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Representación reducida de matrices dispersas

PorJosé A. Alonso 20-febrero-201827-febrero-2018

Una representación reducida de una matriz dispersa es una lista de listas donde cada una de las listas representa una fila de la matriz mediante listas de pares correspondientes a las snúmeros de columnas con valores no nulos de la matriz. Por ejemplo, la representacioń reducida de la matriz

   ( 0 0 4 )
   ( 0 5 0 )
   ( 0 0 0 )

( 0 0 4 )

( 0 5 0 )

( 0 0 0 )

es [[(3,4)],[(2,5)],[]].

Definir la función

   reducida :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> [[(Int,a)]]

1	reducida :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> [[(Int,a)]]

tal que (reducida p) es la representación reducida de la matriz p. Por ejemplo,

   reducida (fromList 3 3 [0,0,4,0,5,0,0,0,0])  ==  [[(3,4)],[(2,5)],[]]
   reducida (identity 3)  ==  [[(1,1)],[(2,1)],[(3,1)]]
   reducida (zero 9 3)    ==  [[],[],[],[],[],[],[],[],[]]
   reducida (zero 9 4)    ==  [[],[],[],[],[],[],[],[],[]]

reducida (fromList 3 3 [0,0,4,0,5,0,0,0,0]) == [[(3,4)],[(2,5)],[]]

reducida (identity 3) == [[(1,1)],[(2,1)],[(3,1)]]

reducida (zero 9 3) == [[],[],[],[],[],[],[],[],[]]

reducida (zero 9 4) == [[],[],[],[],[],[],[],[],[]]

Soluciones

import Data.Matrix (Matrix, (!), nrows, ncols)

reducida :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> [[(Int,a)]]
reducida p =
  [[(j,x) | j <- [1..n], let x = p!(i,j), x /= 0] | i <- [1..m]] 
  where m = nrows p
        n = ncols p

import Data.Matrix (Matrix, (!), nrows, ncols)

reducida :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> [[(Int,a)]]

reducida p =

[[(j,x) | j <- [1..n], let x = p!(i,j), x /= 0] | i <- [1..m]]

where m = nrows p

n = ncols p

Matrices dispersas

PorJosé A. Alonso 19-febrero-201826-febrero-2018

Una matriz es dispersa si la mayoriá de sus elementos son ceros. Por ejemplo, la primera de las siguientes matrices es dispersa y la segunda no lo es

   ( 0 0 4 )   ( 0 1 4 )
   ( 0 5 0 )   ( 0 5 1 )
   ( 0 0 0 )

( 0 0 4 ) ( 0 1 4 )

( 0 5 0 ) ( 0 5 1 )

( 0 0 0 )

Usando la librería Data.Matrix, las anteriores matrices se pueden definir por

   ej1, ej2 :: Matrix Int
   ej1 = fromList 3 3 [0,0,4,0,5,0,0,0,0]
   ej2 = fromList 2 3 [0,1,4,0,5,1]

ej1, ej2 :: Matrix Int

ej1 = fromList 3 3 [0,0,4,0,5,0,0,0,0]

ej2 = fromList 2 3 [0,1,4,0,5,1]

La dispersión de una matriz es el cociente entre el número de ceros de la matriz y el producto de sus números de filas y de columnas.

Definir las siguientes funciones

   dispersion :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Double
   esDispersa :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Bool

1 2	dispersion :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Double esDispersa :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Bool

tales que

(dispersion p) es la dispersión de la matriz p. Por ejemplo,

     dispersion ej1              ==  0.7777777777777778
     dispersion ej2              ==  0.3333333333333333
     dispersion (fmap (+1) ej1)  ==  0.0
     dispersion (identity 3)     ==  0.6666666666666666
     dispersion (zero 9 9)       ==  1.0

dispersion ej1 == 0.7777777777777778

dispersion ej2 == 0.3333333333333333

dispersion (fmap (+1) ej1) == 0.0

dispersion (identity 3) == 0.6666666666666666

dispersion (zero 9 9) == 1.0

(esDispersa p) se verifica si la matriz p es dispersa. Por ejemplo,

     esDispersa ej1              ==  True
     esDispersa ej2              ==  False
     esDispersa (fmap (+1) ej1)  ==  False
     esDispersa (identity 3)     ==  True
     esDispersa (zero 9 9)       ==  True

esDispersa ej1 == True

esDispersa ej2 == False

esDispersa (fmap (+1) ej1) == False

esDispersa (identity 3) == True

esDispersa (zero 9 9) == True

Soluciones

import Data.Matrix (Matrix, fromList, nrows, ncols, toList)

ej1, ej2 :: Matrix Int
ej1 = fromList 3 3 [0,0,4,0,5,0,0,0,0]
ej2 = fromList 2 3 [0,1,4,0,5,1]

dispersion :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Double
dispersion p =
  fi nCeros / (fi nrows * fi ncols)
  where fi f = (fromIntegral . f) p

-- (nCeros p) es el número de ceros de la matriz p. Por ejemplo,
--    nCeros ej1  ==  7
--    nCeros ej2  ==  2
nCeros :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Int
nCeros p = length (filter (== 0) (toList p))

-- La función anterior se puede definir sin argumentos:
nCeros2 :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Int
nCeros2 = length . filter (== 0) . toList

esDispersa :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Bool
esDispersa p = dispersion p > 0.5

-- La función anterior se puede definir sin argumentos:
esDispersa2 :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Bool
esDispersa2 = (> 0.5) . dispersion

import Data.Matrix (Matrix, fromList, nrows, ncols, toList)

ej1, ej2 :: Matrix Int

ej1 = fromList 3 3 [0,0,4,0,5,0,0,0,0]

ej2 = fromList 2 3 [0,1,4,0,5,1]

dispersion :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Double

dispersion p =

fi nCeros / (fi nrows * fi ncols)

where fi f = (fromIntegral . f) p

-- (nCeros p) es el número de ceros de la matriz p. Por ejemplo,

-- nCeros ej1 == 7

-- nCeros ej2 == 2

nCeros :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Int

nCeros p = length (filter (== 0) (toList p))

-- La función anterior se puede definir sin argumentos:

nCeros2 :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Int

nCeros2 = length . filter (== 0) . toList

esDispersa :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Bool

esDispersa p = dispersion p > 0.5

-- La función anterior se puede definir sin argumentos:

esDispersa2 :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Bool

esDispersa2 = (> 0.5) . dispersion

Números que no son cuadrados

PorJosé A. Alonso 15-febrero-201822-febrero-2018

Definir las funciones

   noCuadrados :: [Integer]
   graficaNoCuadrados :: Integer -> IO ()

1 2	noCuadrados :: [Integer] graficaNoCuadrados :: Integer -> IO ()

tales que

noCuadrados es la lista de los números naturales que no son cuadrados. Por ejemplo,

     λ> take 25 noCuadrados
     [2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,21,22,23,24,26,27,28,29,30]

1 2	λ> take 25 noCuadrados [2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,21,22,23,24,26,27,28,29,30]

(graficaNoCuadrados n) dibuja las diferencias entre los n primeros elementos de noCuadrados y sus posiciones. Por ejemplo, (graficaNoCuadrados 300) dibuja

(graficaNoCuadrados 3000) dibuja

(graficaNoCuadrados 30000) dibuja

Comprobar con QuickCheck que el término de noCuadrados en la posición n-1 es (n + floor(1/2 + sqrt(n))).

Soluciones

import Data.List (genericIndex)
import Graphics.Gnuplot.Simple
import Test.QuickCheck

-- 1ª definición
-- =============

noCuadrados :: [Integer]
noCuadrados = aux [0..] cuadrados
  where aux xs (y:ys) = as ++ aux bs ys
          where (as,_:bs) = span (<y) xs

cuadrados :: [Integer]
cuadrados = [x^2 | x <- [0..]]

-- 2ª definición
-- =============

noCuadrados2 :: [Integer]
noCuadrados2 = aux 2 [1..]
  where aux n (_:xs) = ys ++ aux (n+2) zs
          where (ys,zs) = splitAt n xs

-- Definición de graficaNoCuadrados
-- ================================

graficaNoCuadrados :: Integer -> IO ()
graficaNoCuadrados n =
  plotList [ Key Nothing
           , PNG ("Numeros_que_no_son_cuadrados_" ++ show n ++ ".png")
           ]
           (zipWith (-) noCuadrados [0..n-1])

-- La propiedad es
prop_noCuadrados :: Positive Integer -> Bool
prop_noCuadrados (Positive n) =
  noCuadrados `genericIndex` (n-1) ==
  n + floor (1/2 + sqrt (fromIntegral n))

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_noCuadrados
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Data.List (genericIndex)

import Graphics.Gnuplot.Simple

import Test.QuickCheck

-- 1ª definición

-- =============

noCuadrados :: [Integer]

noCuadrados = aux [0..] cuadrados

where aux xs (y:ys) = as ++ aux bs ys

where (as,_:bs) = span (<y) xs

cuadrados :: [Integer]

cuadrados = [x^2 | x <- [0..]]

-- 2ª definición

-- =============

noCuadrados2 :: [Integer]

noCuadrados2 = aux 2 [1..]

where aux n (_:xs) = ys ++ aux (n+2) zs

where (ys,zs) = splitAt n xs

-- Definición de graficaNoCuadrados

-- ================================

graficaNoCuadrados :: Integer -> IO ()

graficaNoCuadrados n =

plotList [ Key Nothing

, PNG ("Numeros_que_no_son_cuadrados_" ++ show n ++ ".png")

]

(zipWith (-) noCuadrados [0..n-1])

-- La propiedad es

prop_noCuadrados :: Positive Integer -> Bool

prop_noCuadrados (Positive n) =

noCuadrados `genericIndex` (n-1) ==

n + floor (1/2 + sqrt (fromIntegral n))

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_noCuadrados

-- +++ OK, passed 100 tests.

Árboles binarios completos

PorJosé A. Alonso 14-febrero-201821-febrero-2018

Un árbol binario completo es un árbol en el que cada nodo tiene cero o dos hijos. Por ejemplo, el primero de los siguientes árboles es un árbol binario completo pero los otros no lo son

           1              1            1    
         /   \          /   \        / | \ 
        2     3        2     3      2  7  3
       / \            /            / \      
      4   5          4            4   5

1 1 1

/ \ / \ / | \

2 3 2 3 2 7 3

/ \ / / \

4 5 4 4 5

Los árboles se pueden representar mediante el siguiente tipo de datos

   data Arbol a = N a [Arbol a]
     deriving Show

1 2	data Arbol a = N a [Arbol a] deriving Show

Por ejemplo, los árboles los árboles anteriores se puede representar por

   ej1, ej2, ej3 :: Arbol Int
   ej1 = N 1 [N 2 [N 4 [], N 5 []], N 3 []]
   ej2 = N 1 [N 2 [N 4 []], N 3 []]
   ej3 = N 1 [N 2 [N 4 [], N 5 []], N 7 [], N 3 []]

ej1, ej2, ej3 :: Arbol Int

ej1 = N 1 [N 2 [N 4 [], N 5 []], N 3 []]

ej2 = N 1 [N 2 [N 4 []], N 3 []]

ej3 = N 1 [N 2 [N 4 [], N 5 []], N 7 [], N 3 []]

Definir la función

   esBinarioCompleto :: Arbol t -> Bool

1	esBinarioCompleto :: Arbol t -> Bool

tal que (esBinarioCompleto a) se verifica si a es un árbol binario completo. Por ejemplo,

   esBinarioCompleto ej1  ==  True
   esBinarioCompleto ej2  ==  False
   esBinarioCompleto ej3  ==  False

esBinarioCompleto ej1 == True

esBinarioCompleto ej2 == False

esBinarioCompleto ej3 == False

Soluciones

data Arbol a = N a [Arbol a]
  deriving Show

ej1, ej2, ej3 :: Arbol Int
ej1 = N 1 [N 2 [N 4 [], N 5 []], N 3 []]
ej2 = N 1 [N 2 [N 4 []], N 3 []]
ej3 = N 1 [N 2 [N 4 [], N 5 []], N 7 [], N 3 []]
          
esBinarioCompleto :: Arbol t -> Bool
esBinarioCompleto (N _ []) = True
esBinarioCompleto (N x as) = length as `elem` [0,2] 
                             && all esBinarioCompleto as

data Arbol a = N a [Arbol a]

deriving Show

ej1, ej2, ej3 :: Arbol Int

ej1 = N 1 [N 2 [N 4 [], N 5 []], N 3 []]

ej2 = N 1 [N 2 [N 4 []], N 3 []]

ej3 = N 1 [N 2 [N 4 [], N 5 []], N 7 [], N 3 []]

esBinarioCompleto :: Arbol t -> Bool

esBinarioCompleto (N _ []) = True

esBinarioCompleto (N x as) = length as `elem` [0,2]

&& all esBinarioCompleto as

Números trimórficos

PorJosé A. Alonso 12-febrero-201819-febrero-2018

Un número trimórfico es un número cuyo cubo termina en dicho número. Por ejemplo, 24 es trimórfico ya que 24^3 = 13824 termina en 24.

Para cada entero positivo n, la densidad de trimórficos hasta n es el cociente entre la cantidad de números trimórficos menores o iguales que n y el número n. Por ejemplo, hasta 10 hay 6 números trimórficos (0, 1, 4, 5, 6 y 9); por tanto, la densidad hasta 10 es 6/10 = 0.6.

Definir las funciones

   trimorficos         :: [Integer]
   densidadTrimorficos :: Integer -> Double

1 2	trimorficos :: [Integer] densidadTrimorficos :: Integer -> Double

tal que

trimorficos es la lista de los números trimórficos. Por ejemplo,

     λ> take 20 trimorficos
     [0,1,4,5,6,9,24,25,49,51,75,76,99,125,249,251,375,376,499,501]

1 2	λ> take 20 trimorficos [0,1,4,5,6,9,24,25,49,51,75,76,99,125,249,251,375,376,499,501]

(densidadTrimorficos n) es la densidad de trimórficos hasta n. Por ejemplo,

     densidadTrimorficos 10      ==  0.6
     densidadTrimorficos 100     ==  0.13
     densidadTrimorficos 1000    ==  2.6e-2
     densidadTrimorficos 10000   ==  3.7e-3
     densidadTrimorficos 100000  ==  4.8e-4

densidadTrimorficos 10 == 0.6

densidadTrimorficos 100 == 0.13

densidadTrimorficos 1000 == 2.6e-2

densidadTrimorficos 10000 == 3.7e-3

densidadTrimorficos 100000 == 4.8e-4

Soluciones

import Data.List (genericLength, isPrefixOf)

trimorficos :: [Integer]
trimorficos = filter esTrimorfico [0..]

-- (esTrimorfico n) se verifica si n es trimórfico. Por ejemplo,
--    esTrimorfico 24  ==  True
esTrimorfico :: Integer -> Bool
esTrimorfico n =
  reverse (show n) `isPrefixOf` reverse (show (n^3)) 

densidadTrimorficos :: Integer -> Double
densidadTrimorficos n =
  genericLength [x | x <- [0..n-1], esTrimorfico x] / fromIntegral n

import Data.List (genericLength, isPrefixOf)

trimorficos :: [Integer]

trimorficos = filter esTrimorfico [0..]

-- (esTrimorfico n) se verifica si n es trimórfico. Por ejemplo,

-- esTrimorfico 24 == True

esTrimorfico :: Integer -> Bool

esTrimorfico n =

reverse (show n) `isPrefixOf` reverse (show (n^3))

densidadTrimorficos :: Integer -> Double

densidadTrimorficos n =

genericLength [x | x <- [0..n-1], esTrimorfico x] / fromIntegral n

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