :: Eq t => Array (Int,Int) t -> Bool
esCentroSimetrica a =
  n == m && and [a!(i,j) == a!(n-i+1,n-j+1) | i <- [1..n], j <- [i..n]] 
  where (_,(n,m)) = bounds a

import Data.Array

esCentroSimetrica :: Eq t => Array (Int,Int) t -> Bool

esCentroSimetrica a =

n == m && and [a!(i,j) == a!(n-i+1,n-j+1) | i <- [1..n], j <- [i..n]]

where (_,(n,m)) = bounds a

La función de Smarandache

PorJosé A. Alonso 27-febrero-20186-marzo-2018

La función de Smarandache, también conocida como la función de Kempner, es la función que asigna a cada número entero positivo n el menor número cuyo factorial es divisible por n y se representa por S(n). Por ejemplo, el número 8 no divide a 1!, 2!, 3!, pero sí divide 4!; por tanto, S(8) = 4.

Definir las funciones

   smarandache        :: Integer -> Integer
   graficaSmarandache :: Integer -> IO ()

1 2	smarandache :: Integer -> Integer graficaSmarandache :: Integer -> IO ()

tales que

(smarandache n) es el menor número cuyo factorial es divisible por n. Por ejemplo,

     smarandache 8   ==  4
     smarandache 10  ==  5
     smarandache 16  ==  6

smarandache 8 == 4

smarandache 10 == 5

smarandache 16 == 6

(graficaSmarandache n) dibuja la gráfica de los n primeros términos de la sucesión de Smarandache. Por ejemplo, (graficaSmarandache 100) dibuja

(graficaSmarandache 500) dibuja

Soluciones

import Data.List (genericLength)
import Graphics.Gnuplot.Simple

smarandache :: Integer -> Integer
smarandache x =
  head [n | (n,y) <- zip [0..] factoriales
          , y `mod` x == 0]

-- factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo, 
--    λ> take 12 factoriales
--    [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800,39916800]
factoriales :: [Integer]
factoriales = 1 : scanl1 (*) [1..]

graficaSmarandache :: Integer -> IO ()
graficaSmarandache n =
  plotList [Key Nothing
           , PNG ("La_funcion_de_Smarandache_" ++ show n ++ ".png")
           ]
           (map smarandache [1..n])

import Data.List (genericLength)

import Graphics.Gnuplot.Simple

smarandache :: Integer -> Integer

smarandache x =

head [n | (n,y) <- zip [0..] factoriales

, y `mod` x == 0]

-- factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo,

-- λ> take 12 factoriales

-- [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800,39916800]

factoriales :: [Integer]

factoriales = 1 : scanl1 (*) [1..]

graficaSmarandache :: Integer -> IO ()

graficaSmarandache n =

plotList [Key Nothing

, PNG ("La_funcion_de_Smarandache_" ++ show n ++ ".png")

]

(map smarandache [1..n])

Generación de progresiones geométricas

PorJosé A. Alonso 26-febrero-20186-marzo-2018

Definir la función

   geometrica :: Int -> Int -> Int -> [Int]

1	geometrica :: Int -> Int -> Int -> [Int]

tal que (geometrica a b c) es la lista de los términos de la progresión geométrica cuyo primer término es a, su segundo término es b (que se supone que es múltiplo de a) y los términos son menores o iguales que c. Por ejemplo,

   geometrica 1 3  27   ==  [1,3,9,27]
   geometrica 2 6  100  ==  [2,6,18,54]
   geometrica 3 12 57   ==  [3,12,48]
   geometrica 4 20 253  ==  [4,20,100]
   geometrica 5 25 625  ==  [5,25,125,625]
   geometrica 6 42 42   ==  [6,42]

geometrica 1 3 27 == [1,3,9,27]

geometrica 2 6 100 == [2,6,18,54]

geometrica 3 12 57 == [3,12,48]

geometrica 4 20 253 == [4,20,100]

geometrica 5 25 625 == [5,25,125,625]

geometrica 6 42 42 == [6,42]

Soluciones

-- 1ª definición
geometrica :: Int -> Int -> Int -> [Int]
geometrica a b c =
  takeWhile (<=c) (iterate (*r) a)
  where r = b `div` a

-- 2ª definición
geometrica2 :: Int -> Int -> Int -> [Int]
geometrica2 a b c = aux a b 
  where aux a b 
          | a > c     = []
          | otherwise = a : aux b (b * r)
        r = b `div` a

-- 1ª definición

geometrica :: Int -> Int -> Int -> [Int]

geometrica a b c =

takeWhile (<=c) (iterate (*r) a)

where r = b `div` a

-- 2ª definición

geometrica2 :: Int -> Int -> Int -> [Int]

geometrica2 a b c = aux a b

where aux a b

| a > c = []

| otherwise = a : aux b (b * r)

r = b `div` a

Menor potencia de 2 que comienza por n

PorJosé A. Alonso 22-febrero-201826-marzo-2022

Definir las funciones

   menorPotencia            :: Integer -> (Integer,Integer)
   graficaMenoresExponentes :: Integer -> IO ()

1 2	menorPotencia :: Integer -> (Integer,Integer) graficaMenoresExponentes :: Integer -> IO ()

tales que

(menorPotencia n) es el par (k,m) donde m es la menor potencia de 2 que empieza por n y k es su exponentes (es decir, 2^k = m). Por ejemplo,

     menorPotencia 3             ==  (5,32)
     menorPotencia 7             ==  (46,70368744177664)
     fst (menorPotencia 982)     ==  3973
     fst (menorPotencia 32627)   ==  28557
     fst (menorPotencia 158426)  ==  40000

menorPotencia 3 == (5,32)

menorPotencia 7 == (46,70368744177664)

fst (menorPotencia 982) == 3973

fst (menorPotencia 32627) == 28557

fst (menorPotencia 158426) == 40000

(graficaMenoresExponentes n) dibuja la gráfica de los exponentes de 2 en las menores potencias de los n primeros números enteros positivos. Por ejemplo, (graficaMenoresExponentes 200) dibuja

Soluciones

import Data.List               (isPrefixOf)
import Graphics.Gnuplot.Simple (Attribute (Key, PNG), plotList)

-- 1ª definición
-- =============

menorPotencia :: Integer -> (Integer,Integer)
menorPotencia n =
  head [(k,m) | (k,m) <- zip [0..] potenciasDe2
              , cs `isPrefixOf` show m]
  where cs = show n

-- potenciasDe 2 es la lista de las potencias de dos. Por ejemplo,
--    take 12 potenciasDe2  ==  [1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048]
potenciasDe2 :: [Integer]
potenciasDe2 = iterate (*2) 1

-- 2ª definición 
-- =============

menorPotencia2 :: Integer -> (Integer,Integer)
menorPotencia2 n = aux (0,1)
  where aux (k,m) | cs `isPrefixOf` show m = (k,m)
                  | otherwise              = aux (k+1,2*m)
        cs = show n

-- 3ª definición 
-- =============

menorPotencia3 :: Integer -> (Integer,Integer)
menorPotencia3 n =
  until (isPrefixOf n1 . show . snd) (\(x,y) -> (x+1,2*y)) (0,1)
  where n1 = show n

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> maximum [fst (menorPotencia n) | n <- [1..1000]]
--    3973
--    (3.69 secs, 1,094,923,696 bytes)
--    λ> maximum [fst (menorPotencia2 n) | n <- [1..1000]]
--    3973
--    (5.13 secs, 1,326,382,872 bytes)
--    λ> maximum [fst (menorPotencia3 n) | n <- [1..1000]]
--    3973
--    (4.71 secs, 1,240,498,128 bytes)

graficaMenoresExponentes :: Integer -> IO ()
graficaMenoresExponentes n =
  plotList [ Key Nothing
           , PNG "Menor_potencia_de_2_que_comienza_por_n.png"
           ]
           (map (fst . menorPotencia) [1..n])

import Data.List (isPrefixOf)

import Graphics.Gnuplot.Simple (Attribute (Key, PNG), plotList)

-- 1ª definición

-- =============

menorPotencia :: Integer -> (Integer,Integer)

menorPotencia n =

head [(k,m) | (k,m) <- zip [0..] potenciasDe2

, cs `isPrefixOf` show m]

where cs = show n

-- potenciasDe 2 es la lista de las potencias de dos. Por ejemplo,

-- take 12 potenciasDe2 == [1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048]

potenciasDe2 :: [Integer]

potenciasDe2 = iterate (*2) 1

-- 2ª definición

-- =============

menorPotencia2 :: Integer -> (Integer,Integer)

menorPotencia2 n = aux (0,1)

where aux (k,m) | cs `isPrefixOf` show m = (k,m)

| otherwise = aux (k+1,2*m)

cs = show n

-- 3ª definición

-- =============

menorPotencia3 :: Integer -> (Integer,Integer)

menorPotencia3 n =

until (isPrefixOf n1 . show . snd) (\(x,y) -> (x+1,2*y)) (0,1)

where n1 = show n

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> maximum [fst (menorPotencia n) | n <- [1..1000]]

-- 3973

-- (3.69 secs, 1,094,923,696 bytes)

-- λ> maximum [fst (menorPotencia2 n) | n <- [1..1000]]

-- 3973

-- (5.13 secs, 1,326,382,872 bytes)

-- λ> maximum [fst (menorPotencia3 n) | n <- [1..1000]]

-- 3973

-- (4.71 secs, 1,240,498,128 bytes)

graficaMenoresExponentes :: Integer -> IO ()

graficaMenoresExponentes n =

plotList [ Key Nothing

, PNG "Menor_potencia_de_2_que_comienza_por_n.png"

]

(map (fst . menorPotencia) [1..n])

Representación ampliada de matrices dispersas

PorJosé A. Alonso 21-febrero-201828-febrero-2018

En el ejercicio anterior se explicó una representación reducida de las matrices dispersas. A partir del número de columnas y la representación reducida se puede construir la matriz.

Definir la función

   ampliada :: Num a => Int -> [[(Int,a)]] -> Matrix a

1	ampliada :: Num a => Int -> [[(Int,a)]] -> Matrix a

tal que (ampliada n xss) es la matriz con n columnas cuya representación reducida es xss. Por ejemplo,

   λ> ampliada 3 [[(3,4)],[(2,5)],[]]
   ( 0 0 4 )
   ( 0 5 0 )
   ( 0 0 0 )
   
   λ> ampliada 3 [[],[]]
   ( 0 0 0 )
   ( 0 0 0 )
   
   λ> ampliada 2 [[],[],[]]
   ( 0 0 )
   ( 0 0 )
   ( 0 0 )

λ> ampliada 3 [[(3,4)],[(2,5)],[]]

( 0 0 4 )

( 0 5 0 )

( 0 0 0 )

λ> ampliada 3 [[],[]]

( 0 0 0 )

λ> ampliada 2 [[],[],[]]

( 0 0 )

Soluciones

import Data.Matrix (Matrix, fromLists)
import Data.List   (lookup)

ampliada :: Num a => Int -> [[(Int,a)]] -> Matrix a
ampliada n xss =
  fromLists [filaAmpliada n xs | xs <- xss]

-- Se puede redefinir con un argumento
ampliada2 :: Num a => Int -> [[(Int,a)]] -> Matrix a
ampliada2 n = fromLists . map (filaAmpliada n)

-- Se puede redefinir sin argumentos usando las siguientes reducciones
--      fromLists . map (filaAmpliada n)
--    = fromLists . ((map . filaAmpliada) n)
--    = ((fromLists .) . (map . filaAmpliada)) n
--    = ((fromLists .) . map . filaAmpliada) n
ampliada3 :: Num a => Int -> [[(Int,a)]] -> Matrix a
ampliada3 = (fromLists .) . map . filaAmpliada

-- (filaAmpliada n xs) es la fila ampliada de la representación reducida
-- xs de una matriz con n columnas. Por ejemplo, 
--    filaAmpliada 3 [(2,5)]        ==  [0,5,0]
--    filaAmpliada 7 [(2,5),(1,3)]  ==  [3,5,0,0,0,0,0]
filaAmpliada :: Num a => Int -> [(Int,a)] -> [a]
filaAmpliada n xs =
  [f (lookup i xs) | i <- [1..n]]
  where f Nothing  = 0
        f (Just x) = x

import Data.Matrix (Matrix, fromLists)

import Data.List (lookup)

ampliada :: Num a => Int -> [[(Int,a)]] -> Matrix a

ampliada n xss =

fromLists [filaAmpliada n xs | xs <- xss]

-- Se puede redefinir con un argumento

ampliada2 :: Num a => Int -> [[(Int,a)]] -> Matrix a

ampliada2 n = fromLists . map (filaAmpliada n)

-- Se puede redefinir sin argumentos usando las siguientes reducciones

-- fromLists . map (filaAmpliada n)

-- = fromLists . ((map . filaAmpliada) n)

-- = ((fromLists .) . (map . filaAmpliada)) n

-- = ((fromLists .) . map . filaAmpliada) n

ampliada3 :: Num a => Int -> [[(Int,a)]] -> Matrix a

ampliada3 = (fromLists .) . map . filaAmpliada

-- (filaAmpliada n xs) es la fila ampliada de la representación reducida

-- xs de una matriz con n columnas. Por ejemplo,

-- filaAmpliada 3 [(2,5)] == [0,5,0]

-- filaAmpliada 7 [(2,5),(1,3)] == [3,5,0,0,0,0,0]

filaAmpliada :: Num a => Int -> [(Int,a)] -> [a]

filaAmpliada n xs =

[f (lookup i xs) | i <- [1..n]]

where f Nothing = 0

f (Just x) = x

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