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Unión e intersección general de conjuntos

Definir las funciones

   unionGeneral        :: Eq a => [[a]] -> [a]
   interseccionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]

tales que

  • (unionGeneral xs) es la unión de los conjuntos de la lista de conjuntos xs (es decir, el conjunto de los elementos que pertenecen a alguno de los elementos de xs). Por ejemplo,
     unionGeneral []                    ==  []
     unionGeneral [[1]]                 ==  [1]
     unionGeneral [[1],[1,2],[2,3]]     ==  [1,2,3]
     unionGeneral ([[x] | x <- [1..9]]) ==  [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
  • (interseccionGeneral xs) es la intersección de los conjuntos de la lista de conjuntos xs (es decir, el conjunto de los elementos que pertenecen a todos los elementos de xs). Por ejemplo,
     interseccionGeneral [[1]]                      ==  [1]
     interseccionGeneral [[2],[1,2],[2,3]]          ==  [2]
     interseccionGeneral [[2,7,5],[1,5,2],[5,2,3]]  ==  [2,5]
     interseccionGeneral ([[x] | x <- [1..9]])      ==  []
     interseccionGeneral (replicate (10^6) [1..5])  ==  [1,2,3,4,5]

Soluciones

import Data.List (foldl', foldl1', intersect, nub, union)
import Test.QuickCheck (NonEmptyList (NonEmpty), quickCheck)
 
-- 1ª definición de unionGeneral
-- =============================
 
unionGeneral1 :: Eq a => [[a]] -> [a]
unionGeneral1 []     = []
unionGeneral1 (x:xs) = x `union` unionGeneral1 xs 
 
-- 2ª definición de unionGeneral
-- =============================
 
unionGeneral2 :: Eq a => [[a]] -> [a]
unionGeneral2 = foldr union []
 
-- 3ª definición de unionGeneral
-- =============================
 
unionGeneral3 :: Eq a => [[a]] -> [a]
unionGeneral3 = foldl' union []
 
-- Comprobación de equivalencia de unionGeneral
-- ============================================
 
-- La propiedad es
prop_unionGeneral :: [[Int]] -> Bool
prop_unionGeneral xss =
  all (== unionGeneral1 xss')
      [unionGeneral2 xss',
       unionGeneral3 xss']
  where xss' = nub (map nub xss)
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_unionGeneral
--    +++ OK, passed 100 tests.
--    (0.85 secs, 1,017,807,600 bytes)
 
-- Comparación de eficiencia de unionGeneral
-- =========================================
 
-- La comparación es
--    λ> length (unionGeneral1 ([[x] | x <- [1..10^3]]))
--    1000
--    (1.56 secs, 107,478,456 bytes)
--    λ> length (unionGeneral2 ([[x] | x <- [1..10^3]]))
--    1000
--    (1.50 secs, 107,406,560 bytes)
--    λ> length (unionGeneral3 ([[x] | x <- [1..10^3]]))
--    1000
--    (0.07 secs, 92,874,024 bytes)
 
-- 1ª definición de interseccionGeneral
-- ====================================
 
interseccionGeneral1 :: Eq a => [[a]] -> [a]
interseccionGeneral1 [x]    = x
interseccionGeneral1 (x:xs) = x `intersect` interseccionGeneral1 xs 
 
-- 2ª definición de interseccionGeneral
-- ====================================
 
interseccionGeneral2 :: Eq a => [[a]] -> [a]
interseccionGeneral2 = foldr1 intersect
 
-- 3ª definición de interseccionGeneral
-- ====================================
 
interseccionGeneral3 :: Eq a => [[a]] -> [a]
interseccionGeneral3 = foldl1' intersect
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_interseccionGeneral :: NonEmptyList [Int] -> Bool
prop_interseccionGeneral (NonEmpty xss) =
  all (== interseccionGeneral1 xss')
      [interseccionGeneral2 xss',
       interseccionGeneral3 xss']
  where xss' = nub (map nub xss)
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_interseccionGeneral
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> interseccionGeneral1 (replicate (10^6) [1..5])
--    [1,2,3,4,5]
--    (2.02 secs, 1,173,618,400 bytes)
--    λ> interseccionGeneral2 (replicate (10^6) [1..5])
--    [1,2,3,4,5]
--    (1.83 secs, 1,092,120,224 bytes)
--    λ> interseccionGeneral3 (replicate (10^6) [1..5])
--    [1,2,3,4,5]
--    (1.33 secs, 985,896,136 bytes)

El código se encuentra en GitHub.

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